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1、说明说明(shumng): 时 , 函数(hnsh)(或 )x则称函数(hnsh)为0 xx (或 )x则时的无穷小无穷小 .1、定义中的极限包括六种情况。2、无穷小是对自变量的某一变化过程而言的是时的无穷小（由于定义1. 若x1比如：而当时，就不是无穷小量，由于第1页/共16页第一页，共17页。除 0 以外任何很小的常数(chngsh)都不是无穷小 ! 3、无穷小量是极限为0的变量(binling)，不是很小的数，即：4、0是无穷小量，但是(dnsh)无穷小量不都是0.比如：但是函数处处不等于0.第2页/共16页第二页，共17页。其中(qzhng) 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1
2、 . ( 无穷小与函数无穷小与函数(hnsh)极限的关系极限的关系 )证证:Axfxx)(lim0当时,有对自变量的其它变化(binhu)过程类似可证 .第3页/共16页第三页，共17页。时, 有无穷小的性质无穷小的性质(xngzh)(xngzh)定理定理(dngl)1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑考虑(kol)两个无穷小两个无穷小的和的和 .设当时 , 有当时 , 有取则当因此第4页/共16页第四页，共17页。n,2,122nn2nn时，均为无穷小量，但 如说明说明(shumng): 无限个无穷小之和不一定是无穷无限个无穷小之和不一定是无穷小小 !类
3、似(li s)可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 第5页/共16页第五页，共17页。定理定理(dngl)2 . (dngl)2 . 有界函数与无穷小的乘积是无有界函数与无穷小的乘积是无穷小穷小 . . 证证: 设又设即,0当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .第6页/共16页第六页，共17页。推论推论(tuln) 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论(tuln) 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷有限个无穷小的乘积是无穷小小 .oyx例例1.1. 求求解解: 利用(lyng)定理 2 可知说明说明 : y = 0 是的渐近线 .推论推论3. 无穷
4、小除以极限不为零的变量仍是无穷小.第7页/共16页第七页，共17页。都是无穷小,引例引例(yn l) .但 可见无穷小趋于 0 的速度(sd)是多样的 . 无穷小的比较(bjio)第8页/共16页第八页，共17页。定义定义(dngy).若则称 是比 高阶高阶的无穷小,若若若或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是 的等价(dngji)无穷小,记作第9页/共16页第九页，共17页。二、二、 无穷大无穷大定义定义(dngy)2 . 若任给若任给 M 0 ,一切(yqi)满足不等式的 x , 总有则称函数(hnsh)(xf当时为无穷
5、大, 使对(正数正数 X ) ,记作总存在第10页/共16页第十页，共17页。若在定义(dngy)中将 式改为则记作注意(zh y):3. 无穷大不是(b shi)很大的数, 它是描述函数的一种状态.4. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !1. 对数列也适用.2. 和无穷小量一样，无穷大量也是在自变量的某一变换趋势而言的。第11页/共16页第十一页，共17页。例如例如(lr), 函函数数)(n当但所以x时 ,)(xf不是(b shi)无穷大 !oxy第12页/共16页第十二页，共17页。例例 . 证明证明(zhngmng)证证: 任给正数任给正数(zhngsh) M ,要使即只要(
6、zhyo)取则对满足的一切 x , 有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线 .渐近线说明说明:xyo第13页/共16页第十三页，共17页。三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系(gun x)若为无穷大,为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且则)(1xf为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化(zhunhu)为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一在自变量的同一(tngy)变化过程中变化过程中,说明说明:第14页/共16页第十四页，共17页。内容内容(nirng)小结小结1. 无穷小与无穷大的定义(dngy)2. 无穷小与函数(hnsh)极限的关系Th14. 无穷小与无穷大的
7、关系Th23.无穷小的性质（书上Th2.3）第15页/共16页第十五页，共17页。感谢您的欣赏(xnshng)！第16页/共16页第十六页，共17页。NoImage内容(nirng)总结说明:。2、无穷小是对自变量的某一变化过程而言的。定义1. 若。除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小。3、无穷小量是极限为0的变量，不是很小的数，即：。4、0是无穷小量，但是无穷小量不都是0.。定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )。证: 考虑两个(lin )无穷小的和 .。时 , 有。说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .。利用定理 2 可知。(正数 X ) ,。例如, 函数第十七页，共17页。
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