矩阵理论最小多项式实用教案

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1、矩阵(j zhn)理论第4讲 - 1上节内容(nirng)回顾化方阵A为Jordan标准形特征向量法初等(chdng)变换法多项式矩阵（ 矩阵）多项式矩阵的Smith标准型不变因子、初等(chdng)因子行列式因子法 的相似变换矩阵P的求法1.在A的Jordan矩阵中构造构造k个个以 为对角元素的Jordan块2.k个Jordan块的阶数之和阶数之和等于iir)1 ()()()(1nkDDdkkkJA PJAP iiiiriiririiippAppAp111)1(1)(1)(00)(nmrmrrnrrFDDCIBA第1页/共57页第一页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 2Hamil

2、ton-Cayley定理(dngl)任一方阵都是它的特征(tzhng)多项式的根Hamilton-Cayley定理设 ， ，则证明：由于显然nxnCA)det()(AI 0)(A)det()(AI 0)det()(AAIA运算结果是一个运算结果是一个多项式多项式运算结果是一个运算结果是一个数数运算结果是一个运算结果是一个矩阵矩阵运算结果是一个运算结果是一个零矩阵零矩阵第2页/共57页第二页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 3Hamilton-Cayley定理(dngl)任一方阵(fn zhn)都是它的特征多项式的根证明：考察J：JAPP1nnnCPi101101122111第3页/

3、共57页第三页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 4Hamilton-Cayley定理(dngl)将J写成如下形式：上式中 是A 的n个根，所以将矩阵A代入上式，形成(xngchng)一个矩阵多项式，：将 代入上式：nJ21)()()det()(21nAIn,21)()()(21IAIAIAAn)()()(12111IPJPIPJPIPJPAn1 PJPA第4页/共57页第四页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 5Hamilton-Cayley定理(dngl)12111121111121111)()()()()()()()()(PIJIJIJPPIJPPPPIJPPIJPP

4、IPPJPPIPPJPPIPPJPnnnnJ21iniiiiiiIJ1110第5页/共57页第五页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 6Hamilton-Cayley定理(dngl)121)()(PIJIJIJPn12122111200000000PPnnnn第6页/共57页第六页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 7Hamilton-Cayley定理(dngl)012134323100*00*00*00PPnn第7页/共57页第七页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 8Hamilton-Cayley定理(dngl)任一方阵都是它的特征多项式的根证明：仿照常数矩阵

5、的伴随(bn su)矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随(bn su)矩阵：设其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵类似：)(*ijfnnijCfA)()(nnnnnnnnCfffffffffA)()()()()()()()()()(*2*1*2*22*12*1*21*11*)(AIAAAAA)(det)()()()(*第8页/共57页第八页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 9Hamilton-Cayley定理(dngl)设 是矩阵( j zhn)A的特征矩阵( j zhn)的伴随矩阵( j zhn)，那么 是次数为n的多项式：再考察 ，其每个元素的次数均不

6、超过n 1:IAIAIB)det()()(BAAAInnndet) 1()(tr)det(1)det(AI )0(1)1()0(21)1(2)0(11)1(1)0(21)1(2)0(221)1(22)0(211)1(21)0(11)1(1)0(121)1(12)0(111)1(11)(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnB)(B第9页/共57页第九页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 10Hamilton-Cayley定理(dngl)令:利用(lyng)矩阵加法的定义 将 分解)0(1)1()0(21)1(2)0(11)1(1)0(21)1(2)0(221)1

7、(22)0(211)1(21)0(11)1(1)0(121)1(12)0(111)1(11)(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnB)(ijijbaBA)0()0(2)0(1)0(2)0(22)0(21)0(1)0(12)0(110)1()1(2)1(1)1(2)1(22)1(21)1(1)1(12)1(111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnBB)(B第10页/共57页第十页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 11Hamilton-Cayley定理(dngl)考察等式 的右边(yu bian)：考察其左边：比较两边的系数：) 1, 1()(0121

8、1niCBBBBBnninnnnIAIAIB)det()(ABABBABBBAIBBBBAIBnnnnnnnnn0101211012211)()()()(IIIIIIAAIAInnnnnnnn01110111(det) 1(tr()det(IABIABBIBnnnn001121第11页/共57页第十一页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 12Hamilton-Cayley定理(dngl)以 依次右乘这些(zhxi)等式：IABIABBIABBIABBIBnnnnnnnn001102231121IAAAnn,1IAAAAnnn21IABAABABAABABAABABAABnnnnnnn

9、nnnnnnnnn001210221223111121+)(A0=第12页/共57页第十二页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 13Hamilton-Cayley定理(dngl)的应用化简矩阵多项式的计算( j sun)：当n阶方阵的矩阵多项式 中A的最高次幂超过n时，可用多项式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式 表示为 与商 的积，再加上余式 的形式：那么根据Hamilton-Cayley定理这样可简化 的计算( j sun)多项式的带余除法设 ， 为任意多项式， 不恒等于0，则必有两个多项式 和 ，使得式中 或 )(Af)det(AI )()(f)(g)(r)()()()()

10、(ArArAAgAf)()()()(rgf)(Af)(f)(g)(g)(q)(r)()()()(rgqf0)(r)(deg)(deggrnr)(deg第13页/共57页第十三页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 14Hamilton-Cayley定理(dngl)的应用举例( j l)：给出：求 ； ； ； 311202113AIAAAAA46281934571A100A462819)(3457f254)det()(23AI)(r第14页/共57页第十四页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 15Hamilton-Cayley定理(dngl)的应用商： 456734572544

11、628193456345682016446281764234534520504010463637106151234620143234234410824125223238223242325423104238223)(2r23104234第15页/共57页第十五页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 16Hamilton-Cayley定理(dngl)的应用所以(suy)：第2个问题第3个问题2431904364016218223)()()()()(2IAAArArAAgAf0IAAAA254)(23IIAAA)25221(21A)()()()(rgqf100)det()(AI 322110

12、0)()(kkkq)2() 1(23)(degrIkAkAkA3221100：待定系数法第16页/共57页第十六页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 17方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式方阵的零化多项式设 ， 是多项式，如果(rgu) 成立，则称 为方阵A的零化多项式 是A的零化多项式 不恒等于零， 是A的零化多项式方阵的最小多项式设 ，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记为设 ， 且 ， 成立，且 是唯一的 证明：采用反证法设 是A的任一零化多项式，假设 不能整除 ，则根据多项式的带余除法：nxnCA)(f0)(Af)(f)det()(AI )

13、(f)()(fnxnCAnxnCA)(Am)()(fmA)(f)(Am)(f)()()()(rmqfA)(deg)(degAmr)(f0)(Af)(Am第17页/共57页第十七页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 18方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式而 是A的最小多项式：与假设矛盾再证最小多项式的唯一性假设 也是A的最小多项式首先， 、 均成立其次， 与 次数相同，否则其中一个不是最小多项式因此(ync)， 、 的商为常数因子又因为 与 都是首一的，此常数因子必等于1所以)()()()(rmqfA)(deg)(degAmr0)()()()(ArAmAqAfA0)(Ar)(

14、Ar)()(AAmm)(Am)(Am)()(AAmm)()(AAmm)()(AAmm)()(AAmm)()(AAmm)(Am)(Am)(deg)(degAmr第18页/共57页第十八页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 19方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式定理矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的根必定是A的特征根证明：根据(gnj)矩阵多项式的特征值的定理，即设 是 的特征值 ，矩阵多项式 的特征值为并且，若 则A的任一特征值满足 是A的次数最低的、首一的零化多项式： 即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根 又：设 是 的根，即 ，可得 是A的特征

15、根Cn,21nxnCA)(f)(Af)(,),(),(21nfff0)(Af0)(if)(Am0)(iAm0)(AmA)(Am0)(Am0)()()det(AmqAI第19页/共57页第十九页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 20方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到(d do)求最小多项式的一个方法：设 的所有不同的特征值为 ，则其特征多项式可写为：那么A的最小多项式应该具有如下形式：这就是下述定理所描述的内容：定理设 ， 是A的所有互不相同的特征值，则其中 是A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数nxnC

16、ACt,21tntnnAI)()()()det(2121tinmmiimtmmAt, 1)()()()(2121nxnCACt,21tmtmmAm)()()()(2121imi第20页/共57页第二十页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 21方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式01110110iiiiiiinrnnrrtnrtntrttrt112222111111)(,)( ,)(,)( ,)(,)(1221111可能相同可能相同)(1d)(2d)(nd4)()(iAm第21页/共57页第二十一页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 22方阵(fn zhn)的零化多项

17、式和最小多项式定理(dngl)设 ， 是A的特征矩阵 的n 1阶行列式因子，则A的最小多项式为：nxnCA)()()()()det()(11nnnnAdDDDAIm)(1nDAI 第22页/共57页第二十二页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 23方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法1最小多项式只能有以下形式次数从低到高依次(yc)验证所以311202113A3)2()det(AI32)2()()2()()2()(AAAmmm002)2(2IAIA2)2()(Am)det()(AImA第23页/共57页第二十三页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲

18、 - 24方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式举例(j l)：求的最小多项式方法2 (Jordan标准形法) ：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数311202113A2122221221orJJJtmtmmAm)()()()(2121iim2)2()(Am第24页/共57页第二十四页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 25方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法(fngf)1 (第n阶不变因子)3000212111221112A)()()()()det()(11nnnnAdDDDAIm)3() 1(1)3() 1()()det(

19、)(333DAImA第25页/共57页第二十五页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 26方阵(fn zhn)的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法(fngf)2 (Jordan标准形法)：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数3000212111221112AtmtmmAm)()()()(2121iim3000010001100011J)3() 1()(3Am第26页/共57页第二十六页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 27多项式矩阵(j zhn)的逆多项式矩阵的逆设 ，若 ，使得(sh de) 成立则称 是可逆的，或称 是单模矩阵多项式矩阵的逆

20、是唯一的设 也是 的逆，则多项式矩阵可逆的充要条件 可逆证明：必要性假设 可逆，则 ， 成立nnnCA)(nnCB)(IABBA)()()()()(A)(A)()(BB)(A)()()()()()()()()(BBABBABIBBCcA)(det0nnCA)(nnCA)()(BIABBA)()()()(1)(det)(det)()(detABBA第27页/共57页第二十七页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 28多项式矩阵(j zhn)的逆 充分性设 ，则 使得其中， 是 的伴随(bn su)多项式矩阵0)(det0)(det0)(deg(det)(deg(detBABAcAc)(d

21、et0CcA)(det0IcIcIAcAAcAB1)(det1)()(1)()(*)(1)(*AcBnnnnnnnnCfffffffffA)()()()()()()()()()(*2*1*2*22*12*1*21*11*)(*A)(A第28页/共57页第二十八页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 29初等矩阵(j zhn)及多项式矩阵(j zhn)的等价结论： 对多项式方阵，满秩未必(wib)可逆初等多项式矩阵都是可逆的初等多项式矩阵都是单模的 )()(1jiIjiI)()(11ciIciI),(),(1jiIjiI)()(BAtsQQAPPB,)(,)(11),(jiI1),(de

22、tjiICcciI0)(cciI )(det)(jiI1)(detjiItsQQPP,11初等阵，使得)()(SA0第29页/共57页第二十九页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 30多项式矩阵(j zhn)的等价 与 有相同的行列式因子，或相同的不变因子证明(zhngmng)：必要性多项式矩阵的Smith标准形的唯一性 与 有相同的不变因子多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系 与 有相同的行列式因子)()(BA)(A)(B0)(B)()(BSB)()(BSA)()(BA), 2 , 1(, )(ridi)(A)(B),min(0)1 ()()()(1nmkrrkDDdkkk)

23、(A)(B第30页/共57页第三十页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 31多项式矩阵(j zhn)的等价 充分性设 与 有相同的不变因子（因而有相同的行列式因子），则它们与同一个Smith标准形等价，即矩阵的相似(xin s)与其特征矩阵的等价之间的关系定理相似(xin s)矩阵有相同的最小多项式证明：)(A)(B)()(SB)()(SA)()(BA多项式矩阵等价的传递性BIAIBABA )()(BAmmBA BIAI)()()()(BnAndd)()(BAmm第31页/共57页第三十一页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 32多项式矩阵(j zhn)的互质性简介右公因子

24、(Right Common Factor)：设 与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得(sh de) 及 成立则称多项式矩阵 是 与 的右公因子左公因子(Left Common Factor)设 与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得(sh de) 及 成立则称多项式矩阵 是 与 的左公因子最大右公因子(greatest common right decomposition factor, gcrd ?) 是 与 的右公因子； 与 的任一其它的右公因子 都是 的右乘因子)(N)(D)(R)()()(RNN)()()(RDD)(N)(D)(L)()()(NLN)()()(DLD)(R)(

25、N)(D)(L)(N)(D)(R)(N)(D)(N)(D)(1R)(R)()()(1RWR通过转置关系：研究其中之一即可pnCN)(pmCD)(mpCD)(npCN)(第32页/共57页第三十二页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 33多项式矩阵的互质(h zh)性简介gcrd的存在(cnzi)性 及 ，其gcrd都存在(cnzi)。gcrd的构造定理若存在(cnzi)单模矩阵 ，使得则 即为 与 的一个gcrd证明：先证 是右公因子。为此，把 的逆矩阵 写成分块矩阵：nmCN)(nnCD)(nnCR)()(N)(D)()()(nmnmCG0)()()()()()()()()()(2

26、2211211RNDGGGGNDG)(R)(G)(1G)()()()()(1221211121111GGGGGnnm)()()(NDIDn0)()()(NDINm0gcrd第33页/共57页第三十三页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 34多项式矩阵(j zhn)的互质性简介以 左乘定理中的等式两边，可得比较(bjio)等式里边分块矩阵中的每一个分块，可知 是 与 的右公因子再证 是gcrd，即若 为 与 的另一右公因子，证明 是 的右乘因子，将代入 0)()()()()()()(122121112111RGGGGND)(1G)()()()(121111RGRG)(R)(N)(D)(

27、R)(1R)(N)(D)(R)(1R)()()(1RNN)()()(1RDD)()()()()(1211NGDGR第34页/共57页第三十四页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 35多项式矩阵(j zhn)的互质性简介可得gcrd的求法若对分块多项式矩阵进行一系列初等行变换，使其下面(xi mian)的m n分块成为零多项式块则就是求 与 的gcrd的变换矩阵， 就是所求的gcrd)()()()()()()()(111211RWRNGDGR0)()()()()()(12RNDGGGsnnm)()(ND)()(12)()()()(nmnmnmsCGGGG)(R)(N)(D第35页/共5

28、7页第三十五页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 36多项式矩阵的互质(h zh)性简介求gcrd举例( j l)给出求2113)(2D121)(2N)(),(gcrd(ND 12113211212113)()(22)2, 1(22IND1010211211321232)1(1()3)1(1()21(22III第36页/共57页第三十六页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 37多项式矩阵的互质(h zh)性简介求gcrd举例( j l) )3)1(2(232)3 , 2(2322101021101021II00102121221021)()(),(gcrd(2RND第37页

29、/共57页第三十七页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 38多项式矩阵的互质(h zh)性简介gcrd的基本性质(xngzh)不唯一性。 单模矩阵 满秩 满秩 单模 单模 若 ，则pnCN)(pmCD)()(),(gcrd()(NDRpppCW)()(),(gcrd()()(NDRW)(),(gcrd()()(),(gcrd()(21NDRNDR)(1R)(1R)(2R)(2RnmCN)(nnCD)(nND)()(ranknRNDR)(rank()(),(gcrd()(第38页/共57页第三十八页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 39多项式矩阵(j zhn)的互质性简介g

30、crd的基本性质 对 及 ，若则 可表示为事实上，由gcrd的构造(guzo)定理取 ， 即可)(),(gcrd()(NDRnmCN)(nnCD)()()()()()(NYDXR)(R)()(11GX0)()()()()()()()()()(22211211RNDGGGGNDG)()(12GY第39页/共57页第三十九页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 40多项式矩阵(j zhn)的互质性简介多项式矩阵的互质称 与 是右互质的，若 为单模矩阵多项式矩阵的互质的Bezout判别准则 与 右互质 使Bezout等式(dngsh) 成立证明：必要性 与 右互质 为单模矩阵，以其逆 左乘构

31、造定理中的上分块矩阵等式(dngsh)可得)(),(gcrd()(NDRpnCN)(pmCD)(nmCN)(nnCD)(mnnnCNCD)(,)(INYDX)()()()(nmCN)(nnCD)()(),(gcrd()(NDR)(1R)()()()()(1211NGDGR第40页/共57页第四十页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 41多项式矩阵(j zhn)的互质性简介令则充分性得证充分性设Bezout等式成立(chngl)：给定一个则 及 ，使得 成立(chngl)代入Bezout等式从而 是单模矩阵 与 右互质 INGRDGR)()()()()()(121111)()()()(

32、)()(121111GRYGRXINYDX)()()()()(),(gcrd()(NDR)(N)(D)()()(RNN)()()(RDDIRNYDX)()()()()()(R)(N)(D第41页/共57页第四十一页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 42多项式矩阵的互质(h zh)性简介多项式矩阵的互质的Smith标准形判别准则(zhnz) 与 右互质 分块多项式矩阵的Smith标准形为即： 证明：必要性 )()(NDnmCN)(nnCD)(0nI0)()(nIND第42页/共57页第四十二页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 43多项式矩阵的互质(h zh)性简介由gcr

33、d构造定理有： (1)其中， 是单模矩阵( j zhn)若 与 右互质 是单模矩阵( j zhn)设 的逆为 ，以其右乘(1)式由于等价的多项式矩阵( j zhn)具有相同的Smith标准形必要性得证)(G)()()()()(RIRNDGn0)(R)(N)(D)(Q)(R00nnIQRIQNDG)()()()()()(0)()(nINDSmith标准形标准形第43页/共57页第四十三页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 44多项式矩阵(j zhn)的互质性简介充分性 若成立 与 （均为单模阵），使得成立，设 的逆为 ，以其右乘上式，可得由构造定理(dngl)， ，且单模 与 右互质0

34、)()(nINDSmith标准形标准形)(Q)(G0nIQNDG)()()()()(Q)(R0)()()()()()()()()(RNDGRQNDG)(),(gcrd()(NDR)(N)(D第44页/共57页第四十四页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 45多项式矩阵(j zhn)既约性简介多项式矩阵的行次数和列次数 对多项式矩阵 ，定义分别(fnbi)为 的第i行次数和 的第j列次数，分别(fnbi)记为：举例:nmijCaA)()()(degmax),(degmax1,1,ijmijcijnjiraKaK)(A)(A132434214)(322A132323 ,2,1 ,2,1

35、,cccrrKKKKKirA,)(degjcA,)(deg第45页/共57页第四十五页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 46多项式矩阵(j zhn)既约性简介多项式矩阵的列次表示式 多项式矩阵 可用其列次数表示为列次表示式其中， 是一对角阵； ：列次系数矩阵，其第j列为 的第j列中相应 于 项的系数组成(z chn)的列 ； ：低次剩余多项式矩阵，且)(A),()(,2,1 ,ncccKKKcdiagHnmkcCA)()()(lcckcAHAA)(A), 1()(deg,njKAjcjclclcA132434214)(322A1234214340101)(232AjcK,第46页/

36、共57页第四十六页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 47多项式矩阵(j zhn)既约性简介多项式矩阵的行次表示式 多项式矩阵 可用其行次数(csh)表示为行次表示式其中， 是一对角阵； ：行次系数矩阵，其第i行为 的第i行中相应 于 项的系数组成的行 ； ：低次剩余多项式矩阵，且 )(A),()(,2,1 ,mrrrKKKrdiagHnmkrCA)()()(lrkrrAAHA)(A), 1()(deg,miKAirirlrlrA132434214)(322A13234014040021)(32AirK,第47页/共57页第四十七页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 48多

37、项式矩阵(j zhn)既约性简介多项式方阵的行列式与其列次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式(xngsh)多项式方阵的行列式与其行次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式(xngsh)多项式方阵的行次和与列次和的关系 多项式方阵的行次和等于列次和的各项次数低于njjcKkcKAAnjjc1,1,det)(detnnnCA)(nnnCA)(的各项次数低于niirKkrKAAniir1,1,det)(detnjjcniirKK1,1,第48页/共57页第四十八页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 49多项式矩阵(j zhn)既约性简介多项式矩阵(j zhn)的既约性 列既

38、约设 ，若则称 是列既约的行既约设 ，若则称 是行既约的nnnCA)(njjcjcnjKAA1,1)(deg)(detdeg)(AnnnCA)(niirirniKAA1,1)(deg)(detdeg)(A第49页/共57页第四十九页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 50多项式矩阵(j zhn)既约性简介举例(j l) 734223)(22A3734223deg)(detdeg22A21,2,1 ,21,2,1 ,312422jjccciirrrKKKKKK是列既约的，但不是行既约的是列既约的，但不是行既约的)(A第50页/共57页第五十页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 -

39、 51多项式矩阵(j zhn)既约性简介定理 对 ，则 是列既约的 是行既约的 证明：先证第一项由于(yuy)故当且仅当 时（即 满秩），有根据列既约的定义， 为列既约的同理可证第二项nnnCA)()(A)(AnnnkcCAnnnkrCA的各项次数低于njjcKkcKAAnjjc1,1,det)(det0detkcAnjjcKA1,)(detdegkcA)(A充要条件充要条件第51页/共57页第五十一页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 52多项式矩阵(j zhn)既约性简介举例(j l):列次表示：列次表示：734223)(22A0342007123)(2A73422010300)

40、(22A7123)(kcA0103krA是列既约的，但不是行既约的是列既约的，但不是行既约的)(A第52页/共57页第五十二页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 53多项式矩阵(j zhn)既约性简介化非既约多项式矩阵为既约:通过对 进行适当的列（或行）初等变换，来降低某些列（或行）的次数，以满足既约性的定义适用于下列情形(qng xing)对满秩非既约多项式方阵 ，可以找到n阶单模矩阵 及 ，使得 与 为列既约或行既约njjcjcnjKAA1,1)(deg)(detdegniirirniKAA1,1)(deg)(detdegniirKA1,)(detdegnjjcKA1,)(det

41、deg)(AnnnCA)()(F)(G)()(FA)()(AG第53页/共57页第五十三页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 54多项式矩阵(j zhn)既约性简介举例(j l):22222230)3()2()3()2()(CA7)(detdeg51,njjcKA满秩满秩非既约非既约)()()()(12AGGGs)()()()(21tFFFA)(G)(F222210)2(1)(CG2221301)(CF第54页/共57页第五十四页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 55多项式矩阵(j zhn)既约性简介 300)3()2()()(22AG3)3()3()2(0)()(22F

42、A5)(detdeg1,njjcKA5)(detdeg1,njjcKA列既约列既约列既约列既约第55页/共57页第五十五页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 56 第56页/共57页第五十六页，共58页。矩阵(j zhn)理论第4讲 - 57感谢您的观看(gunkn)！第57页/共57页第五十七页，共58页。NoImage内容(nirng)总结矩阵理论第4讲 - 1。多项式矩阵（ 矩阵）。不变因子、初等因子。将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：。由于等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形。多项式矩阵的行次数(csh)和列次数(csh)。多项式方阵的行次和等于列次和。化非既约多项式矩阵为既约:。感谢您的观看第五十八页，共58页。