法向量求法及应用方法

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1、平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果a ，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一（内积法）:在给定的空间直角坐标系 中，设平面 的法向量n （X,y,i）或n（x,i,z），或 n（i，y，z），在平面 内任找两个不共线的向量 a,b。由n ，得na 且nb ，由此得到关于“ 的方程组，解此方程组即可得到n。 方法二：任何一个x, y,z的一次次方程的图形 是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z 的一次方程。 Ax By Cz D 0（A, B,C不同时为0）， 称为平面的一般方程。其法向量n （A,B,C）

2、；若平面 与3个坐标轴的交点为 Pi（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如 图所示,则平面方程为:-y - 1,称此方程为 a b c平面的截距式方程，把它化为一般式即可 求出它的法向量。方法三（外积法）: 设为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a|b|sin ， （ B为，两者交角，且0），而与 皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由 .的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b b a设 a (x1,y1,Z1),b(x2,y2,z2),则:a by1ziX1Z1X1y1y2 Z2JX2Z2X2 y2(注：1、二阶行

3、列式:Macb dad cb ；2、适合右手定则。)例 1、已知，a (2,1,0),b ( 1,2,1),试求(1)： a b; ( 2) : ba.Key: (1) a b (1, 2,5) ;(2)b a (1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中，求平面 AEF的一法向量法二、平面法向量的应用1、求空间角(1) 、求线面角：如图2-1,设n是平面的法 向量，AF AE (1,2,2) 向量 n。图 2-1-1:图 2-1-2:n，AB -n abarccos.2|n |丄AB| si nn AB| cos n, AB |arccos|n| 站 2A

4、B是平面 的一条斜线，a ，贝U AB与平 面 所成的角为:、 的 则m图nm图m,m n arccos|m| |n|m n（图 2-2）;m,arccos（图 2-3）|m| |n|求面面角:设向量m，n分别是平面、 向量， 面角 l的 角为：,可使法 约定，两个平面的法向量方向选取合适 向量夹角就等于二面角的平面角。在图2-2中，m的方向对平面 而言向外，n 的方向对平面 而言向内；在图2-3中，m的 方向对平面 而言向内，n的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积使得（简称“外积”，满足“右手定则”）两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面 角l

5、的平面角。2、求空间距离（1）、异面直线之间距离：方法指导：如图2-4,作直线a、b的方向 向量a、b ,求a、b的法向量n,即此异面直线 a、b 的公垂线的方向向量；a 在直线a、b上各取一点A、作向量ab ； 求向量AB在n上的射影d,则异面直线a、 b间的距离为nBd |AB空,其中 n a,n b,A a,B b Ina!a外一(2) 、点到平面的距离：方法指导：如图2-5,若点B为平 点，点A为平面a内任一点，平面的法向量为n,则点p到平面a的距离公式为(3) 、直线与平面间的距离 方法指导：如图2-6,直线a与平面 之间的n其中An是平面uuu rAB n|n|距离:(4) 、平面

6、与平面间的距离图方法指导：如图2-7,两平行平 面,之间的距离：d |AB?生其中A ,B 。是平面、|n|的法向量 3、证明图(1) 、证明线面垂直：在图2-8中,m / a /a 向是平面的法向量，a是直线a 的方向向量，证明平面的法向量 与直线所在向量共线(m a )。(2) 、证明线面平行：在图 2-9 中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线 所在向量垂直(m?a 0) o(3) 、证明面面垂直：在图 2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法 向量，证明两平面的法向量垂直(m? n 0 )(4)、证明面面平行：在图2-11 中，m向是平面的法向量，n是平

7、面的法 向量，证明两平面的法向量共线(m n ) o三、高考真题新解1、(2005 全国 I, 18)(本 P 大题满分12分):z M已知如图3-1,四棱锥”ABP-ABCD的底面为直角梯D图C形，AB/ DC, dab 90 ,pa 底面 ABCD,且PA=AD=DC=AB=1, M 是 PB 的中点(I)证明：面PAD丄面PCD(U)求AC与PB所成的角；(皿)求面 AMC与面BMC所成二面角的 大小.解:以A点为原点，以分别以AD, AB, AP 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.(I). AP (0,0,1) , AD (1,0,0)，设平面 PAD 的法向量

8、 为 m AP AD (0, 1,0)又DC (0,1,0) , DP ( 1,0,1)，设平面 PCD的法向量 为 n DC DP (1,0,1)m?n 0 , m n，即平面PAD平面PCD。(II ). AC(1,1,0) , PB (0,2, 1),AC,PBAC?PB民arccosarcco5|AC|PB|5(III). CM ( 1,0,2) , CA ( 1, 1,0)，设平在 AMC 的法 向量为 m CM CA (1, 1,1).2 2又CB ( 1,1,0),设平面PCD的法向量为1 1n CM CB ( , -, 1)2 2 m? n2、m, n arccosarccos

9、().|m| |n|3 面AMC与面BMC所成二面角的大小为2 、 2 arccos( )或arccos3 32、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分)如图3-2,在长方体 ABC 已知 AB= AA1 = a, BC=血 中点。(I )求证：AD/平面A1BC (II)求证：平面A1MC丄平面A1BD1;(皿)求点A到平面A1MC的距离。解:以D点为原点，分别以DA,DC,DD为x 轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 D-xyz如 图所示(I). BC ( 2a,0,0),BA1 (0, a,a),设平面 ABC 的法向量为 n BC BA1 (0, . 2a2, 2a2)又

10、 AD ( 2a,0,0) , n?AD 0 , AD n , 即卩 AD(II). MC (子a,0,a),MAi (彳a,a,0),设平面 AlMC 的 法向量为：m MC MAi (a2,亚a2,並a2)2 2 J又 BDi (逅a, a,a), BA (0, a,a),设平面 AiBDi 的法 向量为： n BD1 BA1 (0, J2a2,a2),m?n 0, m n,即平面 AlMC 平面 AiBDi.(III ).设点A到平面AiMC的距离为d,m MC MAi2222, (a , a , a )是平面AiMC的法向量，2 2!-又MA -2a,0,0), a点到平面AiMC的距离为:d|m?MA|四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”|m|2（i）、建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件，相关几何知识的综合运用，建立右手系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2） 、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运 算）（3）、把向量的运算结果 翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）