计算机数学基础下数值部分辅导3

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1、1计算机数学基础(下)数值部分辅导(3)中央电大 冯泰第11章函数插值与最小二乘拟合一、重点内容1. 函数插值已知函数 f(x)的 n 个函数值 yk=f(xk), k=0,1,2,n。构造一个多项式 P(x)，使得P(x0=yk。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，Xk就是插值节点。误差R(x)=f (x) P(x)。2. 拉格朗日多项式n用 n 次多项式Pn(x)=yolo+yili+ + ynln=yklkk卫其中基函数(X Xo)(X Xi)(X Xi)(X Xj 1)(x Xn)(XjX)(XjXj (XjXi)(XjXiJ (XjXn)当 n=1 时，线性插值P#x)=y

2、klk(x)+yk+1lk+1(X)其中基函数lk(x)二x-x,lk1(x)二xXkxk -xk 1xk 1 _xk当 n=2 时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为f(申化)Rn(X)= f(X)Pn(X)卩(X)(n + 1)!其中：(a,b)注意：过 n+1 个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n 的多项式。3均差与牛顿插值多项式 函数值与自变量的差商就是均差，、f (x - f (Xi)一阶均差f(x,x)(或记作 f X0,X1)；X0-Xi二阶均差f(x,x ,x、)二丄区必)(或记作 f X0,X1,X2)亠xo-x7均差有两条常用性质：(1)均差用函数

3、值的线性组合表示；均差与插值节点顺序无关。用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)= f(X0)+f(X0,X1)(X-X0)+f(X0,X1, X2)(X-XO)(X-X1)+ f(X0,X1,X2, Xn)(X_X0)(X_X1)(X_X2)-(X-Xn-1)牛顿插值多项式的余项为Rn(x)=f(x) Nn(x)= f(X,X0,X1,X2，Xn)(X X0)(X X1)(X X2)(一 Xn1)(X Xn)4.分段线性插值已知 n+1 个互异节点 X,X1,.,Xn,构造一个分段一次的多项式P(x)，且满足：(1)P(x)在a ,b上连续;(2) P(Xk)=yk(k=0,1

4、,2,);(3)P(x)在xk,Xk+1上是线性函数。n分段线性插值函数p(x)=，“yili(x)其中 lk(x)(k=0,1,2,门)是分段线性插值基函数(j =0,12，n)2一I 0(x) = * X XQxXiXi Xi_iX一Xih(x)= -Xj兰x兰x(i =1,2,., n1)Xi _Xj申0Xo兰X兰Xid，X“兰X兰Xn0XEX兰XnjInd XXn_j” ”- XMXn Mn - Xnj5.三次样条插值函数h广x Xk(yk-mk.)(k二L，二，n - Jg一x _ Xk.)ohk其中 Sr(Xk)=mk(k=0,1,2, -n),hk=xk+i Xk(k=0,1,2

5、,-n 1),mo,mi,mn满足的方程组是Zm。=Cokim0+2mb| 十已m2= GnE/ 2m2幕皿2mn二Cn(2)当已知 S (xo)=yo=mo, S (xn)= yn=mn时，(*)式化为 九卩。+ 2m + 卩2 = 5 _jYo* 扎mj + m+Pmk* =cX - _ X _ X X XXnXj J空X空XiS(x)(X -Xk丄6hkmkhmWk上mJhk“ hmk+2mk+卩刑十C(*)其中:hk 4-khhjhhj(1)hh4(y1-yy-y4hv)(k=1,2,n 1)当已知 S(xo)=yo,S(Xn)= yn时，(*)式中eeco弋(gyo)，cnho6(y

6、n-).hnhn3=_卬=mnhr_mn=Cn-、n_|yn6.最小二乘法x :X424用(x)拟合数据(Xk,yk) (k=1,2,n),使得误差的平方和n2 M -(Xk)k 4为最小，求(x)的方法，称为最小二乘法。(1)直线拟合若y二(x)二a. am - 1 时，f(n+1)(x)=0 , Rn(x)=0 ,所以n、xklk(xr xmk注意：对于次数不超过n 的多项式Qn(x) =anXn an_Xn= a* a；,利用上结果，有Qn(X)二anXnax . a x a,-nnnn=an、Tk(x)x：an：k(x)x：=. lk(x)Xka歹k(x)kkkk =7n八lk(x)a

7、nX：an_x：=aXka八Q(xQlk(x)yk=o可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的 多 项 式 在 n + 1 个 互 异 节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例 4 4 已知函数 ex的下列数据用分段线性插值法求 x=0.2 的近似X0.100.150.250.30值。Xe0.904 8370.860 7080.778 8050.740 818解用分段线性插值，先求基函数。-0.15ldx)=J - 0.050 x0.10=20 x 20. 10兰x兰0.15 0.05I$I (x)=-=2 5 10 x 0. 15兰x乞0.251-0.1000.25

8、兰xEO.dO0 2所以，e=P(0.2)= 0.819 07X0.2+0.983 569=0.819 755例 5 5 已知数据如表的第 2, 3 列，试用直线拟合这组数据。 解计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是=S - 2ixI：(x)二工X 匚T _ X _匚二、.x 0.北-工xi, _x _丄3 i.10I(x)二X-.T二一工x -、_x _ c.3i.所求分段线性插值函数为3P(x) 4k(X)k=0一匚逊0X.-=一0. 819 0?x+0.9出5690. 759 66x +0.968 716Hx _ U匚j _ x _U U - x -C.3i-85a。+15a

9、 f= 31il5a +105.5解得 a=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为y =2.45+1.25 xkXkyk3XXkyk11414224.54933691844816329558.52542.5y153155105.5例 6 6 选择填空题1.设 y= f(x),只要 xo,xi,X2是互不相同的 3 个值，那么满足 P(Xk)=yk(k=0,1,2)的 f(x)的插值多项式 P(x)是_ (就唯一性回答问题)答案：唯一的2解答：因为过 3 个互异节点，插值多项式是不超过2 次的。设P(x)=a2X+aix+ao,a2,ai,ao是待定数。P(Xk)=yk,即a*6+aix

10、o+a0 = yo a以+aX + a = y ja必有+ ajXr + a0 = y -)这是关于 a2,ai,ao的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式2通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足()，则 P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值 yo=O (B) 一阶均差为 0 (C)二阶均差为 0(D)三阶均差为 0答案：(C)解答：因为二阶均差为 0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(xo)+f(xo,xi)(x Xo)它是不超过一次的多项式。3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是() f州(A)Rn(X)二f(X)- 巳(二(n(x)(n + 1)!(B)

11、 f(X,X0,Xi,X2,Xn)(x Xi)(x X2)(Xni)(X Xn)f(n+l(C)Rn(X)二f(X)-Pn(X)二J(n + 1)!(D) f(x,X0,xi,X2,Xn)(X X0)(X Xi)(X X2)(X Xni)(X Xn) 答案：(A) , (D)。见教材有关公式。4.数据拟合的直线方程为y=a+aix，如果记n_八Xkyk_ nxyk三x2X0 x2X1xj所以，不超过XXX;X、- X|-)(X、- X ) - i.-2 次的多项式是唯一的。1n1nx Xk,y yk,lxxnknk-：那么系数 a,ai满足的方程组是n a。+xa = y(A)IXalxxa.

12、1lxy(B)xyai =1lxx(C)严 o+aix =ynxa+lxxai = lxy= yaixr-a + aix = y(D)iXa+lxx= lxy10答案：(B)解答：因为法方程组为11一nna。+ (瓦Xk)ak -1 -nn( Xk)a0(I k 1k 4k 11n1n- -由第 1 个方程得到a二二 ayka.vXk二y-a.x，将其代入第k三一nk三-nnnx(y - a x) ()a=_Xkykyn_、n整理得a p x, _nX)=、xkyk_nxyy故(B)正确。三、练习题1已知函数 y=f(x),过点(2,5),(5,9),那么 f(x)的线性插值多项式的基函数为

13、_。2. 过 6 个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x) =_。3. 已知多项式 P(x),过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的 3 阶均差为常数 1 ,一阶，二阶均差均不为0,那么 P(x)是()(A)二次多项式(B)不超过二次的多项式(C) 3 次多项式(D)四次多项式4. 已知 y=f(x)的均差f(X,X,X)=、，f(x；,x-,x9,f (X :,xs,x：)=:f(X,X;,X、)-.那么 f(X4,X2,X0)=()(A) 5, (B) 9(C)14(D) 85. 求数据拟合的直线方程y=a+a1X 的系数 a0,a1

14、是使_最小。6. 求过这三个点(0,1), (1,2), (2,3)的拉格朗日插值多项式。7. 构造例 2 的函数 f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。8. 设 l0(x)是以 n+1 个互异点 X0,X1,X2,Xn为节点的格朗日插值基函数lJx) =(XX)(Xx.(xXn)(XQX)(XQ-XJ).(XQ-Xn)试证明：l(x)二(X-X/X-XL(XQX* (X_X)(X0_X)9.已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。10 已知数据对(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),(12,6.4), (13,5.9)。试用

15、二次多项式拟合这组数据。四、练习题答案x - 5x - 21.,-33n5. (yk-a.-axk)_6. x+1k三7.给定五对点，牛顿多项式是不超过4 次的多项式。N4(X)=0.41075+1.116 00( x-0.55)+0.280 00( x-0.40)(x-0.55)+0.197 33(x 0.40)(x- 0.55)(x-0.65) + 0.031 34(x- 0.40)(x-0.55)(x- 0.65)(x 0.80)将 x=0.596 代入牛顿多项式 N*x)中，得到：f(0.596)：N(0.596)=0.631 95X123yF y1-1n二、ykk 4n2Xk)ai

16、= Xkyk2 个方程得到(XXrXxXj.jX Xn(XX)(XX：) . .x( - Xn)(x _x;).(x _x(x _x j(x：-x).(x：-x9(xX、)3. C 4. B128.提示：求 l0(x)的牛顿插值多项式。13x I . x x - : x , 21 110r)03X-一x心X X.有n10. y=0.145X2+3.324X12.794附录：教材中练习和习题答案练习 11.111.1(A)1 14 451.P (x) =(x J P (J =二 1.二；P ()=二:.1r2.Pg亠(-X- X)二:PC)=】,7223. P2(x)=1 x x4. 4.794

17、3(0.6 x)+5.6464(x 0.5)sinO .57891 0.54667335. -：x:（B）1.节点；插值多项式；被插值函数(x _x )(x _x、)(x x)(x x J(X-XQXX-X1)5B(XX)(xX)厶.J.O. D(xoX)(X X )(X X|)(xx9练习 11.2(A)1. f(x0,X1)=-5, f(x1,X2) = -1,f(X2,x3) = 9；f(X0,X1,X2)=2,f(X1,x2,x3)=5,f(x0,X1,x2,x3)=12. f(x)=x3+X2+X+13. 39.0625（用牛顿插值多项式,p；（x）二二二（x -（X -、）（X -

18、）4.护=0.02119, $1=0.02020, y2=0.01931, .)3=0.01848,.屮=0.01773,2 2 2 2.：y0=-0.00099, . y=-0.00089, .：y2=-0.00083, .：ys=-0.00075,33344.：y=0.00010, . y=0.00006,紬2=0.00008,.：y=-0.00004,y=0.00002,5.-：y0=0.0000632/5. N4(X)=(X-4x +3)-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)24(B)1.色f(x ,x02. B 3.A 4.Dxx：5.yo+_ n_ +_込_(XQ-XfXXQ-

19、X(XIXQXXIX(X2_XQ)(X2_XI)练习 11.311.3(A)1.2.666 672.略9.S(x)二6. C14-1.6667x + 2.6667x+x Ox兰13.S(x) =2xL & $畑+12x7.6667 lx2空刃血时加.666%2 3比+旳2 x 30.123x + o. 37疔x + 1.7疔x 1 1 x 24. 十 4.?5x + 7 2 x 4O.$75x十5.625x+5.65x 幻4 x 5(B)1.C2见教材第 11 章公式(3.1)3.A4. S(x)在a,b上具有 2 阶连续导数S(xj)=yj(j=0,1,2,n)在每个子区间xk,Xk+i(k

20、=0,1,2,n-1)上，S(x)是 3 次的多项式5. B练习 11.4(A)1. y=-1.43+6.43p2. S=5.34+0.30t3. y=5.045 4.043x + 1.009x24.y=11.6789e(-1.1109风(B)nnna +b瓦Xk=瓦yk1. B 2.kk3. (Inxk,yk)(k=1,2,n)nnna Xkb Xk=Xkykk丄k k=习题 111. P3(x)=-(2x3-15x224x-9)32. P3(x)=0.2(x3-13x2+69x-92)3. P1(x)= 2x-14. N3(x)= x3+x2+x+17.f(,二二)J,f(, _,., =

21、 i-8. 0.603 1449.0.64310.S(x)=G 7617(x 0.刃 L4877(x 0.25) $ 10.0l(x 0.如)+10处 6(x Q25) 00.30 24(x d.39)L1.013x-Q30)彳一 6.10?8(x 0.39) + 6.9544(x0.30) Q 如 MxM0.39 一 m(x - 匚巧 一二二二(x 匚汨.J.I J(X.对 m(x .%).“ _x_ 匚、1.E(x 匸.口)： -1：V. jx-W.D)上). 岂 X_.D11.y=0.0213e0.272x实习作业：1. P(0.5635)=8261162.Nn(0.596)=0.631918;Nn(0.895)=1.01937