矩阵求逆方法大全-1

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1、word求逆矩阵的假如干方法和举例 苏红杏 某某民院计信学院00数本二班摘 要 本文详细给出了求逆矩阵的假如干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。关键词逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等引 言在我们学习高等代数时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵与在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。定义: 阶矩阵为可逆，如果存在阶矩阵，使得，这里是阶单位矩阵，此时，就称为的逆矩阵，记为，即：方法一. 初等变换法加边法我们知道，n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩

2、阵的乘积A=，从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵使 1如此= 2把A，E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n阶矩阵A，E，按矩阵的分块乘法，12可以合并写成A，E=，A，=E，3这样就可以求出矩阵A的逆矩阵。例 1 . 设A=求。解：由3式初等行变换逐步得到：于是= 说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比拟简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，防止做初等列变换。方法二. 伴随矩阵法定理：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而=，d=0

3、(4)我们用4式来求一个矩阵的逆矩阵。例 2. 求矩阵A的逆矩阵：A= 解：d=9+6+24-18-12-4=20=2 =-3 =2 =6 =-6 =2=-4 =5 =-2用伴随矩阵法，得=说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。方法三. 矩阵分块求逆法在进展高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规如此分成假如干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进展运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规如此来进展运算，求出矩阵的逆矩阵。引出公式：设T的分块矩阵为：T= , 其中T为可逆矩阵，如此= , 5

4、说明：关于这个公式的推倒从略。例 3. 求如下矩阵的逆矩阵， W=解：将矩阵W分成四块，设A=, B=, C=, D=,于是即=B=, =C=，利用公式5，得=方法四. 因式分解法假如，即E-A可逆，且有=，6我们通过上式6，求出例 4.求下面矩阵的逆矩阵，：A=,解：因为存在一个K0，使=0，把这里的E-A替换6式中的“A，得 =通过计算得 =0，即K=4所以=+=方法五.多项式法我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。例 5.矩阵A=，且A满足多项式f(x)=，即试证明A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。证：由，可得从

5、而可知A为可逆矩阵，并且方法六. 解方程组法在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。例 6.求A=的逆矩阵解：求可逆矩阵A的逆矩阵X，如此它满足AX=E，设，如此，利用消元解法求i=1,2,3解得：方法七. 准对角矩阵的求逆方法 定义：形如 是矩阵 。 A称为准对角矩阵。其求逆的方法：可以证明：如果都可逆，如此准对角矩阵也可逆，且例 7. ，求。解：设=4 求得：所以 方法八.恒等变形法有些计算命题外表上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进展恒等变形，

6、且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。例8.，求，其中，解：对矩阵等式进展恒等变形，得于是，又因为A是正交矩阵，所以方法九.公式法利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。 二阶矩阵求逆公式两调一除：假如，如此 初等矩阵求逆公式： 对角线与其上方元素全为的上三角矩阵的逆矩阵的逆矩阵为： 正交矩阵的求逆公式：假如A为正交矩阵，如此5其他常用的求逆公式： 可逆 ，如此例9. ：， ，求。解：由于A是初等矩阵，由公式得： 而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：，再由公式得：到此为止，我已介绍了9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其方法不是很简便，在此略。这些方法各有所长，读者可根据实际情况进展选择。当然，除此之外还有其它方法。希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方法。参考文献：2 高等代数一题多解200例/ 魏献祝 编某某人民。3 线性代数学习指导/戴宗儒 编科学技术。4 线性代数解题方法技巧归纳/ 毛纲源 编华中理工大学。5 数学手册/ 数学手册编写组编38 / 10