周荫清随机过程理论word版

《周荫清随机过程理论word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《周荫清随机过程理论word版（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、目录前言1第一章概率与随机变量21、随机事件及其概率 22、随机变量及分布函数 33、数字特征44、特征函数5第二章随机过程概述61、随机过程的概念62、平稳随机过程73、平稳随机过程的各态历经性 84、平稳过程的功率谱密度 9第三章随机过程的线性变换 101、随机过程变换的基本概念 102、均方微积分103、随机过程线性变换的微分方程法 134、随机过程的冲激响应法和频谱法 14第四章窄带随机过程151、窄带随机过程的基本概念 152、窄带平稳随机过程的数字特征 16第五章高斯随机过程181、高斯随机过程182、窄带平稳实高斯随机过程 18第六章泊松随机过程201、泊松计数过程202、泊松过

2、程的基本概念 21第七章总结24、八 、,刖言随机过程(Stochastic Process是一连串随机事件动态关系的定量描述。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一 参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以3表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t, 3 )表示随机变量在3的值，则 随机过程就由刚才定义的点偶(t, 3)的函数以及概率的分配完全确定。如果固 定t，这个二元函数就定义一个3的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定 3 ,这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。随机过程论与其他数学分支如位

3、势论、微分方程、力学及复变函数论等有密 切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工 具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物 理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多 领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最 早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究， 及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的

4、数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随 机过程一般理论的研究通常认为开始于 20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛 夫发表了概率论的解析方法，1934年A 辛饮发表了平稳过程的相关理论， 这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著随机过程论，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。本论文着重讨论随机过程的基本理论和基本方法，并简单介绍了几种在应用 中常见的随机过程。第一章介绍了概率论的相关知识，因为后文用到了太多的 概率论知识，所以单独拿出一章来对概率论的知识进行简单回顾。第二章详细 讨论了随机过程的基本概念，重点介绍随机过程的两类基本分析方法。第三章

5、 研究具有随机输入的线性系统输出过程的统计特征。第四、五、六章分别介绍 了窄带随机过程、高斯随机过程和泊松随机过程。最后一章是对该门课程的学 习总结与心得。1第一章概率与随机变量1、随机事件及其概率1、事件的概率古典概率P(A)=牛统计概率( 4)= hm叫=hm剧 T COflCO2#几何概率P(A)二L(S)2、几个公式条件槪率乘法公式P(AB) =P(B)P(.4B) = P(A)P(B | #P(44i 4i) = f(4 144)夕(4-i IA-2 4卜(& 14 廖(4) 全概率公式,I. J A 二 ep(旳=ii=lAtA = 0 i H J P(AiAJ) = 0H尸(貝)

6、=工尸(卫遇円T-l贝叶斯公式P(BJA)=严诃血1f P(#|即卩(代)j=l事件的独宣性 丄 d = 1土Vi t k = 1,2/ * s 1 5 A % r； 5 “PS/q =卩(di )P (九)P(竝)2、随机变量及分布函数1、一维分布离散型(概率密度)尸=X pg =兀)二工卩旳xI连续型(概率分布)尸(X) =co3、二维分布连续型(槪率密度)F(x.y) = P(X xI y) =f(u.v)dudvr)=离散型(概率分布)F(x. y) P(X a J y)4、边沿分布连续型(概率密度)r b/i(-v) = JJ s离散型(概率分布)Fx (x) = F(Aoo) =

7、P(JC x)5、多维分布疋丄，兀二鬥九；x2L J： xif)垃何无丄txJ=宀丄ck/f3、数字特征1、数学期望离散随机变量的数学期望kEX= A*f（x）cix oo连续随机变量的数学期望EX =随机变量函数的数学期望Er = EgGV）=（工）/（对必r = g（x）| g（x）I sJ亠、 、八2、方差随机变量的方差皿口 二耳X-E(XfX2-E(Xf 随机变量函数方差nF1 = Dg(X) = E g(x) -Eg(x)Y3、协方差协方差定义cov（A；J；.） = E（A；-EA；）（A；-EA；）协方差矩阵q=cov(TfJ；)0LGJc=Gc22LMMMc nl（c.U=c4

8、、相关系数定义式由柯西一许瓦兹不等式E（rw）2 EU-EW2 得匕怪1正交E（A；A；）-0心丿相互独立/工刃匸/二町罗“刃互不相关 C. = covtxr.） = 04、特征函数1、一维特征函数定义0（卩）=Eex - f eJvxdFx）J怕0离数随机变量0W） = E严1 = 严必 连续随机变量悴）二耳1二r涉丁 槪率密度函数与特征函数之间的关系/（x）= J-J （v）ejvxdv2?r2、一维特征函数性质6| 0（）| 0（0） = 1 如（卩）=0丁如（e） 如（卩）二 fl （V）1=1YciX + b cMj 常数工如（巧i-1#3、二维特征函数0（片巴）=r壬皿1办2J C

9、O J8,心，兀）=古匸匸0（忖2対曲內如呃第二章随机过程概述1、随机过程的概念1、随机过程的定义设E=e是一个样本空间，若对每一时刻 t，都有定义在E上的随机变量 X(t,e)与之对应，则称依赖t的一族随机变量X(t,e),t T,e E是一个随机过程， 通常将它简化为X(t),t T。2、随机过程的概率分布一维分布一维概率分布函数 F(x,Q = PX(Q 2. T.则称X(t)为严格平稳随机过程。2、广义平稳过程定义设X(t),t T是一个随机过程，EX2(t)v 乂,且EX(t)=mx二常数，以及R(ti,t2)=EX(t)X(t- t )=R( t ), t 二ti-t2,则X(t)

10、,t T称为广义平稳随机过程。3、二阶矩过程若一个随机过程X(t),t T,如果对于一切t T,总有EX2(t)C(0) = J?(0)-w?二 L自相关函数连续的充要条件7?(書)在匸=0点处连续5、互相关函数及其性质定义R(t) X(r)r (t - r)性质尺貯(y) =Rf R(0)Ry(Q)pjrr(r)| b；7；平稳随机过程的各态历经性时间平均甌机变城平均功率 1 丁工巳巴时间均值.Y(/ + r )_Y(r)二 lim f x(f+ r)x(t)dt t2y* Jr 时间自相关函数2、各态历经性limP X(7j-EAF(O任 = 1均值各态历经Ft出自相关函数各态历经lim

11、P Xt+ r)AZ) - Rx(r) = 1T各态历经性-同时满足以上两条！ 平稳随机过程均值各态历经的充要条件:.1r、歸（1-护-聪心04、平稳过程的功率谱密度10#1、能量型信号#-oOJ d32tt2、功率型信号(t )dt 00#F(/o,T) = fdt = f s(t)e 213、平稳过程的功率谱密度片（）=岬 *E|24、互谱密度互谱密度与互相关函数的关系* -（0 = 7-（ S府（）严必）性质S府（）二 Sr （t?） = S図（一血）Sj(O)2S3C(&)Syr(&)SS盯(e)二/?AT(r)cos rt/r奇函数偶函数第三章随机过程的线性变换1、随机过程变换的基本

12、概念1、线性系统疊加性HK列斗二已上比 mp=o比例性脳(灯=kLx(Q时不变性y(t + r) = Lx(t + r)2、冲激响应、频率响应和传递函数y (” =丄兀(f 打= Ijim.x;=bmZ 卜;(t) 二巴岁3川以严1 星冈)=卫9)左(闵=Lim V.Y (1 jti ) i? n_2jr Y* L i匹v(z)-=j&)h(加)严昴CDI榊=hud2、均方微积分 1、极限及性质常规极限limP|.V-A = 0 茲怛卫亠均方极限11=T打7卫卿卫卜厂寸卜均方收敛瘀定當规收敛#lini A = Arf随机过程的极限常规极限lim刊|工工卜員=012#均方极限恻 Emi*（）Li

13、mV二工ETtf#均方连续定义舸砂m=0i.i.mX(Z+A/) = X(r)凶一*0条件:脣（E柱 r = r2处连续工（均方连续#!imKx(r +Ar) =E:Li.m 工(W)_垃5_二町工/lim mvlim E盘TO-x(t) ko平稳过程g在r = o处连续忑均方连续均值连续及性质（ + ）二叫limfifm 丨 $）&卫 1-均方微分均方导数的定义dt加to疋（打条件 心（D 在 r=二阶混令偽导存在工均方可微平稳过程在r = 0二阶导数存在工均方可微数字特征:均值niY(t = E A (f) = E l.i.iv:平稳过程 码（r） = o_叽”）diT f虫 TQf= h

14、mKMtDX(t + AT)-X(t)St=llnl附證（+）_附（） 也tAr严相关函数(也戶 EX(rJ 也)=ET(J，小心）-巾）並2町工工仏+丫）-工工=（也+卫）-加也）-%炽也）同理& 1- L2）二不隔1 E击尸功率谱密度“）八护）傅立叶变按的性质S； 血）二尽匕）eJdr = -| 理y）萨加血 -ca-w 4 厂=-（加吐）=/兀（叭SXY（co-ja）Sx（co同理比（他）二沟片（血）14均方积分定义bnL厂随机过程的积分变换O 工oPrOY(r)X(s)ds atb均值二 J 叫atb平稳过程H?y (f) = f 叫(s)cis = f cds = c(t- a)Ji

15、i J a协方差二W1也）dtxdt2=f f R （沁）-叫（叫（百）此平稳过程2T02T3、随机过程线性变换的微分方程法15工仃)=工口3(1 = 01、均值叫)二乞勺丁=016#2.互相关函数#刊尺打lt)f S/g） = Sx（dyH（ jco） -） =S” （）恫（丿G）JJ7?疋（,2）= Y Clij-ORxy（G 4 ）=刀 atJ=o4、随机过程的冲激响应法和频谱法1、冲激响应法Y（f） = +aX（t-T）h（T）dTJ fflf +caX （r）/?（;- r）t/r = X （f）* /?（t）尸均值;niYr) = rnx(t)ht)尸互相关函数Rys(*i ，2)

16、= Rx (A 2)* h(1)XY( A，切=Rjl ft t2)* h(4 )4，切二理(f“严 MO* z)2、频谱法对于平稳随机过程：f+0D叫（/） - mx h r ）dr= mYJ -mR（T）Rx（T）h（T）Rxy （ r）二磯（r）*力（一厂）卜I7?r（r） = Rx（r）* h（r） * /?（-r） J第四章窄带随机过程1、窄带随机过程的基本概念K窄带过程的描述t娜M/oS(r) = a(r)*costy0z + p(r)=a(/)cos(i)/)cos(p(0) 一 a(t) sin(c90z) sin(p(/)氐二氐曲=j SNay(co-a)da=lmi 三比(

17、Ar 血讽_e)Sr=lim f “(q + 呎少+ 代 + 力 A(?j)十(一吗 k*Ary)卜Sll LY(r)二 A cos Rs(r) - y ,42 cos co i/* |5用(e) = /I(? co) +因此.把窄带噪声的样本函数门(表示成：?(/) = lim V cos(rt?0 + k - 3.Ary 0 乞 *c +A(7)Af(1/2将n (七)展开为/7(z)= lim V+ )cos sin(XrAy/ + )sin/.14劃tO七7r=ncf )cosf -孔(still rt)or这里同相分量4(r= lim，凡c+ %) wfyT 上%（）=sinftAt

18、yr+ .)4正交分量2、窄带平稳随机过程的数字特征1. 役(旷)和/?凤(旷)Rx (r) = F AF(r)cos 如+X(f)sin 血JX(f - r)+Af- r)sin(f- r)aRx(r)cos 1 cos 9；0 (t 一 r) + 7?(r)sinsin (一 r)+R血(r)sin 砒 cos 叫(/- r) + 7? (r) cos 叫f sin 叫(f 一嘗)A=尺乂( r) cos 叫 r + fi sin 叫 r类似,可得/?儿()=Rx (r) cos o)qt + Rx(t) sin or = 7? v (r) 可推出 Rx (0) = Rx (0) = Rx

19、 (0)sc2、互相关函数Rx v (r)7?w(r)= EUA；a)A；(r-r)=7?v(r)sin Or-/?z(r)os e 訐(r) -7?Y(r)sin叫匕+尺/書冗凶 叫_耳砂=俛以一门由此，可得(0) = 0久心(書)Rx(r) = EX(f )X(t -t)= 7?y (r)cosrt)0r + Rv v (r)sin ）|（% +少）XQ 一 （ -）V；/ jzZ（备一辺）8%-心）1恒/（备+砂）？）一（-少）？）片 =W：I|-0） 0）匕 b 初ms （盯Nh =即%H = 3）卞%）0 =（啦 + 尸 ）+（%_（）” 9）泊第五章高斯随机过程1、咼斯随机过程定义

20、 如果随机过程 Y仃)E T 的任意有限维分布均服从高斯分布.则称它为高斯随机过程 其概率密度函数为= exp|-i(x-a)rC(x-a) (加尸仲 I 2若X(t)为平稳过程，则罠=，-V) = 7特征函数高斯过程是二阶矩过程T2(/)00(0= tan_J 丄4()(p27TAJO可得，二维随机变量的函数的联合分布为2p(a(p) = af (a cos(/), a sin 00 (p 0匸、(0)如=話小”一話 p(A,(p)cL4 = 0 (p 2tt曲）2（2_丁心72、二维分布对于匸“比两个不同时刻，有工（心）=月（fi）cog（G ,占厲）=心）血心）X亿）二貝（4）cm0（b

21、），工（岛）二且（匚）皿10（匚）LaIJiB1HM = J工心）+ 匚（G , 0（fJ = tan1ya；（g）貝） = J工乜）+ 工乜）,/（）= tair1、兀匕）包络的二维分布为p宀）二C萨-拾厉9；+碍）“旷r%勺宀二 加 lcl2cqr 2倒jV 1!r /n（x）= exp（xcosi/2D相位的二维分布为#（列，钙）=p、g 2tt19#式小p= cos1 一厂（r） co乱必一曾）#第六章泊松随机过程1、泊松计数过程K计数过程定义 在时间0,8)內出现事件A的总数所组成的过 程. 冋七)心0称为计数过程。其满足下列条件N(t)是一个非负整数N (0) = 0如果有两个时刻

22、点亠七且s 矢与(5 -Af)是互不重叠的区间 N(t) A (s)与十)一M(&十丁)是互不重叠的区间平稳增量过程PN(f St)-N(s- St)= k = PN(t) N($)= k2、泊松计数过程/定义 对于计数过程N(t)rtE0F-),满足尸零初始值PRV(O) = O = 1尸平稳增量P ()_ N($)=左=尸N(f + A/)=疋f 5 0t Ar 0k独立增量0 0出5 士合rPN(t + St) - N(t) = k = p+ St) - N(r) = k = k = 0则称N住)为泊松计数过程口/定理 若随机过程fV(0.r_0!为泊松过程，则在时间间隔 心儿十事件A出

23、现k次的概率为打 P Ngf)Ng=k =匕二上=0J2 k!2、泊松计数过程 /均值ELV=，均方值EN2(t) = At + At)2，方差Z)AT(/) = Zr/相关函数7?v(zp、)= 2工1 + z 111111(7.)“过程强度 乂 =t3泊松脉冲列的统计特性对泊松随机过程N (二儿亡鼻0进行微分.得到泊松脉冲列 M)=0满足下列假设，称为泊松过程，1. 在 t=0 时，N(t)=O ；2. 该过程是独立增量计数过程；3. 该过程是平稳增量计数过程；4. 在(t, t+ t )内出现一个事件的概率为入厶t + 0( t),入为一常数,在(t, t+ t )内出现两个或两个以上事

24、件的概率为0( t)即 P N(t+ t) - N(t)1=0( t)2、泊松过程的分布特征 泊松过程的概率分布律为：PfN(t。 t) _N(t。)= n.； = Pn(t)= ( t) 融 n!泊松分布的母函数为：七)J P/厂0兰nn!占叫)22对于给定的时刻s、t，且st , ts rt，以及相应的N(s)、N(t)，转移概率 分布为。PN(t) = n k/N(s) -k?= PlN(t) _N(s) = n/N(s) 二 PlN(s ：t)-N(s)二 nl二 Pn( P :n!3、泊松分布的统计特征均值：OQE d(t)； - n PN(t)二 nnEN(t)?一 dz“(z)Q

25、OQOEN(t)=5； nPN(t)= n=迟 nPN(t) =n zn n n =PN(t)= n z=.A(z) 1dz占乜仝 Idz二 “2t_dzziElN(t)4 t方差：oOE N(t)门k2PN(t) =kk=SQO=E k2P(N(t) =k) zk|zk卫d dk= zz丁 |E P(N(t) =k) z dz dz k亠zz ：(z)_ dz dzzze,t(123#=z zte2)冷二ztez2t口2二 11 亠 i .tDN(t) = EN(t) f- EN(t)f =毗自相关函数：R(ti ,t2)= EN(t1)N(t2)?假设t2，有EN(t1)N(t2)E ：N

26、(t1)N(t1) N(t1)N (t2) - N (tj E = EN(ti)N(ti) EN(ti) EN(t2) N(ti)2二亠-.tt2t|1 t. t / t?若t1 t2，则有:EN(tJN(t2) - t -ti t2总结起来有r2tt2t t2入 t2 + h t1t2U +丸2电或：R（tt2）min比龙丨弋自协方差函数C(t1,t2)=EN(t1)- 卜(t1)N(t2)(t2)卜 二EN(t1)N(t2)、W(t2)= mi nD二2 & -匕)t2U (t1 - t2)第七章总结经过这学期对随机过程的学习，我基本了解了随机过程的含义与如何应用随 机过程建模。对于随机过

27、程的含义，我认为可以从两方面来理解：一个理解， 随机过程是一组样本函数的集合；根据这个理解，可用试验的方法研究随机过 程，通过随机试验观测其各个样本函数，观测次数越多，所得样本函数的数目 越多，就越能掌握该随机过程的统计规律。另一个理解，随机过程可看作是一 簇随时间变化的随机变量的集合；随机过程可视为多维随机变量的推广，时间 分割越细，多维随机变量的维数越大，对随机过程的统计描述也就越全面，因 此，概率论中多维随机变量的理论也可作为随机过程分析的理论基础。如何分 析一个随机过程呢？随机过程通过线性系统一般有三种分析方法，它们是微分 方程法、冲激响应法和频谱法；冲激响应法是随机过程通过线性系统分

28、析的基 本方法，对于平稳和非平稳过程都是适用的，而频谱法只适用于平稳随机过程 的情况。在课程的下半段，我又接触了几种在应用中常见的随机过程，包括窄 带随机过程、高斯随机过程和泊松随机过程，这些随机过程广泛的应用在通信、 雷达、导航、自动控制、生物物理、系统工程、空间技术等多种工程科学技术 中，学习这几种随机过程，相信以后在遇到类似的数学建模问题上就不那么手 足无措了。把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性 描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正 是这一学科的魅力所在。在课程学习中，由于问题太抽象，我有很多问题很难理解，杜贞斌老师总是 能理论结合实际，形象具体地把问题展现在我面前，听杜老师的讲解总是有种 醍醐灌顶、豁然开朗的感觉，感谢杜老师的耐心指导，也感谢周围同学在生活 以及学习上对我的帮助。2425