2018年北京文科数学与解析

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1、2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。(1)已知集合 A=(? ?2), B=-2,0,1,2,则 API B(A) 0,1 (B) -1,0,1(C) -2,0,1,2 (D) -1,0,1,2(2)在复平面，复数卜口的共轲复数对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)执行如图所示的程序框图，输出的

2、 s值为(A)(B)(C)(D)712(4)设a,b,c,d是非零实数，则(A)充分而不必要条件ad=bc”是a,b,c,d成等比数列”的(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为(C)我f9)国f1(6)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(A) 1 (B

3、) 2(C) 3 (D) 4(7)在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,GH是圆x2 y2 1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角 以O?为始边，OP为终边，若tan cos sin ,则P所在的 圆弧是(A IabJ(B)foD(c)EZI(d)(gH(8)设集合 |A (x, y)|x y 1,ax y 4, x ay 2, |则(A)对任意实数a, |(2,1) A| (B)对任意实数a, (2,1)匚A(C)当且仅当ab,则J g为假命题的一组a, b的值依次为 .D5(12)若双曲线 勺,y- 1(a 0)的离心率为 ,则a=. a 42(13)若？加满足|x 1 y -2x,则

4、2y-?的最小值是 .(14)若l/XABCl的面积为 乎(a2 c2 b2),且/C为钝角，则/ B=；*的取值 围是.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)设叵可是等差数列，且a1 ln2,a2 a3 51n 2.(I )求an|的通项公式;(n )求 ea1 ea2 ean .(16)(本小题13分)已知函数 f(x) sin2 x J3sin xcosx(I )求f(x)的最小正周期;(n )若f(x)在区间 , m 上的最大值为(17)(本小题13分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电影类型第一类第F第三类

5、第四类第五类7电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(I )从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(n)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(出)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)(18)(本小题14分)如图，在四

6、棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD，平面 ABCD, PAI PD, PA=PD,E, F分别为AD, PB的中点.(I )求证:PH BC;(n )求证：平面 PAB，平面 PCD(出)求证：EF/平面PCD(19)(本小题13分)设函数 f(x) ax2 (3 a 1)x 3a 2ex(I )若曲线|yf(x)|在)-(2, f(2)|处的切线斜率为0,求a;(n )若|f(x).|x 1世取得极小值，求 a的取值围.(20)(本小题14分)22区已知椭圆M :-x2- -yr 1(a b 0)的离心率为,焦距为 H2 .斜率为k的直线1 a b23与椭圆M有两个不同的交

7、点 A, B.(I )求椭圆M的方程；(n)若|k 1|,求|AB|的最大值;(出)设P 2,0) 直线PA与椭圆M的另一个交点为 C,直线PB与椭圆M的另一个、一，一 一一.7 1.父点为D.右GD和点Q(一,一)共线求k.4 42018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题(1) A (2) D(3) B(4) B (5) D (6) C (7) C (8) D二、填空题(9) 口(10) |(1,0)(11) |111 (答案不唯一)(12) 4(13) 3(14) |60(2,)三、解答题15.(共 13 分)解：(I)设等差数列 画的公差为同，a2 a3 5ln

8、 2 , 2al 3d 51n 2 ,又，In 21|d 1n2.an a1 (n 1)d n In 2.(II)由(I)知 annln 2 ,annln 2In 2n . n|ene e =2|ean|是以2为首项，2为公比的等比数列.一al/2.anln 2ln22ln 2nee e nee e=2 22 2n=2n 1 2ea1ea2ean =2n 116.（共 13 分）解：（I ） f（x）32X 旦in2x 与n2x 1cos2x 二 sin（2x）二2222262所以f (x)的最小正周期为（n）由（i）知 f （x） sin（2x * 1一，九r-因为x ，m,所以2x3r 5

9、九入 兀,2 m -.66所以要使得上的最大值为3 一兀兀-,即sin(2x )在g,m上的最大值为1._ 冗2m 一6,即所以叵的最小值为17 .(共 13 分)(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200X 0.25=5Q故所求概率为5020000.025(n)方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140X 0.4+50 X 0.2+300 X 0.15+200 X 0.25+800 X 0.2+510 X 0.1=56+10+45+50+160+51=372. 3722000故所求概率估计为1 卫

10、2- 0.814 .方法二：设“随机选取 1部电影，这部电影没有获得好评”为事件 B.没有获得好评的电影共有140X 0.6+50 X 0.8+300 X 0.85+200 X 0.75+800 X 0.8+510 X 0.9=1628部.2000由古典概型概率公式得P（B） 1628 0.814.（出）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.18 .（共 14 分）【解析】（I） |PA PD|,且目为画的中点，|PE AD底面ABCD为矩形，BC/ADPE BC（n） .底面 ABCD 为矩形，AB AD平面PAD 平面ABCD , AB 平面PADAB PD .又 PA PDPD

11、 平面PAB, .平面PAB 平面PCD(m)如图，取 PC 回，连接怛G,GD|EG分别为画和图的中点，. |FG/ BC1 且 FG -BC 2四边形|ABCD为矩形，且 旧为丽的中点,.四边形EFGD为平行四边形,又EF 平面PCDGD 平面PCDEF / 平面 PCD19. (13 分).一 .一2x解：(I)因为 f(x) ax (3a 1)x 3a 2e ,所以 f (x) ax2 (a 1)x 1exf (2)(2 a 1)e2由题设知f (2) 0 ,即(2a 1)e2 0,解得 |a(n)方法一：由(I)得 f (x) ax2 (a 1)x 1ex (ax 1)(x 1)ex

12、4.1若 a1,则当 x ( 一,1)时，f (x) 0 a 当 x (1,)时，f (x) 0所以f (x)在x=1处取得极小值若 a 1,则当 x (0,1)时，ax 1 x 1 0所以f (x) 0所以1不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值围是(1,)方法二：f (x) (ax 1)(x 1)ex(1)当 a=0 时，令 f (x) 0 得 x=1.当a0时，令f (x)11x1一，x2a0得f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x1(,1)(1,)f (x)+0-f(x)：极大值f (x)在x=1处取得极大值，不合题意2x -当 Xi X2 ,即 a=i 时，f (x)

13、(x 1) e 0f7x) R上单调递增, f (x)无极值，不合题意当xi x2 ,即0a1时，f (x), f (x)随x的变化情况如下表:(3)当 a1时，f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x1 a即0(1,)|f (x)+0-0+f(x)极大值极小值f (x)在x=1处取得极小值，即 a1满足题意.f (x), f (x)随x的变化情况如下表:xn)i1 a即0(1,)|f (x)-0+0-f(x)极小值极大值f (x)在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值围为(1,).20 .(共 14 分)【解析】(I)由题意得2c 242，所以c J2c .6 ea 3，

14、所以a J3,所以fb所以椭圆|m I的标准方程为(n)设直线AB的方程为y x m消去回可得.224x 6mx 3m 3 02_2_236m4 4(3m3) 48 12m3mx1x22x1x2设 A(x1，yi), B(x2,y2),则3m2 34. 6 ； 4 m2k2|x x2 | . 1 k2 Jx1 x2)2 4x1x2易得当(出)设 A(xi, %)B%*), C(X3,y3), D(4,y4)一 2 一 2 一则 X1 3y13,2-24X23y23,又P( 2,0),所以可设k1kpAy1x12,直线匣的方程为yki(x 2)y k1(x 2)2x 2.3 y 1消去团可得(1 3k12)x2 12k12x 12k12 3 0则 XiX3又kiy1x12所以C(212k12一彳，即X31 3k12，代人式可得X37x1 12y1,4为 7 4为 7212k122 X11 3k127x1 124x,7),同理可得D(,所以y3y14为 77x2 12y2,4x2 7 4x2 7)0时，| AB|max娓,故11 AB 1的最大值为L/61,71,71故 QC(X3-,y3一)QD(X4，y4)4444一 一,71(X4 4)(y3 4) 0因为|Q, C, D J二点共线，所以(x3 -)(y4 -)将点C,D的坐标代入化简可得y1y21X1X2