求解离心率地范围问题

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1、word求解离心率的X围问题 离心率的X围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉与，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比拟灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其X围.很多同学掌握起来比拟困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳. 一、【知识储藏】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：1直接求出a、c，求解e：标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；2变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；3构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过

2、解方程得出离心率e的值.二、求解离心率的X围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进展表示，进而得到不等式，从而确定离心率的X围.【例1】椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，假如在上存在点，使线段的垂直平分线经过点F，如此椭圆的离心率的取值X围是_.xyMFO【答案】：【点评】离心率的X围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】椭圆与圆，假如在椭圆上存在

3、点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，如此椭圆的离心率的取值X围是_.【答案】【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，如此两切线形成的角最小，假如椭圆上存在点P令切线互相垂直，如此只需，即，解得，即，而，即.2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如某些量的X围，存在点或直线使方程成立，的X围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.【例2】 椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，假如设且如此椭圆离心率的取值X围是.【答案】【点评】此题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式，然后借助条件利用三角函数的图象求解离心率的X围.【牛刀小试】过椭圆C：的左顶点A且斜率为k

4、的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，假如k, 如此椭圆的离心率的取值X围是.【答案】()【解析】如下列图：|，又k，解得3 借助函数的值域求解X围 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的X围.【例3】椭圆与双曲线有一样的焦点，如此椭圆的离心率的取值X围为_.【答案】【点评】此题根据题设“一样的焦点建立等量关系，得到函数关系式，进而根据m的X围，借助反比例函数求解离心率的X围.【牛刀小试】两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，如此椭圆的离心率的最大值为_.【答

5、案】【解析】由题意可知，由可知最大时需最小，由椭圆的定义，即使得最小，如图，设关于直线的对称点，由，可知.所以，即，所以，如此.4 根据椭圆或双曲线自身的性质求X围在求离心率的X围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，P是椭圆上任意一点，如此等。【例4】设为椭圆的左、右焦点，且，假如椭圆上存在点使得，如此椭圆的离心率的最小值为_【答案】【点评】为椭圆上的一点是此题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把转化成根本量，与的关系式，结合椭圆的X围，即可得到的不等式，从而求出其最小值 【牛刀小试】分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，假如的最小值为8，如此双曲线的离心率的取值X围是

6、_.【答案】【解析】此题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等设，如此，又，当且仅当时，等号成立所以，所以通过以上类型的分析，灵活多变的离心率X围问题是一个棘手问题，需要通过必要的练习进展方法和思路的寻找，并且培养对题目中的不等关系的灵敏的感知和转化.【迁移运用】1【苏北四市某某、宿迁、某某、某某2017届高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点假如，如此椭圆的离心率是y第10题xOFAB2B1【答案】2【某某某某市2017届摸底考试，10】假如圆与双曲线的一条渐近线相切，如此此双曲线的离心率为。【答案】【解析】试题分析：由题意

7、得. 考点：直线与圆相切，双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值与X围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的X围等.3【某某省某某中学2017届高三摸底联考，9】焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，如此椭圆的离心率为.【答案】考点：椭圆的标准方程与几何性质.4.【某某省肥城市2017届高三上学期升级统测，14】在平面直角坐标系中,假如双曲线的离心率为,如此的值为【答案】【解析】试题分析：

8、由题意得，解得考点：双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值与X围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的X围等.5【某某省、某某省、某某省2017届高三上学期百校大联考数学，11】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，假如为钝角，如此该椭圆的离心率的取值X围是【答案】【解析】考点：椭圆的性质.【思路点睛】根据为与的夹角，并分别表示出与，由B1PB2为钝角，利用椭圆的性质，可得到，即可解得离心率的取值X围

9、6【某某某某2017届9月联考，11】如图，是双曲线的左、右两个焦点，假如直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，如此双曲线的离心率为.【答案】考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念【思路点睛】此题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线代入双曲线方程中即可得出点的坐标，再由矩形的几何性质可得，最后可得出所求的矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.7【某某省实验中学2017届高三第一次诊，15】过双曲线，的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为为第一象限的点，延长交抛物线于点，其中该双曲线与抛物线

10、有一个共同的焦点，假如，如此双曲线的离心率的平方为【答案】考点：双曲线定义【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值与X围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的X围等.8【某某百校联考2017届高三9月质检，16】双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，如此双曲线的离心率为_【答案】考点：双曲线定义与离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值与X围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a

11、，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的X围等.9【2016届某某省某某一中高三上第五次月考】椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足，设，且，如此该椭圆的离心率e的取值X围为_.【答案】【解析】把代入椭圆方程解得，取，如此；由图可知，所以；又，所以，即，解得10【2016届某某省某某市一中高三一轮收官考试】中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形假如，椭圆与双曲线的离心率分别为，如此的取值X围是_.【答案】，+ 11【2016届某某省某某市七

12、中高三11月阶段测试】是双曲线的左、右两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N点M，N均在第一象限，当直线与直线ON平行时，双曲线离心率取值为，如此所在区间为_.【答案】【解析】因为 ，双曲线的渐近线方程为，与圆 联立，得 ，与双曲线方程联立，得交点 即 ，直线 与直线 平行时，即有 ，即 ，即有 ，即有 ，令 ，由于 ，如此12【2016届某某师X大学附中高三上学期月考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，假如为钝角，如此该椭圆离心率的取值X围是_.【答案】 13【2016届某某省某某市一中高三上学期期中】假如双曲线上不

13、存在点使得右焦点关于直线为双曲线的中心的对称点在轴上，如此该双曲线离心率的取值X围为_【答案】【解析】假如点关于直线的对称中心在轴上，如此，根据题意，不存在这样的点P，双曲线渐近线的斜率14椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|的最大值的取值X围是2c2,3c2，其中c，如此椭圆M的离心率e的取值X围是_.【答案】，【解析】|2a，|()2a2.当且仅当|a时，等号成立，2c2a23c2，2e213e2.e2，即e.15点F1、F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，假如ABF2是锐角三角形，如此该双曲

14、线离心率的取值X围是_.【答案】(1，)【解析】依题意，0AF2F1，故0tanAF2F11，如此1，即e2，e22e10，(e1)22，所以1e1.16.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值X围是3b2,4b2，如此这一椭圆离心率e的取值X围是_【答案】， 17.【2016届某某省某某一中高三上第五次月考】P是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，如此的最大值为【答案】 18在平面直角坐标系中，点与直线，曲线是满足如下两个条件的动点的轨迹：其中是到直线的距离； (1) 求曲线的方程;(2) 假如存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值X围.【解析】1， 由得：， 即将代入得：，解得： 所以曲线的方程为：2(解法一)由题意，直线与曲线相切，设切点为， 如此直线的方程为，即将代入椭圆 的方程，并整理得：2(解法二)设直线与曲线、椭圆 均相切于同一点如此由知;由知,16 / 16