最小二乘法在经济预测中地的应用

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1、word编号学号：12914008优化理论课程论文 08 级 1班 题 目：最小二乘法在经济预测中的应用学 院： 理学院专 业： 信息与计算科学姓 名： X天政 指导教师： X永祥 完成日期： 2011 年 12 月 18 日11 / 11最小二乘法在经济预测中的应用摘 要:由于经济开展呈现一种鹏飞的状态与其可能的动荡会引起严重的后果,使得经济预测成为了一个必然产物,预测会使人们在将来经济上可能出现的波动有所准备降低损失或增加收益.本文选择了经济预测中的其中一种方法最小二乘法的根本原理,并且利用了线性回归预测模型.同时对相关系数和标准偏差进展检验.最后给出了利用最小二乘法进展经济预测的实例.实

2、现对产品生产的预测让各方面对产品的产量有个简单的了解.关键词：最小二乘法;线性回归;产品生产预测 随着改革开放的步伐带动各地的经济开展状态呈现一片大好的形势,由于地域人文不同各地经济特色也各显风骚.本文以某县为例,该县是全国经济百强县之一,全县大都以染料、纺织和布匹等生产加工为主.笔者了解到支撑该县经济支柱的大局部是以生产加工上述产品的中小企业甚至家庭型企业.由于他们规模不是很大,因此相应的各技术部门没有很好的配备,所以进展生产管理的方式没有像大型企业那样规X,他们产品的年产量往往根据企业主近几年摸爬滚打中积累起来对市场的判断来制订的,而没有进展科学的经济预测，这常常导致大量产品销售不够或大量

3、产品积压在家,给企业带来严重影响. 经济预测是进展经济决策活动的一个重要组成局部.在实际经济活动中,预测的结果可以揭示经济现象在未来时期开展变化的情况和发现经济开展过程中存在的问题,从而为进展决策、制订计划、提高经济管理水平以与获取较好的经济效益提供了科学依据.运用定量预测模型进展预测的方法有很多,依据笔者对许多家庭型企业的了解与对企业主知识层次的分析,本文介绍的最小二乘法在经济预测中的应用方法简单明了,比拟适合这些企业在进展预测产品产量时参考,从而能够防止盲目的生产和经营,尽可能地为企业获得最大利润.最小二乘法是由实验或调查的数据,建立线性型公式的一种常用方法.在建立线性型公式中,虽然有很多

4、种不同的方法来求样本回归函数即,真实总体回归函数的估计值,但是,在回归分析中最广泛应用的方法是最小二乘法.如果变量有准确的线性关系比如说,那么即观测值与回归值是相等的.事实上现实世界中的诸多变量的关系未必都是如此,由于受诸多随机因数的干扰使得物与物之间没有那种很明确的对应关系.比如说人的身高和体重就是一个对应,我们都知道长的高的人不一定就重,同理长的矮的人也不一定就轻，但身高和体重确实存在着一定的关系,而这种关系并非是所能确定的.那么我们要寻求身高和体重之间的关系就需要通过数学的方法.首先调查统计得出数据;其次把数据描绘出来；然后拟合一条跟已有的图象最接近的曲线,这样就可以相对地将身高和体重之

5、间的关系表示出来. 在处理类似的事情中常常用到最小二乘法. 所谓最小二乘法就是：选择参数,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为：为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理. 一元线性回归方程由于总体回归方程不能进展参数估计,我们只能对样本回归函数来估计即： (1.1) 从1.1公式可以看出：残差是的真实值与估计值之差,估计总体回归函数最优方法是,选择的估计量,使得残差尽可能的小.总之,最小二乘原理就是选择样本回归函数使得所有Y的估计值与真实值差的平方和为最小,这种确定的方法叫做最小二乘法.在经济关系中,往往某一指标与多个因素有关,如果这种关系具备一定的线性相关性，就可以用多元回归分析

6、来处理,假设由观测得到一组数据： ， ， 令向量分别为：如果向量组与Y存在线性关系,得到n元线性预测公式 1.2其矩阵形式为： (1.3其中为待定常数,亦称回归系数.如何来确定的值呢?将每组观测值代入1.3就得到：特别地 时 1.4与我们选择这样的使每个偏差都尽量小，因为偏差有正有负，所以偏差的代数和并不能反映总体偏差的大小，而 数学上处理起来也比拟繁杂，所以通常采用使偏差平方和 为 最小.即 最小 1.5显然,偏差平方和随的变化而取不同的值,可把视为的多元函数,并求极值得：整理得： 1.6将上述m+1个方程式联立起来就求解,如此得到公式1.5的待定系数值,从而确定了多元线性预测公式.特别地当

7、时，的估计公式为： 1.7以两个变量的情况为例,因为只要任意给定两个变量的一组数据,都可以经过计算给出一个经验公式,这个公式在多大程度上反映了的关系呢?因为只要通过最小二乘法采取强拟合我们同样可以把一组毫无线性关系的数据表成线性关系,但这条直线并不能很好地反映了变量的实际关系,缺乏应用价值,例如：为此我们一方面要建立从经验上认为有意义的方程,另一方面我们必须用数学方法进展拟合效果和显著性相关检验. 其公式如下：我们称R=为的相关系数，其中：由上可推算： 由,有 ,所以,越接近1, 越接近0,的线性关系越好.（1） 当时, 即=0，称完全线性关系.（2） 当 时。说明无关，即不存在线性关系.（3

8、） 当 时,可选定相关系数的显著性水平，按的值查相关系数显著性检验表求出临界值.（4） 当 时,说明的值的变化对的值的变化影响很大,存在强相关关系.（5） 当 时,所求相关关系是无效的,即经验公式是无意义的.其中： -标准偏差 -实例值-预测值 -数据点个数 经验公式是平面上统计点的分布呈线性时的表示形式,同时它也是小们就散点图呈曲线的情况进展预测.例:对纺织品销售额的拟合.我们选取销售额为因变量,单位为万元,拟合销售额关于时间的趋势曲线.以1991年为基准年,取值 =1,2001年=11,19912001年的数据如表一. 表一 年份199119921993199419951996199719

9、98199920002001作出表一所给数据的分布图:由散布图可以看出统计点是非线性的,它大致呈指数形分布. 我们就取经验公式 1.8来拟合这条曲线. 这个经验公式所反映的点的排列是非线性的,我们可以通过取对数将其转化为线性函数从而运用最小二乘法确定这个线性函数. 即： 其中,进而计算的值.取;为各年的销售额；,根据具体数据代入得到如下的表格 . 表二 年份199111199224199339199441619955251996636199774919988641999981200010100200111121合计66506得出 ： 即 ： 查对数表得,将代入1.8式中,因此得到了所求的经验公

10、式为： 1.9下面计算相应系数进展显著性检查：,那么查看关系表按得到回归临界值,因为,说明间存在强相关关系,可以按公式：进展外推预测,预测该企业2002和2003年的销售额为：以上是根据散点分布趋势选取曲线来拟合得出的结果,那么如果我们强行用线性关系即来拟合曲线,会得出怎样的结果呢？同样根据数据表年份时间序号销售额万元19911119922419933120916001994419616240119955340254624199665523684641997778449125441998811046419044199991638813312420001023801005664420011147

11、52121186644合计6611937506得出：得出： 因而： 2.0相关系数 查看关系表按得到回归临界值.,说明我们可以按公式来进展趋势预测,得出： 我们把两组数据比拟一下:显然第二种方法的结果误差太大,这是由于没有考虑散点图分布开展的趋势,强行采用线性拟合的结果.由此可见.某产品在一个时期内产量比拟稳定，就可用最小二乘法进展趋势预测，但选用曲线来拟合散点时必须依据散点的趋势正确选择曲线,否如此有可能出现类似本文的情况即，两条曲线的显著性系数都符合要求都可以用来预测,但其中的一条由于没有分析散点的开展趋势以致于产生的误差太大.所以企业在日常生产管理中预测方法的科学性,将很大程度上决定企业的利润,从而给经营者制定或调整计划提供了理论依据.参考文献1.韩於羹.应用数理统计M.:航空航天:157-191.2.徐天群,董亚娟等.应用数理统计学习指导M.某某:某某大学:156-170.3.方开泰,全辉等.实用回归分析M.科学:20-94,141-160.4.岳苓水,赵宝贵.最小二乘法在商品销售预测中的应用J.地质技术经济管理,1997.1:57-60.J.某某统计,2001,(06) .53-54.6.陆健.最小二乘法与其应用J.中国西部科技,2007,(19). 7.X瑞芳,梅孝安.最小二乘法数据处理J.电脑知识与技术(学术交流),2007,(05).