傅里叶级数及其应用论文

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1、-傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级：目 录引言31 傅立叶级数的计算51.1 傅立叶级数的几何意义51.2 傅里叶级数的敛散性问题101.3 傅里叶级数的展开111.4关于傅里叶级数展开的个别简便算法161.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质192 傅里叶级数的相关定理及其应用212.1 元函数中值定理及其几何意义212.2 利用元函数微分中值定理研究函数的性质283 微分中值定理在复数域上的推广323.1 复数域上的中值定理323.2 利用复数域中值定理研究函数性质36结论39致40参考文献41. z-摘 要为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要

2、作用，在深刻理解和掌握教材微分中值定理的根底上，将微分中值定理在元函数以及复数域推广及应用加以探讨首先根据一元函数微分中值定理的容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进展补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造辅助函数给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义接着通过比照一元函数与二元函数微分中值定理，给出了元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的辅助函数把元函数转化为一元函数，进而给出

3、了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了元函数微分中值定理的可用性最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性关键词：元函数；微分中值定理；几何意义；复数域AbstractIn order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we e*plore the generalization and

4、the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and ple* field based on the prehension and mastery of the differential mean value theorem in te*tbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theo

5、rem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we plement the differential mean value theorem of two-variable function in te*tbook following one- variable function, give the e*pressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-v

6、ariable function, constitute au*iliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the e*pressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value the

7、orem of n- variable function by paring the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting au*iliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the di

8、fferential mean value theorem by some typical e*amples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the e*pressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in ple* field and check the availability of the differential mean value th

9、eorem by some typical e*amples at the same time.Keywords:n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; ple* field引 言微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在*个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的整体性态，它是研究函数性态的重要工具在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，

10、泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用围加以扩展，使之能够在元微分学即维空间以及复数域上得以使用本文将分三局部对微分中值定理进展推广，第一局部中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值

11、定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义第二局部中，比照一元函数与二元函数微分中值定理，给出元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造辅助函数证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义第三局部中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述接着再通过构造辅助函数给出定理证明1傅立叶级数自然界中周期现象的数学描述就是周期函数最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数或余弦函数表示但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波

12、以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示因此，傅里叶级数就应运而生傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题 傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着1.1 一元函数中值定理及其几何意义 从几何的角度来对待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数投影到一系列由三角函数构成的坐标轴上考虑一个简单的二维平面的例

13、子. 如以下图所示，给定两个向量和，从的末端出发作到所在直线的垂线，得到一个跟同向的新向量这个过程就称作到所在直线的投影，得到的新向量就是沿方向的分量。图中的系数是跟的比例，也就是在轴上的坐标可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量和都是代数形式的，怎么用代数的方法求？图片1：向量到所在直线的投影知道这个向量是正交于的，用数学语言表达就是马上就可以得到 c 的表达式如下：如以下图所示，现在引进一组正交基 ，则可以展开成以下形式图片2：向量在正交基上的展开 从图上来看，式其实说的是可以把投影到 和这两个坐标轴上，和就是的新坐标. 问题是：怎么求和呢？利用之前关于投影的讨论，可以直

14、接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表达式： ； ；如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新坐标轴的坐标，则我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把式中的换成新坐标轴就好了. 这些东西跟傅里叶级数有什么关系？给定一个周期是的周期函数，它的傅里叶级数为：其中系数表达式如下：；从几何角度来看，可以用下面这组由无限多个三角函数包括常数组成的正交基来展开，从几何投影的观点来对待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了. 还可以尝试着用不同的角度去对待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.1.

15、2傅里叶级数的敛散性问题定义假设函数在区间除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数在逐段连续 假设函数与它的导函数都逐段连续， 则称函数在逐段光滑显然，逐段光滑的函数是可积的相关定理定理假设是元函数在凸区域上以为周期的在逐段光滑的函数，则函数的傅里叶级数在收敛，其和函数式，即，有，使得特别地，当时，变为因为，所以，即，这就是一元函数的罗尔定理的公式元函数罗尔定理的几何意义：在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与面平行，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切平面平行于面定理2元函数拉格朗日定理 设元函数在凸区域上连续，在的所有点都可微，对任意两点，使得(

16、2-1)证明令，它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在可微，于是根据一元函数微分中值定理，使得由复合函数的求导法则，而=所以，特别地，当，则由(2-1)式有，这就是一元函数的拉格朗日中值公式元函数拉格朗日定理的几何意义：在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面所切得面，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切曲面平行于面定理3元函数柯西中值定理 设元函数和在凸开域上连续，在关于各个变元具有连续的偏导数，对任意两点，则有，证明首先证明，用反证法假设即根据元函数的罗尔定理，使得，与条件矛盾其次作辅助函数，其中由定理中的条件知在上连续，在可微，且，根

17、据一元函数的罗尔定理，存在使得由复合函数的求导法则又所以，函数在一点的导数表示的是曲线在这点的切线，一元函数微分中值定理表示的是过一点的切线与割线的位置关系则当函数变为元函数时，中值定理又对应着怎样的几何意义呢？通过对一元函数泰勒中值定理与二元函数泰勒中值定理的探讨，不难有这样的问题：在元函数与高阶导数有怎样的关系，泰勒中值定理又会变成怎样的形式呢？定理4元函数的泰勒中值定理 设函数在点的*一邻域连续，且具有一阶及二阶连续偏导数，则，使得，其中证明 考虑函数，则，由于函数在点的*一邻域连续，并且具有一阶及二阶连续偏导数，从而复合函数在的邻域对有连续的一阶及二阶导数由一元函数的泰勒公式可以得到，

18、(2-2)因为，所以，把代入(2-2)式后再令，便得到泰勒公式，其中如果设函数在点的*一邻域连续且具有阶连续偏导数，则，使得，其中，这称为拉格朗日余项证明作辅助函数，则，因为，用数学归纳法可以得到，由一元泰勒公式， (2-3)将，代入(2-3)式得，其中，2.2 利用元函数微分中值定理研究函数的性质例2.1设元函数在凸开域上可微，上取定一点且，有，则，有常数，即是常数函数证明元函数在上满足元函数的拉格朗日定理的条件，根据元函数的拉格朗日定理，使得因为点，所以，即取，有，即是常数函数例2.2 假设元函数和在凸开域上连续，在关于各个变元具有连续的偏导数，上取定一点，且对任意的点，有，而且不为零则，

19、有，其中是常数，证明因为元函数和在满足元函数的柯西定理的条件，则，又，所以，即所以，即设，则，有，其中是常数例2.3 证明：设元函数在凸开域上可微，对任意两点，有，且是常数且其中则证明因为元函数在上满足元函数的罗尔定理的条件，所以，使得，由条件，点，有，所以，因此，例2.4 假设，证明对*有证明 三元函数在凸开域上连续，在的所有点都可微，则对任意两点，根据元函数的拉格朗日定理，使得即令，则取，则，即例2.5假设在区域的诸偏导数存在且有界，则函数在连续证明假设，任取，设，与连接及的直线段(设充分小)全部包含在，则由元函数的拉格朗日定理，得，于是，使得当时，有所以，函数在点连续由的任意性知，函数在

20、连续例2.6 将函数在点展成泰勒公式解，且高于3阶的偏导数都恒为0于是，由元函数的泰勒公式，有小结元函数微分中值定理的表述形式与二元函数中值定理的形式类似，都是函数值与各偏导数和增量乘积的关系在证明上也是采用了构造辅助函数的方法在实数域中，微分中值定理联系了函数与导数，无论是一元函数、二元函数还是元函数，微分中值定理都对研究函数性质有重要的辅助作用，则如果函数定义在复数域中，微分中值定理还适用吗？3微分中值定理在复数域上的推广由于二元函数在固定*个变量为暂时常量下可以看作一元函数，再由偏导数的定义，我们可先将一元微分中值定理推广到二元实函数上而二元实函数与复函数都是以有序数对为自变量的函数，它

21、们之间有着密切的联系，因此在有关性质上也应该有着密切联系，所以又可利用二元实函数的微分中值定理，将实数域上的微分中值定理推广到复数域上，得到解析函数的微分中值定理，为应用导数研究解析函数的性质提供了新工具，构建了有用的平台3.1 复数域上的中值定理引理1可微的充要条件设函数在区域一点可微的充要条件是：(1)二元函数、在点可微；(2)、在点满足方程，即上述条件满足时，在点的导数可以表示为以下形式之一：证明 设在D一点z可微，则，其中是随而趋于零的复数假设令，则可写成，这里是的高阶无穷小比拟上式两端的实、虚部，即得，由数学分析二元函数的微分定义即知，与在点可微，且，由与的可微性即知，在点有，其中与

22、是的高阶无穷小再由方程，可设于是，有所以，即定理1费马定理设函数在定义域一点的*领域有定义，并且在处可导，假设对任意有或，或则必有证明根据引理可知函数和函数在点可微，且要使，只需，先证由于在定义域一点可微，则在该点关于每一个自变量的偏导数存在又因为在点的邻域的任一点有或故同理可证定理2罗尔定理假设满足以下条件：(1)在有界闭区域上连续；(2)在解析；(3)，其中为的两定点，则至少存在一点使得证明由解析函数的定义知在任意一点可导，根据引理得到和在任一点可微，且的求导公式为由于，其中为的两定点，并且，令，则函数在有界闭区域上连续，在可微，并且有则至少有一点，使得，因为，所以，根据引理可知，于是，有

23、，所以，定理3拉格朗日定理假设复函数满足以下条件：(1)在有界闭区域上连续；(2)在解析；(3)与是的两个定点则至少存在一点，使得证明令，则函数在有界闭域上连续，在解析，并且，根据罗尔定理可得至少存在一点，使得即定理4柯西中值定理假设函数与满足以下条件：(1)复函数与在有界闭区域上连续；(2)复函数与在解析；(3)与在不同时为零；(4)，与是的两个定点则至少存在一点，使得证明做辅助函数易见在满足罗尔定理，故存在，使得因为，所以，有微分中值定理不仅在实数域建立了函数与导数的桥梁，在复数域也适用联系函数与导数这使中值定理在函数性态研究中有了更全面的理论和更广泛的应用3.2 利用复数域中值定理研究函

24、数性质例3.1设函数在复数域解析，并且，有，证明在为常数证明任取的两个互异的点和，假设含于与拉格朗日中值定理可得由条件，所以，含于，在中取有限个点，使线段含于中，有所以，在为常数例3.2假设函数和在复数域上连续，在解析，任取一点，使得且有则，有，其中是常数证明函数和在复数域上连续，在解析，取有两互异点和即点和点的点的连线在根据柯西中值定理，得，其中在因为，所以，即取，则，有，为常数小结微分中值定理在复数域上仍然成立，罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理与二元函数中值定理有类似的形式证明也是采用了构造辅助函数的方法在利用导数研究函数性态中，复数域上微分中值定理同样起到了桥梁作用微分中值定理不仅在

25、实数域中是研究函数性质的有力工具，在复数域中中值定理仍有形式近似的相关结论，并且对研究复数域函数性质也有所帮助因此解析函数的微分中值定理为应用导数研究解析函数的性质提供了新的工具，构建了有用的平台结论经过对微分中值定理的探究，对中值定理有了进一步的认识，整篇文章归纳为以下几点：(1)本文将一元函数罗尔中值公式、拉格朗日中值公式、柯西中值公式、泰勒中值公式都统一于一个中值公式从这个公式重新认识了微分中值定理(2)二元函数微分中值定理同样包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理罗尔中值公式和拉格朗日中值公式都可以统一于柯西中值公式(3)元函数微分中值定理的表述形式与二元函数微分中值定

26、理的形式类似，都是函数值的改变量与各偏导数与对应增量乘积的关系定理证明是通过构造辅助函数的方法完成的(4)微分中值定理在复数域的推广得到了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理(5)不管是一元函数二元函数还是元函数，或是复数域上微分中值定理，定理的证明都采用了构造辅助函数的方法并将其转化为一元函数得以完成致在本次论文的撰写过程中，我得到了教师的精心指导，不管是从开场定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；教师高度的敬业精神和责任感值得我学习在此，我对X教师表示诚挚的感以及真心的祝福参考文献1 玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(上册)

27、M. :高等教育, 1992：2033462 玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(下册)M. :高等教育, 1992：3094173胡龙桥. 元函数的微分中值定理J. 工科数学,2010.4：263-2644马恒俊. 二元函数的微分中值定理J. 建筑工程学院学报,2009.12：80-815路见可. 关于微分中值定理的思考J. 高等数学研究,2010.9：10-136晓玲. 微分中值定理在复数域的推广J. 大学学报,2009.9：791-7927胡江. 实函数与复函数上微分中值定理在联系的探究J. 科技咨询导报,2007.450：22-248胡江, 王玉. 复数域上微分中值定理新证J. 高等数学研

28、究,2008.13：177-1789超. 柯西微分中值定理在多元函数中的推广J. 学院学报, 2010.22(3)：1-510伟丽, 晨霞, 秋娜, 玉环. 复分析中的微分中值定理J. 高校理科研究,2011.3：44-4811胡江. 实函数与复函数上微分中值定理在联系的探究J. 中国科教创新刊,2007.6：267-27012程希旺. 二元函数微分中值定理中值点的分析性质J. 数学理论与应用, 2009.16：30-3413吴俊. 元函数的微分中值定理及其应用J. 高等数学研究,2010.2：24-2614黄土森. 高维空间中的微分中值定理J. 大学学报,2010.12：45-4715王尚户.多元函数之微分中值定理J. 钢铁学院学报,2007.6：36-3916 华东师大学数学系，数学分析(上册)M.高等教育，2005. z