考研高数易错部分总结

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1、考研高等数学第一轮复习1.1. 函数的性质单调性奇偶性a奇函数：f(x) = O-a偶函数：a f (x) = 2 a f (x)-a0奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数XF(x)= f(t)dt,F(x) = f(x)有：f(t)是奇函数二F(x) C是偶函数(C是任意实常数)f (t)是偶函数：=F(x) C是奇函数(C=0)f (x)是奇函数，当 x (0, ：), f(x)0, f”(x)0(推出：f(x)在x 0上是Exa:单调递增的，并且f (x)是偶函数,x (0,：)上f (x)单调增)所以:x (：,0)时f (x)0, f (x) : 0周期性定义方法：定义，间接发

2、性质：一个周期函数在 n个周期上面的积分=在一个周期上积分的 n倍，与起点无关a nTaf (X)dx = n 0f(x)f(X)二f(x)a-TT证：a f(x)dx f(x)dx穴，、T令x_a=t,左式 f (t a)d(t a)x如果：函数f(x)周期为T,且F(x)f (t)dt那么：F(x T)=F(x) u : f(x)dx=OExa:若f (x T) = f (x),是连续的奇函数。x问：Fx)二.0 f(t)dt是周期为T的函数吗?TT/2答: Of(X)= ._t/2 f(X)=0=是设函数f(x)的周期是T:lim0 f(t)dtT0 f (x)dxT证明：(不能使用洛必

3、达法则，使用夹逼准则)设：n T 三 x ： ： (n 1)TnT0 f(t)dt(n 1)T(n 1)Tf(t)dtnTTxTn 0 f(t)dt o f(t)dt n l 0 f (t)dt_ _ n 1 TxnT1.证毕x/ sin t dtExa1: lim sin t dtx L :ji ji有界性判断方法：定义，不等式放大与缩小间接法：函数的有界性和单调性一样，需要相对某个区间而言，当然这个区间肯定是定义域 的子集，函数的连续性也是一样，首先是某点连续，闭区间连续是指区间内的每点连续，端 点处是左连续和右连续。连续的3要素;首先是该点必须要右定义，其次函数在该点的极限存在并且等于函

4、数在该点的值f(x)在区间【a,b】上连续=f(x)在这个区间上有界f(x)在区间(a,b)上连续，函数f(x)在a点的右极限存在， b点的左极限存在 = f(x)在区间(a,b)上有界lim f(x)二二=f(x)在含x0区间 上无界x Wo无穷大量和无界量的区别和联系：1、区别：无穷量是特殊的函数，是一个变量，当自变量趋于某个数或者无穷大，极限趋于0或者无穷大，而无界量根据定义，无界即没有上界和下界，对于任何整数M，在定义域的某个定义区间，总存在 x1,|f(x1)|M。2、联系：3、例题：f(x)=xsinx,当Xr 时，f (x)是:A ：B. 无界量C. 有界量D. 无穷小量解：对于

5、函数f(x) =xsinx,由于sin x是周期函数，将之改写成：f(x) =(2 n二)si n(2 n二)三0,当n很大时，x也很大，但是f(x)趋于0 若改写成：f(x)=(2n)sin(2 n )三2n ，当n很大时，2 2 2x也很大，但是f(x)趋于：。选Bf(x)=xLsin(x2)2 ,以下有界区间是:x(x1)(x2)A. ( -1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)本题考查开区间的有界性。x (-1,0),f(x)=-sin(x2)2(x-1)(x-2),连续,lim f(x)=, lim f(x)=X_； 1 亠18X0 -sin24x(0,1),f(x

6、)二sin(x - 2)(x-1)(x-2)(x-1)(x-2)lim f(x)= , lim f(x)不存在X )0 4 x ：1 X(1,2),f(x)二同理x (2,3),f(x)二sin(x - 2)(x-1)(x-2)2si n(x -2)同理连续性与间断点g(x)二 型,如果f(x)是奇函数，且f(o)存在，问：xx =0是g(x)的那一类间断点？分析：xo是函数f(x)间断点的3个充分条件：1、X0没有定义。2、xo有定义，但是lim f (x)不存在。xo3、 x0有定义，lim f(x)存在，但是 lim f(x)(x0)。判断类型：lim f(x)、lim f (x)存在，

7、x 谈0 .jx -如果：lim f (x)= lim f(x)= x0为可去间断点(第一类)JX0 一lim f(x)= lim f(x)= x0为跳跃间断点(第一类)x_ x0 X_ 0 -非第一类间断点即第二类间断点，有无穷间断点和震荡间断点 解答：g(x)在x=0没有定义。Exa： lim g (x) =limf(x = li叫 二 f (0)存在，所以x =0是g(x)的可去间断点。1.2. 极限极限的定义0函数极限的定义：f(x)在U(x。)有定义，对一任意该定的正数0；，不管它有多小，总存在U(x0,：),使得If(x)-A|v ;lim f(x)=Ax %0U(X0, )= 0

8、 ：|x x0 I ： 极限的唯一性极限的局部保号性lim f (x) = AX Xo若：0(1) U(Xo), f (x) _0(f (x)乞 0)= A_0(A 0)0 A 0(A ： 0) = U(X),、)，f (x) 0(f (x) ： 0)exal: f(x)在x =x某邻域内连续，且lim 心-牛0)=2(x -沧)讨论f(x)在x0处的极值。解：lim f(x)-f(x。)g x U(X0),0x心(x-x)(X-xjX r X0 J X - X0 : 0n为奇数,(xx0)n ： 0, f (x)f (x0) ： 0n为偶数，(xx0)n0, f (x)f (x0) 0 儿X

9、； x0 ,x -x 0n为任意整数，(x-x)n 0, f (x) - f (x) 0所以：n为奇数时，x0不是极值点n为偶数时，x0是极小值点注：本题关键：去极限符号，用保号定理分n的奇偶性，极值的讨论方法exa2: f (x),a,b连续，f (a)二 f (b) = 0, f (af (b)0求证：二三(a,b), f( )=0 证明：不妨设f(a) 0,那么f(b)0.f (x) 一 f (a)f(a)=lim0,T 0,x(a, a 、J, f (xj f (a) = 0 x afQVIim 型 0, 20,x2 (b 2,b), f(x2) ： f (b) =0xtxb零点定理得

10、结论，需记住此结论exa3: f (x)连续,f (0) =0且lim分析：limf (0) =0讨论f (x)在x = 0的特殊点情况。f (x)01 0,存在:0,在U(0,、M,f”(x) 0,f(x) |x|x (0, Jf(x)0二 f(x)x (i,0), f(x) ：0二 f(x八因此x =0是f(x)的极小值点f (x)exa4: f (x)连续，且 lim1讨论f (x)在x二0的特殊点情况。分析：limf (x)x01：0,存在、0,在 U（0,、）内,f (x)x:0显然：一x (0, ), f(x) ：0r (-,0), f(x)0根据拐点的判断条件：f （x）一阶导数

11、单调性改变的点是f（x）的拐点 f（x）单调性改变的点是f（x）的极值点。极限存在的条件极限存在的充要条件是函数在该点的左右极限存在且相等, 者是否等于函数在该点的值没有关系。P63但是与函数在该点是否定义,Exa:a +2cosx(x =0)f(x) = b(x=0)若 lim f (x)存在，求 a,bsi n3X/c、(x“)L. x丿lim (a 2cosx) = a 2 . sin3x=lim3.x Xa = 1,b二任意实数几个潜规则1、： （.）极限若存在，必有（.）=0（分子）2、 （分子1极限若存在且（分母） 0,必有（分子）=0 （分母）3、极限若存在且-0 （分子）0,必

12、有（分母）=0 （分母）x3 +ax2 +bexa1: lim8,a = ?b = ?T x-232limj xax b)=8 4a b=0322(x ax b) 3x2ax2lim(3 x 2ax) = 12 4a = 8x )2exa2 : lim( . x2 x 1 - ax - b) = 0, a = ?b = ?li. lim x(丄 Jx2 +x +1 _a _b) n limx厂 xxx厂Jx2 +x +111=Tim() = a = lim 一1 亠 亠 2 = 1x .；： xxx x原式=li(Jx2+x + 1 _a_b) = 0 xxb = lim( Jx2 +x +1

13、 -x) = lim x订1 十1 + 丄 一1 = lim x十厶)=丄 x厂x厂x xx厂2 x x 二bx sin xexa3:右 lim3 c(c = 0), a = ?b = ?3xln(1 t )adt3lim xln1dt=0= a=0 j0 a tbx sin xlimx )0xln(1 t3)dtx(b cosx) =lim3ln(1 x )0 tx(bcosx) =limx )0二 b =1b -cosx =limx 01.3. 导数导数存在的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等，首先函数必须在该点有定义。导数的实质是函数的极限，即增量趋于零的极限，极限的定义形式有3种

14、：1.4. 极限的求法步骤：判断类型、选择方法不定型：0 二、0、于 O0、旳 _oO、00旳要区别“真正的 0和1”和“极限为0和1真正的0乘以任何数为0.lim n sin（2n二）=0n_.0 2xtg-_nT=limn_：:=1exa3: lim(n_potg1)nn2= lim(1n .tg n1-1)1tg-n j1n1 1tg 1 n n 1n1n21tg1 -limn- *n ：11nn注:1,加1.减1.颠倒.还原自变量是“n?的函数不能直接用洛必达法则,1 1 1ax bcx应该是般-特殊exa4:求极限lim(xtoC1 1 b c - 331 1 1(令 t,lim 护

15、 &c3x x ：31a x解：原式=lim(1 一xSC*xlim(at-1) (bt-1) (ct-1)tT3ti ax丄 丄 丄 ax bx -cx :1 1b； -6 -3x1(abc)?= limat btt od 33t.11 na + tl nb + tl nc 二 limt-Q3t1ln (abc)3利用等价代换求极限利用等价代换求极限（上面其实已经用过）常用的等价无穷小：(x 0)s inx |_ta nxarcsi n x _ arcta nx_x(x 0) axL xIn a(x 0)ex-U x (x；O)I n(1+x) Lx (x 0)(1+x) m_i L mx.

16、1 2(x0)1-cosx x2(x 0) tan x - xexal:求极限：lim13-x3tanx x e -e3xtanx解法1:原式=lim e02xtan x xsec x-ee -elim2x a3x23x2tan x2xtan x xtanx2xe*sec x-e e-ee*sec x-e6x6x二 limlimlim0x )06xx)06 xx 刃 （错误很隐蔽：和解法 2 一样）x x解法2 :原式=lim乞輕 =0（tanx_ x,错!等价代换不能用在加减运算中 X 4 X-解法3：原式(etanx1)( ex -1)3xx3tan x e（错！ ！前提条件是两个极限都存

17、在，由下面知道，这两个极限都是不存在的。这样做没有道理）解法4（正确）：原式3 x二 limx0x tan x -x八e (e -1)二 limx0tan x -x /e -1xtan x - xx3洛必达法则求极限总之，用洛必达法则求极限时(如果可以用洛必达法则)，可以 先用等价代换化简，但是等价代换只能用在乘法或者除法，千万 不能用在加减法中，即被作等价代换的因子不能是加减法的一部分氏2In (1+t2)dtexa2:求极限 lim 一20T(21 0. ln(1 _l)(e3x 1)(Jl+x3 1)解：当X0时,2” -1 _x2ln2,e3x-13x,Jl + x3 1L -x3,且

18、这几个因子是- _ 2x22f ln(1 +t )dt 乘积的关系，所以原式 Tim 042x ln(1 x )=limx)0 35ln 2 *6x 2c 42x *x213x ln 2 *3x x 22?ln26x59ln22x22ln(1 t )dt =limx3ln2 x62啊知沁(0),sin x ln(沪四沁xcosxLx-sin x2x2xcosxLx -sin x2sin x x2很复杂另解：原式二 limx 0 x$ln(1 沁-1):xsin x -1) 1丫x； 0时 ln(1 x) _x,sin xsin x原式=lim sinx-x =lim sinxx应用洛必达法则x

19、T x2xxox3COSX -13x2结论:洛必达法则和等价代换混合使用145(夹逼定理和)定积分定义Exa1:求lim(丄)J ： n 1 n 2 2nn 1n 22n、， 111 1Xn+ +2n2n2n 2111n |Xn:二S存在，级数x Un收敛，和为S,反之，发散n =14、(n 1)!审敛法：limn#n!nn阿&)艸片十1 收敛n泰勒公式-皮亚诺余项泰勒公式-皮亚诺余项：无穷小运算法则：/ m 丄 / nm in m,no(x ) o(x ) = o(x ) o(x ) o(x ) =o(x )f(x)在含有X。的开区间具有直到n1阶的导数f (x) =a a,x -x。) a

20、?(x -x。)2 -. a.(x - x)n o( x - x)n,其中an(xo),如果x。=0,即成带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式:n!f (x)二 a。qx a2x2 anxn o(xn), an 二f (n)(0)n!常见的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式ex 二a。x -x2 o(x2)2133sin x = x x o(x )!12-44cosx =1 一 一x x o(x )2!4!1 213144ln(1 x) = x x x x o(x )2 34133tan八x 3x o(x)(证明:tanx=sec2x= tanx cos xX z。= 11 2tanx = -2厂(si

21、n x) =sec xtanx= tanxcos x42tanx =(呼)，2(cos x 吧 x 沁 x)二 tan妝cos x6 cos xx=0二 2mm(m1) 22(1 x)m =1 mxx2 o(x2)2!m ,m(m -1) 2, 2、(1 x) 1 - mxx o(x )2!exa1:已知lim込聲x-0x3単L6，原式x分析：凑=0,求lim f (x 6 二?7 x2x (f(x)+6 ) +sin6x-6x =limx_0f(x)+6sin 6x-6x6( 36x2)-6( )=lim 2x3x2x3一36或者 sin6x=6x- (6x)-3!sin 6x-6x6(co

22、s6x-1)t lim 3 lim27x3T3x2o（6x）3）,mx3sin 6x-6x=-36存在lim竺乞=36x 0 x1 2 exa2 :叫(二-cot x) = ?(tan x x)(tan x - x) 原式=lim(22)exa2 : li2 2x tan x133(tan x x)(x x o(x ) -x)xlx33 o(x3)3xexa3: limX 一tan(tan x) -sin(sin x)0x3二 lim(x )0洛必达法则求?133133tan x=x x o(x )= tan(tan x) = tanx(tan x) o(x )3 31 3 11 3 33=x

23、 x (x x ) o(x )333131=x x (x .) o(x )332 = x x3 . o(x3)不必求了3133133sin x = x x o(x )= sin(sin x)二sin x sin x o(x )6 61 311 3 33=(x x ) (x x ) o(x )6 66 = x -中x3. o(x3)不必求了=x 2 x3 -(xx3)=x333原式=1TFFx+VTH2 exa4: lim2?7x2分析：可以用洛必达，有理化，泰勒公式.1 x =111 x2 o(x2)24、1 _x =1 -丄乂一1%2 o(x2)24122x o(x )原式=lim -X无穷

24、小比较x2=1且-cosx0分析:lim f (x)T 1 -COSxexa:lim-f(x)X1f(t)dt与xn是同阶无穷小，求n1 2 =1= f (x) 1-cosxxx2x2f f (t)dt0 f (t)dt与是同阶无穷小二lim 亍WO)Jim f(x2)2xn -1 nx1x42xTimnx5xnx其它方法总结lim ( ax+ (1+ 丿)=b,求 a,bx 0ln(1+e x)解：x表示不超过x的最大整数，如:0 +=0 ,0=-1 ,lim( ax+x0ln(1+e x)ln(1+e x)=limx 0（方法1）ln(1+e x)(1+e x)eln(1+e-X=lim+

25、Xr 04(1+e x)(1+ex)（方法2）limXr 01(1+eX)e x(-p) x1eXG -4)x4 limlnelne计千2+Xr 0lim( ax+ln(1+eXr 0a2ex+exXr 02 limex（-电）x1exex2 limx(1+e x)limx(1+e x)lne x+ln(1+e x)lne x+ln(1+e x)2X)ln(1+e x)=lim( aix)+lim(Xr 0x 0ln(1+e X)ln(1+e x)(1 x x2) -3x2 x - 2(x 1)(x 2)=lim厂二 lim厂 =lim x 1 (1 x)(1 x x ) x :1 (1 x)

26、(1 x x ) x -(1 x)(1 x x )x+2Tmi(1 X X2) 一 _1几个常用的结论i/ 27/2左式=-Isxn J=sin xcosx /2 n _20 (n“0 sin xcosxdx/2n _22二 0 (n -1) 0 sin x(1 -sin x)dx =(n -1)。气innxdx-(n - 1).sinn xdx=(n _1)In _ (n -1)*1213In口 In,其中I。nJI=2，I1 =1)1 二州2 2=2 133 1JI4 2 24 2彳I515 3165 3 1州州州Innn -2n Tn -3n n 22 ” 3（n为正偶数）-（n为正奇数

27、且大于1）5 3ji二/2nsin xdx =二/2ncos xdx-二 /2,ln0 0sin n（t二 / 2）dt= cosn tdt2 . . /2/2 _X,ln-二/20 0 -f sin n（n / 2 t）dt=-：/2 ）0/2cosn xdx二/2 n ,cos xdx（I。2, h =1）证明:左式二/2sin xdx兀 n.J xdx只需要证明:令 t 二x-二/2-i/2sin nxdxsin nxdx即 卩可7/20. n-sinxdx sinn（：/2 t）dt二/2cosntdt=/2si nnxdxn二/2nsin xdx=20 sin xdx证明完毕问题：0

28、cosnxdx 二 2:;/2cosn xdx马左式=二/2n 二 ncosxdx二/2cosxdx令 t=x-二/2nn/2jv 2J2cosnxdx = i0 cos （兀 / 2 + t）dt = （-1） n J0cosntdtncos（n是奇数）xdx 二2p cosnxd（ n 是偶数）:/2求：an = x sin xdx,因为sin x解：去绝对值符号？这样会出现很多的项，可以这样考虑是一个周期为二函数，令t=n黛X, x = n恵tExa: an 二一 n（n -t） sin（n -t）dtnJ!.=f0 （n兀-t） sintdtnJ! |=fQ （n兀）sin t dt-

29、t sin t dt1.5. 分段函数分段函数的复合exal:f (x) =cosx, f ( (x) = 2 x2.求(x)的定义域。设:(x)的定义域D-X D,值 (x), f ( (x) = cos (x) = 2-x2有 2x2 兰 1二 一1 兰 2x2E1= 1 兰 x22 兰 1二 1 兰 x2 兰 3吕 1 勻x|J3exa2 :g(x)Jx2(0)IJx(x MO)12 x(x AO)求 f(g(x)方法g(x)(g(x)0)|2g(x)(g(x)3 0)对g(x)来说什么时候g(x) : 0呢?令 g(x) ：0= x 1 g(x) _ 0= 0乞x空1或者x : 0所以

30、:2(1 -x)(x 1) f(g(x) =2 (1 x)(0 兰x 兰1)22 -x(X 0)方法二:exa3:求丨 f (g(x)dx,其中f (x)斗x|,g(x)=壮一1 ,x0J|x ,x cof(g(x)E(x)卜吟晋00卜g(x),g(x) COg(x) _0= x _1 或者x 0 g(x) ： 0= 0 x ：1f(g(x) = x2,x：01 x,0 空 x : 12 01 2 J(g(x)dx 二./2dx0(1-x)dx 辺(x-1)dx16微分中值定理费马引理费马引理：f(x)(1) U(Xo)有定义f(Xo)存在(3 若- X：二U(Xo),有 f(x)乞 f(Xo

31、)(或者f(x)_f(x。),那么 fg=O证明过程0不妨设-x U (x0),有f (x) 一 f (x0)，对于-x U (x0),有f(x) - f (xo) _0f (小 lim f(x)f(x0)x % x - x0由极限的局部保号性：在U(X。)内，有f(x) f(x0) M= f(X0)Mx_x同理 f (x0) = lim f (x) 一 f(x0)= f(xj_oXf _X _xof (x0)存在，f (Xo) =0,证明完毕1.62罗尔定理罗尔定理：f (X)满足(1)a,b 连续(2)(a,b)可导f(a)=f(b) 那么，至少三(a,b), f( ) = 0证明过程(证

32、明不妥)：:f(x)满足a,b连续至少 i a,b，对-x a,b,有f(x) f ( 1) 至少；a,b,对-x a,b,有f(x) 一 f (；) 翻译下：闭区间连续的函数必有最大值和最小值 如果这两个最值不同时在端点处，不妨设(a,b),那么由费马引理：f( i0若这两个最值同时在端点处f(a)=f(b),f(x)必是一个常数，这时必有-(a,b), f( )=0拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：f(X)满足(1) a,b连续(2) ( a,b)可导=至少二，三(a,b),使得 f (b) _ f (a) = f ( )(b _a)证明过程：若f(b)二f(a)即是罗尔定理，因此拉格朗日

33、中值定理是罗尔定理的推广1.6.4. 柯西中值定理1.6.5. 习题：证明：若函数在(-匚*；3)内满足f(x) = f (x), f (0) = 1，则f(x)=eX 分析:由条件知道，f(x)在整个(：，=)连续，可导。f (0) = f(0) =1,切线：y = x 1令(x)= f(xL，则在(-：，：)内有e；：(x)= f(x)e f(x)ex _ f(x)e x；f(x)ex “e2xe2x(x)=C,(x)=(0)=1设y=f(x)在x =0的某邻域内具有n阶导数，且f(0)=f (0)=f (0)=.f(n-1)(0)=0.试用柯西中值定理证明：竺 S,(0 一 1)xn!如果:lim(1 x x2 f(x)e3求：f (0) =? f (0) =? f (0) =?冋1