二项式定理及应用

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1、-莱西市数学公开课教案课 题：二项式定理及应用课 型：复习课教学目标： 1、知识目标：1理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 2使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。 2、能力目标：1教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。 2进展化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的局部容，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。教学重点：能利用二项式定理解决相关问题 教学难点：二项展开式系数的性质及应用教学方法：讲练结合教 具：

2、多媒体教学过程：一、课前练习1、设n为自然数，则等于 D AB0C1D12、(2007)展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于C A4 B5 ( C)6 (D)73、(2007)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为B A10 B20 C30 D1204、2007a0+a1*+a2*2+a3*3+a4*4+a5*5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)= -256小结：1、二项式定理的逆用不可无视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或局部项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式设计目的：复习根底知识，体验二项式定理习题的一般解题方法，锻炼逆向思

3、维能力，让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。二、复习提问：1.二项式定理：教师强调展开式的特点：1项数 n+1项 2二项式系数 依次为,C,C,C(3)指数的特点 1)a的指数 由n 0( 降幂)。 2 )b的指数由0 n升幂,b的指数与该项组合数的上标相等。 3a和b的指数和为n。抓住特点会逆用。说明：1、an-kbk相当于从n个(a+b)中取出k个b，其余n-k个(a+b)中都取a，共种取法,故an-kbk的系数为，叫做二项式系数。 (2)与虽然一样，但具体到它们展开式的*一项时是不同的。3展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的正整数。由这个恒等式a，

4、b取值的任意性，我们可以令a，b分别取一些不同的值来解决*些问题，这就是我们所说的赋值法。2.二项式通项公式： r=0,1,2,n反映出展开式在指数、项数、系数等方面的在联系3.二项式系数的性质：1在二项展开式中，与首末两项等距离的两项的二项式系数相等。2二项式系数，当k时，是递减的;因此如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，为 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大，为和3 奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和4. 注意1奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。2区分*项、*项的二项式系数、*项的系数，如的展开式中，第r+1项为，二项式系数为

5、，项的系数为。设计目的：1理解并掌握二项式定理，从几个特征熟记它的展开式。2教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。三、典例分析类型一 二项展开式及通项公式的应用二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数等。例1、在的展开式中，第6项为常数项。1求n；2求含*2的项的系数；3求展开式中所有的有理项点拨：求指定项应借助通项公式确定r值解析：1通项公式为=因为第6项为常数项，所以r=5时,有=0,即n=10(2)令=2，得r=所求项的系数为3据通项公式，由题意令=k(kZ),10-2r=3k,r=5-k,rZ,k为偶数

6、。k可取2，0，-2，即r可取2，5，8所以第3、6、9项为有理项，分别为，回忆总结：1解此类问题分两步：1、据所给条件和通项公式列方程求指数n，2、利用通项公式求指定项 2区别有理数、有理项、无理项、整式项反应练习：求的展开式里有多少个有理项？解：设展开式的第项为有理项，则对于一切有理项，、必为整数，则r必是6的倍数。又 ，96 解得。故展开式中的有理项有17个。思考：在此题中假设问无理项有多少个，如何解决呢？设计目的：使学生掌握利用通项公式求指定项的一般方法，渗透转化思想。类型二：项的系数、二项式系数的性质及应用例2、的展开式中，*一项的系数是它前一项的系数的2倍，而等于它后一项系数的。（

7、1） 求该展开式中二项式系数最大的项；（2） 求该展开式中系数最大的项。学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不一定是中间一项解析：1第r+1项系数为，第r项系数为，第r+2项系数为，由题意得整理得 即求得n=7 二项式系数最大的项是第4项和第5项，即假设第项的系数最大，则即即解得又rN,第六项的系数最大，展开式中系数最大项为回忆总结：求展开式中系数最大项步骤是：先假定第r+1项系数最大，则它大于等于相邻两项的系数，列出不等式组求解。反应练习：在二项式的展开式中，求系数最小的项的系数。解：因为在的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，

8、分别为第六项、第七项，所以系数最小的项的系数为设计目的：区分并掌握求二项式系数最大项和系数最大项的根本方法，提高灵活应用能力，锻炼运算能力及转化思想。类型三：赋值法在二项展开式中的应用例3、设(2*)7=a0+a1*+a2*2+a7*7，求：1a1+a2+a7的值2a0+a2+a4+a6的值3|a0|+|a1|+|a2|+|a7|的值.解析：令*=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 令*=1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37(1)a0=27=128,a1+a2+a8=127.(2) ( +)2得：a0+a2+a4+a6=10943法一( -)2得：a

9、1+a3+a5+a7=1093(2*)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3，a5，a7小于零|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=a0+a2+a4+a6a1+a3+a5+a7=2187法二|a0|+|a1|+|a2|+|a7|即(2+*)7展开式中各项系数和|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=37=2187回忆总结：【1】求二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,an的和或奇数项偶数项系数和用赋值法，设f(*)= a0+a1*+a2*2+a3*3+an*n则a0+a1+a2+a3+an=f(1) a0-a1+a2-a3+(-1)nan=f(-1)a0+a2+a4+a6=

10、a1+a3+a5+a7=a0=f(0) 【2】注意化归思想、整体思想应用，锻炼发散思维，提高应变能力。反应练习：设：。求：的值。解：在令，得 令，得 两式相乘得 。设计目的：进展化归思想、整体思想的渗透，锻炼发散思维，提高应变能力。四、课堂小结：本节主要复习了二项式定理的展开式的特点及其二项式定理在解题中的应用。1、要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式；2、要注意区分项的系数与项的二项式系数； 3、求系数和或局部系数和时，通常用赋值法；4、运用二项式系数最大值性质时应注意区分n是偶数还是奇数；5、通项公式及其应用是复习二项式定理的根本问题，要到达熟练的程度。五：能力自测1、(*3+展

11、开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是_.2102、设S=(*1)4+4(*1)3+6(*1)2+4(*1)+1，它等于下式中的 C A(*2)4B(*1)4C*4D(*+1)43、求(1+*)+(1+*)2+(1+*)3+(1+*)15的展开式中*3的系数解：法一法二原式=展开式中*3的系数为4、求的展开式中项的系数。解：在中项的系数为，常数项为1在中项的系数为，常数项为1故在的展开式中项的系数为。另解由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中项的系数为六、思考：有关三项式的问题例题：求(*2+3*+2)5展开式中含*项的系数。点拨：三项式的展开式问题一定可

12、以通过变形，转化为二项式的问题。解法1：。显然只有中含有*项，其系数为。解法2：由于展开式中含*项的系数是。解法3：(*2+3*+2)5=(*2+3*+2) (*2+3*+2) (*2+3*+2) (*2+3*+2) (*2+3*+2)； 含*项可从其中一个因式选3*,其余因式选2相乘即得展开式中含*项的系数是3=240回忆总结：1研究多项式展开式中的问题可用化归法、组合法；2注重化归思想的应用和发散思维的锻炼，提高应变能力。六、课后作业1、假设，则n= A5 B6C7D82、(1+*)(2+*)(3+*)(20+*)的展开式，*19项的系数_.3、的展开式中*的系数为19，求：1展开式中系数的最小值；2当的系数最小时，求的系数。4、二项式中，但。假设展开式中的最大系数项是常数项，求的取值围。5、展开式中的常数项是 .A20B12C8D20. z