结构的位移计算和刚度学习教案

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1、会计学1结构结构(jigu)的位移计算和刚度的位移计算和刚度第一页，共65页。纵向纵向(zn (zn xin)xin)变形变形 lll-1长度长度(chngd)量量纲纲FP FP all1a1横向变形横向变形aaa-1轴向拉伸和压缩第1页/共64页第二页，共65页。 为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量l 除以杆的原长除以杆的原长l，得到杆件单位，得到杆件单位(dnwi)长度的纵长度的纵向变形。向变形。dd横向横向(hn (hn xin)xin)线应变线应变 线应变线应变-每

2、单位长度每单位长度(chngd)(chngd)的变形，无量的变形，无量纲。纲。ll纵向线应变纵向线应变 FP FP all1a1轴向拉伸和压缩第2页/共64页第三页，共65页。 二、泊松比二、泊松比 从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时，纵向线应变变形时，纵向线应变与横向线应变与横向线应变总是总是(zn sh)正、负相反的。正、负相反的。 通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变过材料的比例极限时，横向线应变与纵向线应变与纵向线应变的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称

3、为泊松的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。用比或横向变形系数。用表示。表示。 或或 - 泊松比泊松比是一个无单位的量。它的值与材料有关是一个无单位的量。它的值与材料有关(yugun)，可由实验测出。，可由实验测出。 轴向拉伸(l shn)和压缩第3页/共64页第四页，共65页。AlFlNEAlFlN三、胡克定律三、胡克定律(h (h k dn l)k dn l) 当杆内应力不超过材料当杆内应力不超过材料(cilio)(cilio)的某一极限值（的某一极限值（“比例比例极限极限”）时）时引进比例引进比例(bl)(bl)常数常数E E E称为材料的称为材料的弹性模量弹性

4、模量，可由实验测出。量纲与应力相同。，可由实验测出。量纲与应力相同。 从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，越大，杆的纵向变形杆的纵向变形l就越小，可见就越小，可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度杆件的抗拉（压）刚度。胡克定律。胡克定律。轴向拉伸和压缩第4页/共64页第五页，共65页。 若将上式的两边若将上式的两边(lingbin)同时除以杆件的原长同时除以杆件的原长l，并将代入，并将代入，于是得，于是得EAlFlN胡克定律胡克定律(h k dn l)。 表明

5、：在弹性范围内，正应力表明：在弹性范围内，正应力(yngl)与线应变成正比。比例系与线应变成正比。比例系数即为材料的弹性模量数即为材料的弹性模量E。EE或轴向拉伸和压缩第5页/共64页第六页，共65页。 例例 一矩形截面钢杆，其截面尺寸一矩形截面钢杆，其截面尺寸bh=3mm80mm，材料的，材料的E=200GPa。经拉伸。经拉伸(l shn)试验测得：在纵向试验测得：在纵向100mm的长度内，杆伸的长度内，杆伸长了长了0.05mm，在横向，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小了的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm，试求，试求： 该钢材的泊松比；该钢材的泊松比； 杆件所受的轴向拉力杆件所受的轴向

6、拉力FP。解：（解：（1）求泊松比。）求泊松比。 求杆的纵向求杆的纵向(zn xin)(zn xin)线应比线应比410510005. 0ll求杆的横向求杆的横向(hn xin)(hn xin)线应变线应变41055. 1600093. 0aa求泊松比求泊松比31. 01051055. 144轴向拉伸和压缩第6页/共64页第七页，共65页。（2）计算杆受到的轴向拉力）计算杆受到的轴向拉力 由虎克定律由虎克定律=E 计算图示杆件在计算图示杆件在FP作用作用(zuyng)下任一横下任一横截面上的正应力截面上的正应力AFN可求得在可求得在FP作用作用(zuyng)下，杆件横截面上的轴力下，杆件横截面

7、上的轴力=E=510-4200103=100MPa又按照又按照(nzho)应力的计算公式应力的计算公式FN=A=100380=24103 =24kN 该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即FN=FP，所以该杆受到的轴向外力，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN。轴向拉伸和压缩第7页/共64页第八页，共65页。第8页/共64页第九页，共65页。第9页/共64页第十页，共65页。mmllllmmEAlNllmmEAlNl33321333232333111004.1921052. 91052. 9100010210100102001052.

8、91000102101001020:)2 求伸长求伸长第10页/共64页第十一页，共65页。MPammNAN20/2010001020:)3233 求求应应力力第11页/共64页第十二页，共65页。第12页/共64页第十三页，共65页。FPABA变形变形(bin xng)：结构结构(jigu)形状的改变形状的改变位移：位移：结构上各点位置的移动量，结构上各点位置的移动量，杆件横截面的转动量。杆件横截面的转动量。位移位移线位移线位移角位移角位移AAAA水平线位移水平线位移竖向线位移竖向线位移AA AAAVAH线位移线位移AHAV结构的位移第13页/共64页第十四页，共65页。t FPABAA结构

9、(jigu)的位移第14页/共64页第十五页，共65页。 A、B两截面两截面(jimin)的角位移的角位移 A和和 B之和称为之和称为A、B两截两截面面(jimin)的相对角位的相对角位移。即移。即 AB = A+ BCHDHAB上述上述(shngsh)各种位移统称为各种位移统称为“广义位移广义位移”。 C、D两点产生水平线两点产生水平线位移之和位移之和称为称为C、D两点的两点的水水平相对线位移。平相对线位移。即即 CDH = CH+ DH 结构的位移第15页/共64页第十六页，共65页。 二、计算(j sun)位移的目的在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度(nod) 1/60

10、0 跨度跨度；高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。结构的位移第16页/共64页第十七页，共65页。PFFW21tFWPFCtt力力( (外力或内力）在因其本身引起的位移（对外力或内力）在因其本身引起的位移（对内力而言则为变形）上所作的功。内力而言则为变形）上所作的功。实功恒为正。实功恒为正。力（外力或内力）在因其它原因产生的位移上作的功力（外力或内力）在因其它原因产生的位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。第17页/共64页第十八页，共65页。虚力原理

11、的两个虚力原理的两个(lin )状态状态位移位移(wiy)状态状态实际状态实际状态力状态力状态虚拟状态虚拟状态位移状态位移状态kk位移位移由给定的荷载、由给定的荷载、温度变化及支座温度变化及支座移动等因素引起移动等因素引起的的kFPk=1力状态力状态在拟求位移在拟求位移k的方向假的方向假想（虚拟）设置一个想（虚拟）设置一个单位力单位力FPk1。结构位移计算第18页/共64页第十九页，共65页。结构(jigu)位移计算平面平面(pngmin)杆件结构位移计算的一般公式杆件结构位移计算的一般公式: NNPSSPPlllF FF FMMdsdsdsEAGAEI 第19页/共64页第二十页，共65页。

12、1 1、虚拟单位、虚拟单位(dnwi)(dnwi)力力FPFP1 1必须与所求位移必须与所求位移相对应相对应A AP1F 求求A A点竖向线位点竖向线位移的虚拟移的虚拟(xn)(xn)状态状态A AC CP1F P1F 求两点相对线位求两点相对线位移的虚拟状态移的虚拟状态结构位移计算第20页/共64页第二十一页，共65页。A A1M 求求A A截面角位截面角位移的虚拟移的虚拟(xn)(xn)状态状态A AC C1M 1M 求两截面相对求两截面相对(xingdu)(xingdu)角角位移的虚拟状态位移的虚拟状态CABDEFP1F 求求C点水平位移点水平位移(wiy)的虚拟状态的虚拟状态CABDE

13、FBE=l1 l1 l1M 求求BE杆转角的虚拟状态杆转角的虚拟状态BE结构位移计算第21页/共64页第二十二页，共65页。CABDEFAE=BE=l1M 1M 1 l1 l1 l1 l求求AE、BE两杆相对两杆相对(xingdu)转角的虚拟状态转角的虚拟状态 2. 2. 虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果为正，表示实虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之(fnzh)(fnzh)，则实际位移方向与，则实际位移方向与虚拟力的方向相反。虚拟力的方向相反。结构(jigu)位移计算第22页/共64页第二

14、十三页，共65页。位移位移(wiy)(wiy)计算公式的计算公式的简化简化1 1、梁和刚架（略去轴向变形、梁和刚架（略去轴向变形(bin xng)(bin xng)和剪切和剪切变形变形(bin xng)(bin xng)影响）：影响）：2 2、桁架、桁架(hngji)(hngji)（只考虑轴力影响（只考虑轴力影响）：）：dsEIMMPKPEAlFFdsEAFFKPNPNNPN结构位移计算第23页/共64页第二十四页，共65页。3 3、拱：一般、拱：一般(ybn)(ybn)只考虑弯曲变形只考虑弯曲变形 对扁拱：对扁拱： （f/l=1/5f/l=1/5）4 4、组合、组合(zh)(zh)结构：结构

15、：dsEIMMPKPdsEAFFdsEIMMPKPNPNdsEAFFdsEIMMPKPNPN结构(jigu)位移计算第24页/共64页第二十五页，共65页。(1) (1) 在拟求位移方向虚设在拟求位移方向虚设(xsh)(xsh)的相应的单位荷载的相应的单位荷载。(2) (2) 求两种状态下的内力。求两种状态下的内力。(3) (3) 代入各种结构的位移计算公式计算。代入各种结构的位移计算公式计算。结构位移(wiy)计算第25页/共64页第二十六页，共65页。2P12112Mq lxMlxM 例例 杆件杆件EI=常数常数(chngsh)。试求。试求AVA、解 P02041d11d28lAVlMMx

16、EIq lxlxxEIqlEIqlAx11204111d26lAq lxxEIqlEI 第26页/共64页第二十七页，共65页。22P12:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 例例 各杆各杆EI为常数为常数(chngsh)。求。求CHC 、解解aaABCqqa2/2MP图图x1x21a1M图图12M 图图第27页/共64页第二十八页，共65页。P11P222232120011dd1121 d1 d223CABBCllM MxM MxEIEIqxqaqaxxEIEIEI P11P122411011dd1d24CHABBClM MxM MxEIEIqaqaxxEIEI 22P1

17、2:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 第28页/共64页第二十九页，共65页。例例 求图示刚架截面的水平位移求图示刚架截面的水平位移DCHDCH和、两和、两截面的相对转角截面的相对转角(zhunjio)(zhunjio) 。各杆。各杆 EI= EI=常数。常数。第29页/共64页第三十页，共65页。121111:(0)2212PABxlqxqlMxMx 212:(0)20PlACxMMx2411112()()/ 40( )248plM MqlxqxxxlqldsdldEIEIEIEI 第30页/共64页第三十一页，共65页。）求）求 AB杆杆(0 x1l) MP= M1

18、=0AC杆杆(0 x1 l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 = -1 =(1/EI)l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI()说明：说明： 注意利用注意利用D = (M1 MP /EI) ds 时，两种状时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数(hnsh)也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。 第31页/共64页第三十二页，共65页。PCHF aEA P12 2CVF aEA已知：各杆已知：各杆EA相同，求：相同，求：CVCH、FPaaABCDNPFP2

19、FPFPFN1F1ABCD1N2F21【例】【解】ABCD1第32页/共64页第三十三页，共65页。BDAPFlllBDA例例 求图示桁架求图示桁架(hngji)(各杆各杆EA相同相同)C点竖向位移。点竖向位移。1PFF22F2FF222F220212221EAlFFCVNPN解：解：1. 1. 建立建立(jinl)(jinl)虚设状态；虚设状态；2. 2. 分别分别(fnbi)(fnbi)求两种状态各杆轴力求两种状态各杆轴力；3. 3. 由公式计算位移：由公式计算位移：2F2F2121lFEA2211EAlFEAlF914. 12212lFEA2222212结构位移计算第33页/共64页第三

20、十四页，共65页。NFlNFFNPl22222lF22l212FlF4llF)4122(0FP0CD竖杆竖杆AD下弦下弦 FPAC上弦上弦 （kNm）FNP（kN）(l/m)杆杆 件件BDAPFlllBDA1PFF22F2FF222F2202122212F2F2121结构(jigu)位移计算第34页/共64页第三十五页，共65页。第35页/共64页第三十六页，共65页。yxMPdxxM微面积PM dxd=ABMP图图M(1)因为是直杆，所以因为是直杆，所以(suy) 可用可用dx代替代替ds。(2)因为因为(yn wi)EI是常数，所以是常数，所以 EI可提到积分号外。可提到积分号外。(3)

21、为直线为直线(zhxin)变化，故变化，故(4) 有有M常数M=tan sEIMMPd=xxEIMpdtan=dtanxEI 表示整个表示整个MP 的面积的面积对对y轴的静矩。轴的静矩。sEIMMPKdP图乘法第36页/共64页第三十七页，共65页。xCCyCyxMPdxxMABMP图图M有有 上述积分就等于一上述积分就等于一个弯矩图的面积个弯矩图的面积(min j)乘于其形心所对应乘于其形心所对应的另一个直线弯矩图上的另一个直线弯矩图上的竖标的竖标yc ，再除于，再除于EI。CxxdsEIMMPd=cxEItan=EIyc 若结构若结构(jigu)上各杆均可图乘，则位移计算公式为上各杆均可图

22、乘，则位移计算公式为EIyCKP而而图乘法(chngf)第37页/共64页第三十八页，共65页。注意事项：注意事项：1. 图乘法的应用图乘法的应用(yngyng)条件：条件：（2）EI为常数为常数(chngsh)；图乘法图乘法(chngf)计算位移公式计算位移公式EIyCKP（3）两个）两个MP、M图中至少有一个是直线图中至少有一个是直线。(1) 杆轴为直线；杆轴为直线；图乘法第38页/共64页第三十九页，共65页。M图图MP图图CyEI1yc 2. 竖标竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线必须取自直线图形，而不能从折线(zhxin)和曲线中取值。和曲线中取值。图乘法(chngf)第39页/

23、共64页第四十页，共65页。M图图MP图图221111yEIyEI2y21y1 若若M图与图与MP图都是直线图形，则图都是直线图形，则yc可以可以(ky)取取自其中任一图形。自其中任一图形。图乘法(chngf)第40页/共64页第四十一页，共65页。M图图MP图图CyEI1CyEI13. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。cycyycyc图乘法(chngf)第41页/共64页第四十二页，共65页。 4. 若若Mp图是曲线图形，图是曲线图形， 图是折线图形，则应图是折线图形，则应 当从转折点分段图乘，然后叠加。当从转折点分段图乘，然后叠加。M)

24、(12211yyEIM图图MP图图1y12y2图乘法(chngf)第42页/共64页第四十三页，共65页。6. 如图形较复杂如图形较复杂(fz)，可分解为简单图形。，可分解为简单图形。22211111yEIyEI 5. 当杆件为变截面当杆件为变截面(jimin)时亦应分段计算。时亦应分段计算。M图图MP图图1EI1EI2EI1y12y22EI图乘法(chngf)第43页/共64页第四十四页，共65页。l/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/3h几种几种(j zhn)常见图形的面积和常见图形的面积和形心位置形心位置=hl/2l/

25、32l/3lh图乘法(chngf)第44页/共64页第四十五页，共65页。M图图MP图图22111yyEIy11y32l图乘法(chngf)第45页/共64页第四十六页，共65页。l+l1y1 3322111yyyEI3y3MP图图M图图l82ql图乘法(chngf)第46页/共64页第四十七页，共65页。使用乘法时应注意的问题小结：使用乘法时应注意的问题小结： 1. yC必须取自直线图形；必须取自直线图形； 2. 若若MP图是曲线图形，当图是曲线图形，当M为折线图形时，必须分段计算；为折线图形时，必须分段计算； 3. 当杆件为变截面时亦应分段计算；当杆件为变截面时亦应分段计算； 4. 图乘有

26、正负之分；图乘有正负之分； 5. 若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；图形； 6. 图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘； 7. 三角形、标准三角形、标准(biozhn)二次抛物线的面积、形心公式必须牢记二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。图乘法(chngf)第47页/共64页第四十八页，共65页。 将将、yc代入图乘公式计算代入图乘公式计算(j sun)所求位移。所求位移。 画出结构在实际画出结构在实际(shj)荷载作用下的弯矩图荷载作用下的弯矩图M

27、p图。图。 分段计算分段计算Mp（或（或 ）图面积）图面积及其形心所对应的及其形心所对应的 （或（或Mp）图形的竖标值）图形的竖标值yc。MM图乘法图乘法(chngf)的解题步骤的解题步骤图乘法M 在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，并画出其单位弯矩图并画出其单位弯矩图 图。图。第48页/共64页第四十九页，共65页。1/2FPl/4214211llFEIB例例 求梁求梁B截面截面(jimin)转角。转角。MP图图MM=1FPl/2l/2EIAB（ 1）绘制）绘制(huzh)MP图。图。（ 2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制

28、 。M图（ 3）图乘求位移）图乘求位移(wiy)。图乘法llF421P21CyEIlF162yC第49页/共64页第五十页，共65页。FP=1lql2/2llqlEIB4323112MP图MlABq（1）绘制）绘制(huzh)MP图。图。（ 2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。M图（ 3）图乘求位移）图乘求位移(wiy)。图乘法EIql84yC2132qll第50页/共64页第五十一页，共65页。qAB/2l/2lC2/8qlPM 图M图1M=1Cy解：解：（ 1）绘制）绘制(huzh)MP图。图。 1. 求求A端截面的转角端截面的转角A（ 2）建立相应的虚拟状）建立相应的

29、虚拟状态态,绘制绘制 。M图（ 3）图乘求转角）图乘求转角(zhunjio)。2183212qllEIAlql832221CyCV求图示简支梁求图示简支梁A端截面的转角端截面的转角 及跨中竖向位移及跨中竖向位移 。A例例图乘法(chngf)EIql243第51页/共64页第五十二页，共65页。2 . 求跨中截面求跨中截面(jimin)的竖向位移的竖向位移P1F 4l由对称性可得：由对称性可得：qAB/2l/2lC2/8ql55 168 2ll55 168 2llPM 图M图（ 1）绘制）绘制(huzh)MP图。图。（ 2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。M图（ 3）图乘求位

30、移）图乘求位移(wiy)。2832221lql48521lyy2)485()81232(12lqllEICV图乘法EIql43845y11y22第52页/共64页第五十三页，共65页。求图示悬臂梁求图示悬臂梁B点的竖向位移点的竖向位移(wiy) 。ByABPM 图M图60224mkN105EIFP=15AB2m10kN/m20kNAB图乘法(chngf)y11y22 1.5mmm0015. 023260221221523210514BV（ 1）绘制）绘制(huzh)MP图。图。（ 2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。M图（ 3）图乘求位移。）图乘求位移。第53页/共64页第

31、五十四页，共65页。CD 例例 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点距离的改两点距离的改变变 。qABClDh图乘法(chngf)第54页/共64页第五十五页，共65页。)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD3）图乘求位移）图乘求位移(wiy)解解 1）绘出）绘出MP图图;2）建立相应的虚拟状态，绘制）建立相应的虚拟状态，绘制 M图。图。ABCDCy2/8qlhhABCDFP=1FP=1图乘法(chngf)第55页/共64页第五十六页，共65页。解 P3P5112 2 26548CVF lllEIF lEI P3P11123 212CVlF l lEIF lE

32、I 取面积的范围内，另外一个图形必须取面积的范围内，另外一个图形必须(bx)是直线。是直线。已知：已知：EI=常数常数(chngsh)。求。求CVFPABl/2l/2CFPlMP图图l/21M图图第56页/共64页第五十七页，共65页。解已知：各杆已知：各杆EI=EI=常数。求：常数。求：A A、B B两点之间的相对两点之间的相对(xingdu)(xingdu)转角转角。111216432 88 81rad()2332A BEIEI 1kNm8m8mABCDMP图图(kNm)328M图图1111第57页/共64页第五十八页，共65页。第58页/共64页第五十九页，共65页。 根据要求，圆轴必须

33、具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承(zhuchng)B (zhuchng)B 处转角不超过许用数值。处转角不超过许用数值。 B1 1）由计算得承受集中载荷）由计算得承受集中载荷(zi h)(zi h)的外伸梁的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： EIFlaB3解解例例 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 20 kNkN，a al ml m，l l2 m2 m，E=206 GPaE=206 GPa。轴承。轴承(zhuchng)B(zhuchng)B处的许可转角处的许可转角 =0.5 =0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴

34、的直径d d。第59页/共64页第六十页，共65页。B2 2）由刚度）由刚度(n d)(n d)条件确定轴的直条件确定轴的直径：径： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644第60页/共64页第六十一页，共65页。2.2.提高梁刚度提高梁刚度(n d)(n d)的措的措施施1 1）选择合理的截面）选择合理的截面(jimin)(jimin)形状形状目录(ml)第61页/共64页第六十二页，共65页。2 2）改善）改善(gishn)(gishn)结构形式，减少弯矩结构形式，减少弯矩数值数值改改变变支支座座(zh zu)形形式式第62页/共64页第六十三页，共65页。2 2）改善结构形式，减少）改善结构形式，减少(jinsho)(jinsho)弯弯矩数值矩数值改改变变载载荷荷(z(zi i hh) )类类型型%5 .6212CCww第63页/共64页第六十四页，共65页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第64页/共64页第六十五页，共65页。