介值定理的应用分析

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1、介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性,而且可以判断方程根的个数,还能判断方程根的围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。关键词：介值定理 方程 不等式 应用 介值定理是一个简单的定理,但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。此外,我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一,了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。介值性定理：设函数在闭区间上连续。并且函数与函

2、数不相等。如果是介于和之间的任何实数或,则至少存在一点使得.推论：根的存在定理 如果函数在闭区间上连续,并且和满足0,那么至少存在一点,使得0. 即是方程=0在至少有一个根。1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。可以利用此定理来解决方程根是否存在,根的个数和根的围等的问题。1.1介值定理证明方程根存在性证明类似方程=在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数=的零点问题,一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。 例1 证明：函数在区间上连续并且函数=。那么方程=在至少有一个根。 证明： 设=,函数在区间上面连续,并且

3、=,=, 如果=0,那么x=0就是方程=的一个根； 如果0,那么。根据根的存在定理可以得到,在至少存在一点c,使得,所以方程=在至少存在一个根。 例2 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。 证明： 设=,则可得任给M0,存在N0,当XN时,M0,可得任给M0,存在0,当X时,0,又在。根据根的存在定理即存在一点,使得,所以至少有一个实根。1.2介值定理推断方程根个数利用介值定理我们已经解决了方程根是否存在的问题,我们不但能判断存在性的问题,我们还可以利用这个定理来推断出方程根的个数的问题。 例3 证明：方程,有且只有一个根。 证明： 设=,则根据介值定理,使得,即。在由,对,有 =,又函数

4、是单调递增的,所以只有一个根。 例4 证明：方程=0,恰好有3个实根。 证明： 设=, 计算可以得到 ,在区间,分别对连续函数用根的存在定理,推断出在这3个区间,个有一个零点,但是是3次多项式,最多有3个零点。所以方程=0,恰好有3个实根。1.3介值定理推断方程根的围根据介值定理我们已经能够判断出方程根的存在性和根的个数,而且还可以根据这一定理推断出方程根的围。 例5 为正数,证明：在和各有一个根。 证明：当时,和有界。所以,同理当时,和有界。所以,于是存在充分靠近的和充分靠近的,使得 ,由介值定理可以推出=0,在有一个根,从而在有一个根。同理可以证明有一个根。 例6 证明：方程有两个实根,并

5、判断这两个根的围。 证明： 在方程两端同时乘以可以得,设,则连续。取0,0由闭区间上连续函数的介值定理可得,在至少存在一点使得,取0,0由介值定理可以得到。在至少存在一点,使得 =0 , 又,是一元二次方程.因为一元二次方程至多有两个实根,所以就是方程的两个实根,分别在与。2.介值定理在不等式方面的应用介值定理也能够解决不等式问题方面。首先,来看一个利用介值性定理证明的一个命题。 例7 如果对于所有都有,则在恒正或是恒负。 证明： 反证法,如果存在两点,使得,设在区间对于连续函数用介值定理。推出存在,使得,这与题目条件不符,所以得证。这个证明说明了连续函数的一个整体性质,区间上不等于零的连续函

6、数必然保持恒定的符号,现在设函数在区间I=有定义且连续。 如果函数=0在无实根,则在恒正或是恒负； 如果函数=0在有n个实根,n个实根分成n+1个小区间,那么函数在上面n+1个小的区间恒正或是恒负。 例8 解不等式sinxcosx. 解：设=sinxcosx=sin,则,上解为和.分成, 这3个区间,每个区间取特值,所以函数,整个实数域上的解集为.3.介值定理在生活中的应用介值定理在解决方程的根的问题和解不等式根的问题上有一定的作用,在生活中,同样可以利用介值定理解决一些问题。 例9 某人第一天早上7点从甲地出发,晚上5点到乙地,第二天早上9点从乙地出发,沿原路返回晚上8点回到甲。问,能否在两

7、天中该人恰好在同一时刻经过同一地点？解：设甲乙两地相距为a,a0,时间为x,24小时制。该人第一天从甲地到乙,在x时刻距甲距离为,第二天从乙到甲在x时刻距甲距离为, ,； , ,根据,连续由介值定理则存在使,得证。文章讨论了介值定理在方程根上面的应用,在解不等式方面的应用和在生活中的应用。解方程根的问题和一些应用题时注意构造合适的辅助函数,会使解题变得十分轻松。利用定理解不等式,应充分理解是如何运用定理来解题的。介值定理除了本文所举出的在证明方程根,不等式和生活中的应用外,此定理还有很多其它方面的的应用。本文主要讨论了这个定理在连续函数中的应用,对于在不连续函数中的应用,不做讨论。参考文献：1

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9、贵新,邱翠萍,介值定理在解初级不等式中的应用J。省交通高等专科学校学报,2002,P39-40。10朱乐敏,从连续到间断-关于介值定理的推广J。大学数学,2006,P99-102。.Some applications of intermediate value theoremName:Li Qi Number:4 Advisor:Ge Xin-tong Abstract:Intermediate value theorem is vevy important contluous function theorem .This paper discusses theuse ofintermedia

10、te valuetheoremof the Roots ofthe problem.Intermediate value theoremcan be provednot only theexistence ofthe rootequation, andcan determinethe rootof thenumber ofequations, but alsoto determinethe scopeof the Roots.Articlealso discusses theuse ofintermediate value theoremdealing withinequalities.Intermediate valuetheorem ofthe lastexamples ofthe applicationin life. Key words: intermediate value theorem equation inequality aqpplication8 / 8