福建师范大学21秋《复变函数》复习考核试题库答案参考套卷85

《福建师范大学21秋《复变函数》复习考核试题库答案参考套卷85》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21秋《复变函数》复习考核试题库答案参考套卷85（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、福建师范大学21秋复变函数复习考核试题库答案参考1. 证明在a，b上p方可积函数必是L可积函数，即 (1p+)证明在a，b上p方可积函数必是L可积函数，即(1p+)若p=1，则结论显然成立； 若1p+，对，令A=x| |f|1，xa，b，B=a,bA，则有a,b|f|dm=A|f|dm+B|f|dmA|f|Pdm+Bdm=A|f|pdm+mB+，即|f|是L可积，从而f是L可积。 2. 设区域D为：由以点为顶点的四边形与以点， 为顶点的三角形合成，随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的设区域D为：由以点为顶点的四边形与以点，为顶点的三角形合成，随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布

2、，求关于X、Y的边缘概率密度3. 已知曲面x2+2y2-z2-2xy+2xz-2yz-4x-1=0，求与方向1:-1:0共轭的直径面方程。已知曲面x2+2y2-z2-2xy+2xz-2yz-4x-1=0，求与方向1:-1:0共轭的直径面方程。因为 F1(x，y，z)=x-y+z-2=0 F2(x，y，z)=x+2y-z=0 F3(x，y，z)=x-y-z=0 所以与方向1:-1:0共轭的直径面方程为 1F1(x，y，z)+(-1)F2(x，y，z)+0F3(x，y，z)=0 即 2x-3y+2z-2=0 4. 若(G，*)是由三个元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群( )若(G，*)是由三个

3、元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群()正确5. 下列积分不为零的是( ) A-sinxdx B-x2sinxdx C-exdx D-sinxcosxdx下列积分不为零的是()A-sinxdxB-x2sinxdxC-exdxD-sinxcosxdxC6. 某资金账户现金流如下：在第1年初有100元资金支出，在第5年末有200元资金支出，在第10年末有最后一笔资金支出；某资金账户现金流如下：在第1年初有100元资金支出，在第5年末有200元资金支出，在第10年末有最后一笔资金支出；作为回报，在第8年末有资金收回600元假定半年换算名利率为8%，试利用价值方程计算第10年末的支出金额大小(分别考

4、虑复利方式和单利方式)设第10年末的支出金额为X，则这个业务的货币时间流程图(时间单位：年)如图1-2所示 (1)采用复利方式计算 下面考虑两种比较日的价值方程： 选第1年初为比较日，根据当事人支出与收回的价值在比较日应该相等的原则，有价值方程 100元+200v10元+Xv20=600v16元，v=(1+4%)-1 解此价值方程得 =(6000.53391-100-2000.67556)/0.45639元 =186.76元 选第5年末为比较日，则价值方程为 100v-10元+200元+Xv10=600v6元 由此价值方程求得 可见，选两种不同的比较日所得结果相同 (2)采用单利方式计算 首先

5、计算等价的年单利率i由题设有1+10i=(1+0.04)20，所以等价的年单利率为i=12% 下面考虑三种比较日的价值方程： 选第1年初为比较日，则由当事人支出与收回的价值在比较日应该相等得价值方程 解此价值方程得X178.5元 选第5年末为比较日，则价值方程为 求解价值方程得X129.9元 选第10年末为比较日，则价值方程为 100(1+10i)元+200(1+5i)元-600(1+2i)元+X=0元 求解价值方程得X204元 可见，选三种不同的比较日所得结果完全不同 7. 用图解法解下面线性规划问题 max S=x1+x2用图解法解下面线性规划问题max S=x1+x2满足约束条件的点为如

6、下图所示的阴影部分，其中BA和CD可延伸到无穷远，所以可行域无界作出等值线x1+x2=0，因为目标函数的截距式为x2=-x1+S(S前面符号为正号)，所以增值方向是使截距向上平移的方向由于可行域无界，所以等值线簇可以无限远离原点，目标函数无上界，从而该问题有可行解但无最优解 另外，由图可知，该线性规划问题有最小值的最优解，其对应点就是无界区域ABCD的一个顶点C(1，0)，此时最优值为1 8. 已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，

7、又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：如果这两点是两曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(即PQ为C1，C2的公共法线)设P，Q分别为曲线C1，C2上的两点，且PQ为两曲线上相距最短距离，由(1)可知PQ位于曲线C1的法线上，也位于曲线C2的法线上，因此必定位于曲线C1与C2的公共法线上，由(1)可知曲线c1在点P(，)处的法线向量的斜率为,曲线C2在点Q(，)处法线向量的斜率为，又线段PQ的斜率为，可知有 从而有 由于上述方法是(1)中求极小值而得，相仿，如果PQ为曲线C1与曲线C2的最远距离，利用相仿方法求极大值，也可得出相同结论 9. 设A是n阶矩阵

8、，满足(A-E)5=0，则A-1=_设A是n阶矩阵，满足(A-E)5=0，则A-1=_正确答案：A4-5A3+10A2-10A+5EA4-5A3+10A2-10A+5E10. 设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:， $，. 11. 计算由曲线y=2x与直线y=x2，y=x围成的平面图形的面积。计算由曲线y=2x与直线y=x2，y=x围成的平面图形的面积。12. 设矩阵A54的秩为2，1=(1，1，2，3)T，2=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方设矩阵A54的秩为2，1=(1，1，2，3)T，2

9、=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.解空间的维数为4-r(A)=4-2=2，1，2可作为解空间的基，对1，2用施密特正交化方法，得解空间的标准正交基为：，.13. 设(X1，X2，Xm)与(Y1，Y2，Yn)分别是取自总体 X与Y的两个样本XB(1，p1)，YB(1，p2)，其中p1，p2均为未知，0p1，设(X1，X2，Xm)与(Y1，Y2，Yn)分别是取自总体 X与Y的两个样本XB(1，p1)，YB(1，p2)，其中p1，p2均为未知，0p1，p21当m，n较大时，试用近似方法导出未知参数p1

10、- p2的一个双侧1-置信区间(提示：利用定理7.9(ii)m，n较大时，近似有 14. 试求y=x的经过点M(0，1)且在此点与直线相切的积分曲线试求y=x的经过点M(0，1)且在此点与直线相切的积分曲线方程的初始条件为y(0)=1， 代 代入y(0)=l，得C2=1，所求积分曲线为 15. 为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9对数据如下：0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.

11、00 17.40.10 0.20 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89假定两种工艺方法生产的产品的性能指标之差服从正态分布根据这些数据能否判定不同工艺对产品的该性能指标影响有显著差异?(=0.05)16. 2一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-3z=8垂直，求此平面方程。2一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-3z=8垂直，求此平面方程。2-17x+28y+9=017. 设函数y=f(x)是由方程x=yy确定的，则dy=_设函数y=f(x)是由方程x=yy确定的，则dy=_18. 在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中

12、 x=1，2，3， y=2，3， 证明：(T)由满足|1的一切点组成，在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中x=1，2，3，y=2，3，证明：(T)由满足|1的一切点组成，T的特征值由满足|1的一切点组成，对于|=1，I-T是单映射。(1)T=1显然，所以|1时，(T) (2)|1时， 它有非零解 x=11，2，)lp(10)， 故|1时，|p(T)(特征值)。从而 (T)=1，(T)=|1 (3)|=1时，由(I-T)x=0可知x必具有形式 11，2， 故当且仅当1=0时有xlp所以在lp中(I-T)x=0只有零解，即|=1时，(I-T)是单映射。 19. 2xydy=(2y2x)dx

13、2xydy=(2y2-x)dx20. 条件概率P(B|A)与概率P(AB)有何不同?条件概率P(B|A)与概率P(AB)有何不同?条件概率P(B|A)中A，B地位不同，且已知A已发生作为条件；在概率P(AB)中，A，B同时发生，地位相同，没有前提条件，在应用问题中必须区别是求P(B|A)还是求P(AB)例如从6个正品2个次品的袋中，不放回抽取2次，A=第一次为正品，B=第二次为次品，求(1)第二次才取到次品的概率；(2)已知第一次取到正品，B发生的概率那么，第一问是求P(AB)，而第二问是求JP(B|A)21. 证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度，R

14、是地球半径证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度，R是地球半径取地心为原点O，建立如图6-20所示的坐标系，y轴向上题设引力常数为G，故作功元素，则 由于在地球表面上，所以GM=gR2，代入上式 22. 函数f(x)可导是连续的必要非充分条件。( )函数f(x)可导是连续的必要非充分条件。( )正确答案： 23. 能被3整除的数是A、92.0B、102.0C、112.0D、122.0能被3整除的数是A、92.0B、102.0C、112.0D、122.0正确答案：B24. 如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线

15、。如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。设(l)=l：ax+by+c=0,其中l:ax+by+c=0，即+c=0，=(a，b)，所以 = 即 且 再由 (ax+by+c=0)=l:ax+by+c=0 得不动直线为20x-5y-8=0和2x-2y-5=0。 25. 函数y=x21 的驻点是 x=_.函数y=x2-1 的驻点是 x=_.参考答案：026. 设A表示“甲射击击中目标”，B表示“乙射击击中目标”，C表示“丙射击击中目标”，试用语言表述下列各事件：设A表示“甲射击击中目标”，B表示“乙射击击中目标”，C表示“丙射击击中目标”，试用语言表述下

16、列各事件：甲、乙、丙至少有一个不命中，即甲、乙、丙不都命中：=$甲、乙都不命中：；$乙、丙同时命中：；$甲、乙、丙没有一个命中，即甲、乙、丙都不命中：；$甲、乙不都命中，即甲、乙至少有一个不命中：27. 利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6, s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17, x2-x4+2x5-x6+x7=-22,利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6,s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17,x2-x4+2x5-x6+x7=-22,x3+x4+x5-x6+x7=-33,xi0(i=1，2，7)添加人工约

17、束：x4+x5+x6+x7=M，对扩充问题迭代两次得表7，从表中x2的对应行可知问题无可行解 表7 x1 x5 x6 x7 f -frac175 -frac15-frac95-4-frac15 x8 x2x3x4 M-frac175-22+frac175-33-frac175frac175 -frac15 frac65 0 frac45frac15 frac95 0 frac65-frac15 frac65-2 frac45frac15-frac15 1 frac1528. 证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根在(-2，-1)与(

18、-1，0)上运用零点定理29. 在直角坐标系中，求出把点(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)分别变成点(0，0，0)，(0，0，1)，(1，0，0)的正交变换公式。在直角坐标系中，求出把点(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)分别变成点(0，0，0)，(0，0，1)，(1，0，0)的正交变换公式。由于点(0，0，0)(0，00)，于是设正交变换公式为 把其他点的坐标代入得和且(i=1，2，3)，求出 a11=0，a21=1，a31=0，因此，所求的正交变换公式为 30. 证明：若函数f(x)在点x0处有f+(x0)0(0)，f-(x0)0(0)，则x0为f(x)的极大(小)值

19、点。证明：若函数f(x)在点x0处有f+(x0)0(0)，f-(x0)0(0)，则x0为f(x)的极大(小)值点。正确答案：由题干中所给出的条件存在0f在(x0-x0)内递减(增)在(x0x0+)内递增(减)。rn故对任意xU(x0；)恒有f(x)f(x0)(f(x0)故f(x)在x0处取得极大(小)值。由题干中所给出的条件,存在0,f在(x0-,x0)内递减(增),在(x0,x0+)内递增(减)。故对任意xU(x0；),恒有f(x)f(x0)(f(x0),故f(x)在x0处取得极大(小)值。31. 任意给定Cnn中的矩阵范数M，则存在Cn中的向量范数v，使得对任意的ACnn和任意的xCn都有

20、 AxvAM任意给定Cnn中的矩阵范数M，则存在Cn中的向量范数v，使得对任意的ACnn和任意的xCn都有AxvAMxv(1.16)取非零列向量yCn，定义xv=xyHM，则v是Cn中的向量范数，且满足式(1.16) 证毕 32. 一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式S=-12(2x2+3)dx33. 根据设计要求，某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结根据设计要求，

21、某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结果是否说明产品的标准差明显增大了(=0.05)?由于未知期望，由题设可知0=0.30，n=25，S=0.36 据题意，提出假设如下 提出假设H0： 找统计量 求临界值对给定的=0.05，查2分布表， 求观察值计算得 作出判断因为2=34.5636.415，所以接受H0，即认为该产品的标准差没有明显增大 34. 设有指标集I，f(x)：I是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在Rn上是可测的吗?设有指标集I，f(x)：I是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在R

22、n上是可测的吗?35. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x)也是有界变差。( )A.正确B.错误参考答案：A36. 求下列函数的，(其中f具有二阶连续偏导数)：求下列函数的，(其中f具有二阶连续偏导数)：zx=f1y+f20=yf1，zxx=yf11y+0=y2f11， zxy=f1+y(f11x+f121)=xyf11+yf12+f1， zy=f1x+f21=xf1+f2， zyy=x(f11x+f121)+f21x+f22=x2f11+2xf11+2xf12+f22$， $zx=f1y2+f22xy=y2f1+2xyf2， zxx=y2(f11y2+f122xy)+2yf

23、2+2xy(f21y2+f222xy) =y4f11+4xy3f12+4y2f22+2yf2， zxy=2yf1+y2(f112xy+f12x2)+2xf2+2xy(f212xy+f22x2) =2xy3f11+5x2y2f12+2x3yf22+2yf1+2xf2， zy=2xyf1+x2f2， zyy=2xf1+2xy(f112xy+f12x2)+x2(f212xy+f22x2) =4x2y2f11+4x3yf12+x4f22+2xf1$zx=cosxf1+ex+yf3， zxx=-sinxf1+cosx(f11cosx+f13ex+y)+ex+yf3+ex+y(f31cosx+f33ex+

24、y)， =cos2xf11+2ex+ycosxf13+e2(x+y)f33-sinxf1+ex+yf3， zxy=cosxf12(-siny)+f133ex+y+ex+yf3+ex+yf32(-siny)+f33ex+y， zy=f2(-siny)+f3ex+y， zyy=-cosyf2-siny(-f22siny+ex+yf23)+ex+yf3+ex+y(-f32siny+ex+yf33) =sin2yf22-2ex+ysinyf23+e2(x+y)f33-cosyf2+ex+yf3 37. 设X，Y为拓扑空间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集设X，Y为拓扑空

25、间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集证明记X，Y上的拓扑分别为X，Y 充分性 设BY，则令A=Bc，A是闭集，有T-1(A)是闭集于是T-1(B)=T-1(Ac)=T-1(A)cX，这表明T连续 必要性 设T连续，A是闭集，则AcY，从而T-1(A)c=T-1(Ac)X这表明T-1(A)是X的闭集 38. 下列函数中( )的导数等于sin2x Acos2x： Bcos2x： C-cos2x； Dsin2x下列函数中()的导数等于sin2xAcos2x：Bcos2x：C-cos2x； Dsin2xD(cos2x)=-2sin2x，(cos2x)=-2cosxsin

26、x=-sin2x， (-cos2x)=2sin2x，(sin2x)=2sinxcosx=sin2x，故选D 39. 设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)正确答案： B40. 某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)： s=t3-6t2+7t，0t4 来刻画，其中s以米计，f以秒计，以起某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)：s=t3-6t2+7

27、t，0t4来刻画，其中s以米计，f以秒计，以起始方向为位移的正方向试回答以下关于物体的运动性态的问题：(1)物体何时处于静止状态？(2)何时运动方向为正或为负，何时改变运动方向？(3)何时运动加快、变慢？(4)何时运动最快、最慢？(5)何时离起始位置最远？位移：s=t3-6t2+7t，速度： 加速度： (1)我们知道当v变为零，即 v=3t2-12t+7=0， 也即秒或秒时，物体瞬间处于静止状态 (2)由于起始速度v(0)=7米/秒，且v=v(t)为t的二次函数，故可知t内，物体运动方向为正；在内，运动方向为负，于是可知秒或秒时运动方向改变 (3)当a0，即t2，4时，运动速度加快； 当a0，

28、即t0，2时j运动速度变慢 (4)由(2)的分析知，当秒时，速度v值最小；又根据二次函数的性质，可知当t=0秒或4秒时，速度v值最大 (5)我们可以根据s(t)的导数 s(t)=v(t)=3t2-12t+7 的取值来判断s的单调性，且易知s(t)即v(t)的零点 和 即为s(t)单调性发生改变的点，且知秒时取得最大位移，t=2+秒时取得最小位移 41. 设总体X有E(X)=，D(X)=2，从X中分别抽得样本容量分别为n、m的两组独立样本，样本均值分别记为设总体X有E(X)=，D(X)=2，从X中分别抽得样本容量分别为n、m的两组独立样本，样本均值分别记为因为，故T为的无偏估计$ 令(D(T)a

29、=0，解得 而，可见D(T)在处取得唯一的极值且为极小值，故知时，D(T)最小 42. 设随机变量X的分布函数 试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数设随机变量X的分布函数试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数由题意及分布函数的性质，有随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 =E(X)=-10.2+00.3+10.4+20.1=0.4， E(X2)=10.2+00.3+10.4+40.1=1 D(X)=E(X2)-E2(X)=1-0.42=0.84 故，故的分布律为 X -1.52 -0.4

30、3 0.65 1.74 P 0.2 0.3 0.4 0.1 故Y的分布函数为 43. 当拉格朗日中值定理中，f(x)满足_时，即为罗尔定理当拉格朗日中值定理中，f(x)满足_时，即为罗尔定理正确答案：f(a)f(b)f(a)f(b)44. 试证明一棵二元完全树必有奇数个结点试证明一棵二元完全树必有奇数个结点方法一：设二元完全树T有n个结点，m条边依定义，T中每个分支结点都关联两条边，所以m必为偶数又因为T是树，有n=m+1，故n为奇数，因此二元完全树必有奇数个结点 方法二：设二元完全树T有n个结点，l片叶子，b个分支结点，则有n=l+b及b=l-1，所以n=l+b=l+l-1=2l-1，即n为

31、奇数本题可根据二元完全树的特点，树和图中边、结点的关系，经综合考虑得出结论。 45. 利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数 $ $两边同时求微分得 xdx+ydy=xdy-ydx 移项得 (y-x)dy=-(x+y)dx 解得 ， 46. 对原始资料审核的重点是_。对原始资料审核的重点是_。资料的准确性47. 设数量场，则div(gradu)=_设数量场，则div(gradu)=_ 48. 设某养老金计划参加者具体的存款方式为：在2529岁时，每月存款200元；在3039岁时，每月存款300元；在4049岁时设某养老金计划参加者具体的存款方式为：

32、在2529岁时，每月存款200元；在3039岁时，每月存款300元；在4049岁时，每月存款500元；在5059岁时，每月存款1000元在年利率i=10%下，分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金年利率i=10%，因此有，=271.0244， (1)恰好在25岁开始加入养老金计划，则60岁以后的月退休金为 即每月领取约10580元的退休金，直至80岁 (2)从30岁开始加入养老金计划，则60岁以后的月退休金为 即每月领取约8078元的退休金，直至80岁 (3)从40岁开始加入养老金计划，则60岁以后的月退休金为 即每月领取约4300元的退休金，直至80岁 49. 描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；系统对环境做功时W_0。正确答案：U=Q+W、50. 自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?正确答案：