第十一章114变量间的相关关系统计案例

《第十一章114变量间的相关关系统计案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章114变量间的相关关系统计案例（34页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、11.4变量间的相关关系、统计案例最新考纲考情考向分析1. 会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点 图认识变量间的相关关系.2. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程.3. 了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.4. 了解回归分析的基本思想、方法及简单应用回归分析，独立性检验是 全国卷高考重点考查的内 容，必考一个解答题，选 择、填空题中也会出现.主 要考查回归方程，相关系 数，利用回归方程进行预 测，独立性检验的应用等.基础知识自主学习回扣基础知识训练基彳出题目一r知识梳理i .两个变量的线性相关(i) 正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角

2、的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它 称为正相关.负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线叫做回归直线.2. 回归方程(1) 最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2) 回归方程AAA方程y = bx+ a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(xi, yi), (X2, y2)，(xn, yn)的回归方程，其中a, b是待定参数.n乙(Xi X )nEx：- n x 2 i

3、 =1苕(Xi x )( yi y )屯Xiyi - n x y3. 回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(xi, yi), (x：, y：)，(xn, yn)，其中(x , y )称为样本点的中心.相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，正相关；当r0时，正相关；当b 2, X1, X2,x不全1相等)的散点图中，若所有样本点 (xi, yi)( i = 1,2，n)都在直线y = x+ 1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ()A. 1B. 01C.D. 12答案 A解析完全的线性关系，且为负相关，故其相

4、关系数为-1,故选A.x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为2 500I 5(H)I (XM)O 1 2 S 4 5 6 7 S 9 It) x, y是负相关关系；AAA 在该相关关系中，若用y= qex拟合时的相关指数为 戌，用y= bx + a拟合时的相关指数为 戌，则氏氏； x, y之间不能建立线性回归方程.答案解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x, y是负相关关系，故正确;AAA由散点图知用y= GeF拟合比用y = bx+ a拟合效果要好，则 R1R2，故正确；x, y之间可 以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.题型回归分析序维探究命题点

5、1线性回归分析例2下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码17分别对应年份20112017.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:=0.55 ,72.646.77 yi = 9.32 , t iyii =1i =1n (ti t )( y - y )i = 1参考公式:相关系数 r=nn(t t )2 ( yi - y )2i = 1i = 1n7 (ti- t )(y- y )a i =1回归方程y = a

6、+ bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,a= y - n (ti-T)2i =1b=解（1）由折线图中数据和附注中参考数据得T = 4, (ti T)2= 28,i =1l (yi- y )2=0.55.777、(ti-i = 1t )( yi- y ) = tiyi = 1” t 二 yii =1=40.17 - 4 X 9.32 = 2.89 ,2.890.55 X 2X 2.6460.99.因为y与t的相关系数近似为 0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.9.32由y =-1.331及得7 (ti t )( yi - y )“匸12.8

7、9b=7= _2F0.10，27( ti t )i = 1a= y b t 1.331 0.10 X 40.93.A所以y关于t的回归方程为y= 0.93 + 0.10t.将2019年对应的t = 9代入回归方程得y = 0.93 + 0.10 X 9= 1.83.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.命题点2非线性回归例3某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x和年销售量y（i = 1,2 ,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.5W-540 -

8、O 3436 3B442 44 4Mfl 50 52 54 56年宣传匿d元xyw8X ( Xi i =18X ( w i = 1w)28X ( xi x ) i = 1(yi y)8Z ( w w) i = 1(yi y)46.65636.8289.81.61 469108.8_ 1 8表中 W =Xi , w = w.8i = 1（1）根据散点图判断，y = a+ bx与y = c + d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)根据的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润 z与x, y的关系为z = 0.2 y

9、-x.根据(2)的结果回答下列问题： 年宣传费x = 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？AAA附：对于一组数据(U1 , Vi) , ( U2, V2)，(Un, Vn)，其回归直线V= a+卩u的斜率和截距 的最小二乘估计分别为n(Ui - U )( Vi - V )Ai = 1AA3 =, a = V 3 u .n (Ui u )2i = 1解(1)由散点图可以判断，y= c+ d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2) 令w= x,先建立y关于w的线性回归方程，由于8(w w)i = 1108.8TF = 68，c = y

10、 d w = 563 68 x 6.8 = 100.6 ,A所以y关于w的线性回归方程为y = 100.6 + 68w,A因此y关于x的回归方程为y= 100.6 + 68 x.由知，当x= 49时，A年销售量y的预报值y = 100.6 + 68,49= 576.6 ,A年利润 z 的预报值 z = 576.6 x 0.2 49= 66.32.根据(2)的结果知，年利润 z的预报值Az = 0.2(100.6 + 68 ,x) x = x + 13.6 _x + 20.12.厂 13.6A所以当，x = =6.8，即x= 46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报

11、值最大.思维升华回归分析问题的类型及解题方法(1) 求回归方程根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关. 利用公式，求出回归系数 b.A 待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a. 利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值.A（3）利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b.回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.跟踪训练2 （2018 全国H ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y（单位：亿 元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y

12、与时间变量t的两个线性回归模 A型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，17）建立模型：y =30.4 + 13.5 t ;根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2 ,，7）建立模A型：y = 99+ 17.5 t.（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.A解（1）利用模型，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y = 30.4 + 13.5X 19 = 226.1（亿元）.A利用模型，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y = 99

13、+ 17.5 X 9 =256.5（亿元）.（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y= 30.4 +13.5t上下，这说明利用 2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2010年开始环境基础设施投资额的2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 y = 99+ 17.5 t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资

14、额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii )从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额 220亿元，由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型 得到的预测值更可靠.题型三 独立性检验卜例4 (2017 全国H )海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各 随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量 (单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于 50 kg ”估计A的概率；(2) 填写下面列联表

15、，并根据列联表判断是否有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)附：P(C ko)0.0500.0100.001ko3.8416.63510.8282on (ad be)(a+ b)( e + d)( a+ e)( b+ d).解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg ”.由题意知，RA) = P(BC = P(B)RC).旧养殖法的箱产量低于 50 kg的频率为(0.012 + 0.014 + 0.

16、024 + 0.034 + 0.040) X 5 = 0.62 ,故P( B的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068 + 0.046 + 0.010 + 0.008) X 5 = 0.66 ,故P( C的估计值为0.66.因此，事件 A的概率估计值为 0.62 X 0.66 = 0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：箱产量6.635，故有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关.因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004 +0.020 + 0.044) X 5= 0.340.5 ,故新养殖法箱产量的中

17、位数的估计值为0.5 0.3450 +0.068心 52.35 (kg)思维升华(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 通过计算 代的大小判断：代越大，两变量有关联的可能性越大. 通过计算| ad be|的大小判断：| ad be|越大，两变量有关联的可能性越大.(2)独立性检验的一般步骤根据样本数据制成2X 2列联表.2根据公式k2=计算K2的观测值k.n( ad be)(a+ b)( a+ e)( b+ d)( e + d)比较k与临界值的大小关系，做统计推断.跟踪训练3 (2018 广州检测)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两

18、条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的 大量产品中各抽取 50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195,210内，则为合格品，否则为不合格品.甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本 的频率分布直方图如下：乙流水线样本频率分布直方图甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数(190,1959(195,20010(200,20517(205,2108(210,2156(1) 根据乙流水线样本频率分布直方图，估计乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数；(2) 若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格

19、品约多少件？(3) 根据已知条件完成下面2X 2列联表，并回答是否有85%勺把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线总计合格品不合格品总计附:RK? ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282(其中 n= a+ b+ e + d).n (ad be)(a+ b)( e + d)( a+ e)( b+ d)解(1)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x,因为(0.012 + 0.032 + 0.052) X 5= 0.480.5

20、(0.012 + 0.032 + 0.052 + 0.076) X 5= 0.86 ,则(0.012 + 0.032 + 0.052) X 5 + 0.076 X (x 205) = 0.5 ,解得x=3 90019(2) 由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153P甲=;甲 5010，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1P乙=(0.012 + 0.028) X 5= 5.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线生产的不31合格品件数分别为 5 000 X = 1 500,5 000

21、 X = 1 000.105(3) 2 X 2列联表：甲生产线乙生产线总计合格品354075不合格品151025总计505010021.3100 X (35 X 10 40X 15) _4 50X 50X 75X 25= 3/ 1.32.072 ,没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选核心素养之数据分析-线性回归方程及其应用数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程主要包括：收集数据、整理数据、提取信息、构建模型对信息进 行分析、推断、获得结论.例 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数

22、据:年份20062008201020122014需求量/万吨236246257276286 利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y = bx + a； 利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2019年的粮食需求量.解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.年份201042024需求257211101929对处理的数据，容易算得x = 0, y = 3.2 ,(4) X ( 21) + ( 2) X ( 11) + 2X 19+ 4X 29-5X 0X 3.22 2 2 2 2(4) + ( 2) + 2 + 4 5X 0260

23、40=6.5a= y b x = 3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为y 257= 6.5( x 2010) + 3.2 ,A即 y = 6.5( x 2010) + 260.2. 利用所求得的线性回归方程，可预测2019年的粮食需求量大约为6.5 X (2019 2010) +260.2 = 6.5 X 9+ 260.2 = 318.7(万吨).素养提升例题中利用所给数据求回归方程的过程体现的就是数据分析素养.课时作业y基础保分练A1. 已知变量x和y满足关系y = 0.1 x+ 1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A. x与y正相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正

24、相关C. x与y负相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关答案 C解析 因为y = 0.1 x+ 10.10），所以 z = 0.1 b x + b+ a , 0.1 b 3.841）沁0.05 , RK2 5.024）沁0.025.根据表中数据，得到K的观测值 k =答案95%解析2250X (13 X 20- 10X 7)由题意，KT-沁4.844，因为4.8443.841，所以有95%勺把握23 X 27 X 20 X 30的把握认为选修文科与性别有关.认为选修文科与性别有关.11 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第 x年与年销售量y（

25、单位：万件）之间的关系如下表.X1234y12284256 在图中画出表中数据的散点图;严万伴GOsoMJ冀2d10I|-1234 J(2) 根据散点图选择合适的回归模型拟合y与x的关系(不必说明理由)；(3) 建立y关于x的回归方程，预测第 5年的销售量.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 (Xi x )( y - y ) v Xiyi - nx yi = 1i = 1n-2 2 Xi n xi = in (xi - x )2i = 1解(1)作出的散点图如图所示:万伴GO*soMJ-冀*101 1 1 1234 J 根据散点图可知，可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(3)

26、观察(1)中散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格:iXiyi2 XiXiyi111211222284563342912644561622410138304185 一 69 可得 x = 2 y = 69,x Xi yi- 4 x yai =1所以b =42 2Xi 4 xi = 15 694184X 2X 兀73569735a = y b x = 2 y x 空=2,a 73所以所求线性回归方程为 y = x 2.5将x = 5代入所求线性回归方程，得73y = X 5 2 = 71.5故预测第5年的销售量为71万件.12某省会城市地铁将于 2019年6月开始运营，为此召开了一个价格

27、听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下:月收入（单 位：百兀）15 , 25)25 , 35)35 , 45)45 , 55)55 , 65)65 , 75赞成疋价者人数123534认为价格偏高者人数4812521（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中 “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差异是多少（结果保留2位小数）； 由以上统计数据填下面 2X 2列联表，分析是否有99%勺把握认为“月收入以55百元为分 界点对地铁定价的态度有差异”.月收入不低于55百兀的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏咼者赞成定价者总计附

28、:n( adbe)(a+ b)( e + d)( a+ e)( b+ d)只心ko）0.050.01ko3.8416.635解（1） “赞成定价者”的月平均收入为20X 1 + 30 X 2 + 40 X 3+ 50 X 5 + 60 X 3 + 70 X 4X1 =1 + 2+ 3+ 5+ 3+ 450.56.认为价格偏高者”的月平均收入为20X 4+ 30 X 8 + 40 X 12+ 50 X 5+ 60 X 2 + 70 X 1X2 =4 + 8+ 12+ 5+ 2 + 1=38.75 , “赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是11.81（百元）.（2）根据条件可得2

29、X 2列联表如下：X1 X2= 50.56 38.75 =50 X (3 X 11 7 X 29)10X 40X 18X 326.2723.841 ,所以有95%勺把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.(2) 从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁及45岁以上的应抽2人.则8人中随机抽2人共有C8= 28种抽法，13至少有1人是45岁及45岁以上共有c6c2+ C2= 13(种)抽法，故所求概率为14 .如图是某企业 2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图. 注：年份代码17分别对应年份201

30、02016.t年污水即化逓(1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明;(2) 建立y关于t的回归方程，预测 2019年该企业的污水净化量；(3) 请用数据说明回归方程预报的效果.参考数据： 7 y = 54，若 1 ( ti t )( yi y ) = 21,. 14- 3.74 ,召 1 (yi- yi)2=9.参考公式：相关系数 r =乙(ti t )( yi y ) 2(t t )召 1 ( yi yn)2A A A A 乙(ti t )( yi y ) 线性回归方程y= a+ bt , b=2i 1 (ti t)a= y b t .n人_ - 2乙(y

31、i yi)反映回归效果的公式为：R2 = 1 */其中乙(yi y)2R2越接近于1,表示回归的效果越好.t = 4,由折线图中的数据得,72( ti t ) = 28,72若 1 ( yi y) = 18,所以 r =21- 0.94.J28X 18因为y与t的相关系数近似为0.94，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回 归模型拟合y与t的关系.7A1 ( t i t )( yi y )213284(2)因为 y = 54, b=7 乙(ti t )2i = 1 3所以 a= y b t = 54 4X 4 = 51,AAA3所以y关于t的线性回归方程为y = bt + a =

32、t + 51.将2019年对应的t = 10代入得y = -X 10+ 51 = 58.5 ,4所以预测2019年该企业污水净化量约为58.5吨.7A乙(yi- y)2(3) 因为 R = 1 7乙(yi y :17=1 1= 7=0.875,所以“污水净化量的差异”有 87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的.拓展冲剌练15.在一组样本数据(X1, yd ,(X2, y2),，(x6, y6)的散点图中，若所有样本点(x , yi)( i =1,2 ,1 6 6 66)都在曲线 y = bx2 2附近波动经计算Ei=1Xi = 12,y = 14 ,风=23,则实数 b的值

33、为17答案23解析 令t = x2,则曲线的回归方程变为线性的回归方程,即y = bt -1,此时166 66即 1411423117y = it=，代入y=bt-2,得产bx百-空，解得b=23.16 针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其11中女生人数是男生人数的 门男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女36生人数的2.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有多少人P(C ko)0.0500.0100.001ko3.8416.63510.828解设男生人数为X，由题意可得列联表如下:喜欢韩剧不喜欢韩剧总计男生X5x6石X女生2xXX百93总计7x17x4x18183若有95%勺把握认为是否喜欢韩剧和性别有关,则 k3.841，22一 95x-6-X- 9X-64x-3EX187XWX- 3X36x1193.841，解得 x12.697.因为各部分人数均为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有18人.