高等数学多元函数微分法及其应用

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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用第七章第七章一、关于多元函数极限的题类一、关于多元函数极限的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类三、关于偏导数、全微分计算的题类三、关于偏导数、全微分计算的题类四、关于多元函数微分学应用的题类四、关于多元函数微分学应用的题类1.几何应用几何应用.2.极极(最最)值值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2本章基本概念及其关系本章基本概念及其关系连续性连续性 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方向导数存在可微性可微性1

2、. 多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限 、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的导出关系几个基本概念的导出关系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在极限存在极限存在极限存在极限存在【必须【必须熟练掌握熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】本章以下几个概念之间的关系】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4一、关于多元函数极限的题类一、关于多元函数极限的题类二元函数的

3、极限比一元函数的极限要复杂得多，计算二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难：也更困难：【例【例1】2200limyxxyyx 求求【解】【解】取路径取路径 y = k x，则，则 , 1)1(limlim22220220kkxkkxyxxyxkxyx 与与k有关有关,故不存在故不存在.【例【例2】2201)ln(limyxexyyx 计计算算初等函数初等函数.(1,0)定义域定义域内点内点.连续连续.代入法代入法【例【例3】2322222200)(sinlim yxyxyxyx 求求换元换元,化为一元化为一元函数的极限函数的极限机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

4、结束结束5【阅读与练习】【阅读与练习】求下列极限求下列极限; )0( )sin(lim)1(0 axxyayx;)11(lim)2(222yxxayxx ;)sin1(lim)3(100 xyyxxy 【解】【解】 )sin(lim)1(0ayxyxyayx 原式原式 1)11(lim)2(022 exyxxxayx原原式式 )sin1(lim)3(sinsin100exyxyxyxyyx 原式原式【提示】【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧可以引用一元函数求极限的各种技巧4422lim)4(yxyxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6【例【例4】【解】【解】

5、222limxyxxyyx 求求由于由于22221|2|022xxxxyxyyxxy 且且021lim2 xx故原极限故原极限=0夹逼准则夹逼准则 0lim22224422 yxyxyxyxyx原原式式,214422 yxyx0)11(limlim222222 xyyxyxyxyx(4) 【法【法】【法【法】0220,4444444422 yxyxyxyxyxyx夹逼准则夹逼准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类1.一般来说，讨论一般来说，讨论二元二元函数函数z = f (x,y)

6、在某点的连续性、可在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定定义判定；尤其是；尤其是分段函数在分段函数在分界点分界点的上述的上述“性态性态”就是要用各自的就是要用各自的定义定义判断判断.连连 续续),(),(lim0000yxfyxfyyxx 可偏导可偏导hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000 可可 微微0),(),(lim),( 0000000 yyxfxyxfzyxyx可可微微点点220000)()(, ),(),( yxyxfyyxxfz 其其中中内含三条，缺一不可内含三条，缺一不可包括高阶偏包括高阶偏导数定义等导

7、数定义等机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束82.【二元函数在区域内的偏导数】二元函数在区域内的偏导数】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如u = f (x , y , z) 在在(x , y , z) 处处 ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 3.【多元函数的偏导数】【多元函数的偏导数】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

8、返回返回 结束结束104. 【偏导数的几何意义】【偏导数的几何意义】,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11 xyz),(00yx0MxTyTo0 x0y0M 00),(yyyxfz 00),(xxyxfz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12【5.5.几何意义】几何意义】 . tan . tan ? )5 , 4 , 2(44 . 522的的倾倾角角是是多多少少轴轴处处的的切切线线对对于于在在点点曲曲线线xyyxz tan)5,4,2( xz机动机动 目录目录

9、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13【例【例1】【解】【解】 , 0, 00,),(2222222 yxyxyxyxyxf设设 )0 , 0(),(？处是否连续处是否连续在点在点问问yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx 0 0222 yyxyx)0 , 0(0),(lim00fyxfyx . )0 , 0(),(处处是是连连续续的的在在点点即即yxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14【解】【解】 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

10、15【证】【证】 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立 【证完】【证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16例4. 计算函数计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例5. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udyz,yxeyyxex)d2d(2yxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17作业作

11、业 p100 同济同济p62, p69机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18三、三、关于高阶偏导数、关于高阶偏导数、全微分计算的题类全微分计算的题类),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfxyzyzxyx 二阶纯偏导数二阶纯偏导数二阶混合偏导数二阶混合偏导数1. 【高阶偏导数的定义】【高阶偏导数的定义】 , ),(2yxfyxzxzyxy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19【定义式】【定义式】xyxfyxxfyxfxxxxx ),(),(lim),(0yyxfyyxfyxfxxyxy ),(),(lim)

12、,(0其余类推其余类推(2) 同样可得：同样可得：三阶、四阶、三阶、四阶、以及、以及n 阶偏导数。阶偏导数。(3) 【定义】【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数。【解】【解】xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20【解】【解】,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax

13、 ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21yxe22例3. 求函数求函数yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22(4)【问题】【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？即混合偏导数与求导

14、次序无关即混合偏导数与求导次序无关. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束232. 【多元复合函数求导法则】【多元复合函数求导法则】(1) 【可导充分条件】【可导充分条件】内层函数偏导存在内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续外层函数偏导连续(2) 【复合函数求导链式法则复合函数求导链式法则】全导数全导数 dtdvvzdtduuzdtdz uvxzxyyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz uvtzt),(yxufz yxuyxxuufxfxz yuufyfyz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24例1. 设,sinyxvyxuvezu.,

15、yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束25【例【例2】【解】【解】 ., 0, 0,求求一一阶阶偏偏导导设设 yxxuzy ;1 zyzxyxu );)(ln1 zyzyxxyuz)(ln)(lnyyxxzuzyz 【注意】【注意】 )( zyyzzyxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束26例3.,sin,),

16、(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束27【例【例4】【解】【解】，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设) (),(3fxyxyfxz )1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz

17、 ,222123115fxfxfx 【分析】抽象函数无中间变量【分析】抽象函数无中间变量,引入记号引入记号f 1 , f 12等等.xyzyxz 22 2)(4221211413 xfxyfyfxfx)(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx .,222yxzyzyz 求求)(222212xyfyfx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束28为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例5. 设设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(

18、vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 p100 p100 同济同济p69,p75p69,p75机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束293.【全微分全微分】 全微分各偏微分之和全微分各偏微分之和u,v是自变量是自变量或中间变量或中间变量4.【隐函数的求导法则】【隐函数的求导法则】(1)公式法公式法(2)推导法推导法( (直接法直接法)方法步骤方法步骤0),( yxF)(xfy yxFFdxdy

19、x、y、z 等各变量地位等同等各变量地位等同0),( zyxF),(yxzz zxFFxz zyFFyz 0),(0),(vuyxGvuyxF ),( , ),( yxvvyxuu 公式不必记公式不必记,要求掌握要求掌握推导法推导法解由解由得到的得到的方程方程(组组), 解出要求的偏导数解出要求的偏导数.形式不变性形式不变性dvvzduuzdz 搞清哪个搞清哪个(些些)是是因变量因变量、中间变量中间变量、自变量自变量；将方程将方程(组组)两边同时两边同时对对某个某个自变量自变量求求(偏偏)导导；其余自变量的偏导数同理可求其余自变量的偏导数同理可求.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返

20、回 结束结束30例1. 设设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束31解法2 利用公式利用公式设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

21、束32例2. 设设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:由题设故有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束33 ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 设设【例【例3 3】【解】【解】,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cos xdxdy 显显然然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对

22、,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 【分析】【分析】 确定确定y=y(x), z=z(x), u=u(x) )三方程两边同时对三方程两边同时对x求导求导. .于是可得于是可得, ,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故., 0) ,(dxduzf求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束34【例【例4】【分析】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数隐函数，含抽象函数、复合函数.【解【解】 公式法公式法.),(22yzfyzyfzx

23、 可微，求可微，求其中其中设设),(),( 22yzyfzxzyxF 令令),()(yzfyzyzfFy ),(2yzfzFz 则则.)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfFFyzzy x,y,z .地地位位等等同同机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束35,)()(22yzyyzyzf yyzfyzz )(22yzyfzx .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得【解【解】 推导法推导法（直接法）（直接法）【例【例4】【分析】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数隐函数，含抽象函数、复合函数.),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其

24、中设设z是是x,y的函数的函数两边同时对两边同时对y求导求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束362)()(22yzdyydzyzf ydyyzfzdzxdx dyyzfyzyzfxdxdzyzfz)()(2)(2 .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得)(22yzyfzx 【解【解】全微分法全微分法【例【例4】【分析】【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数隐函数，含抽象函数、复合函数.),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中设设（作业（作业 p100 p100 同济同济p89p89）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

25、结束结束37四、关于多元函数微分学应用的题类四、关于多元函数微分学应用的题类1.【几何应用几何应用】空间曲线空间曲线有有切线切线和和法平面法平面退化情形退化情形切向量切向量)(),(),(tzztyytxx )( ),(xzzxyy 0),(, 0),( zyxGzyxF)(),(),(tztytx )(),(, 1(xzxy ),(),(,),(),(,),(),(yxGFxzGFzyGF 空间曲线空间曲线T平面曲线平面曲线C切向量切向量)(xfy 0),( yxF)(, 1(xf ),(xyFF T(P85; 同济同济p94)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束38空

26、间曲面空间曲面有有切平面切平面和和法线法线退化情形退化情形0),( zyxF),(yxfz ),zyxFFF（)1,( yxff法向量法向量空间曲面空间曲面n平面曲线平面曲线C法向量法向量)(xfy 0),( yxFn)1),(xf ),(yxFF(P88; 同济同济p98)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束39【例【例1】【解】【解】处的切平面处的切平面在点在点求曲面求曲面)14, 1, 2(23022 Myxz方程、法线方程和向上法线的方向余弦方程、法线方程和向上法线的方向余弦. , 12)1, 2( xf , 4)1, 2( yf 1)1, 2( zf切平面切平面

27、0)14()1(4)2(12 zyx法法 线线 11441122 zyx向上法线方向与向上法线方向与z 轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为 16112)1()4(1212cos222 ; 1614cos 1611cos 2223),(yxyxf 由由机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束40【解】【解】 设设 为曲面上的切点为曲面上的切点, ,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .20

28、00zyx 【分析】【分析】为隐式情形（待定常数法）为隐式情形（待定常数法）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束41因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束42【解】【解】, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33te

29、z , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束43【例【例4】【解】【解】【分析】【分析】的交线的交线和平面和平面求求06222 zyxzyx . )1 , 2, 1(处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程在点在点 M空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式，空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式，再用隐函数求导的推导法（直接法）求导再用隐函数求导的推导法（直接法）求导.曲线方程为曲线方程为 00222zyxzyx )(

30、)( xzzxyyxx 010222dxdzdxdydxdzzdxdyyx , 0)1 ,2, 1()1 ,2, 1( yzzxdxdy , 1)1 ,2, 1()1 ,2, 1( yzxydxdz切切 线：线： 11021 zyx法平面：法平面： 0 )1()1( zx 0 zx 0211 yzx（即（即P87例例2同济同济p96例例5）（作业（作业 p105 同济同济p100）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束44二元函数极值的判定定理二元函数极值的判定定理0),(, 0),(0000 yxfyxfyx又又2.【极【极(最最)值】值】机动机动 目录目录 上页上页 下

31、页下页 返回返回 结束结束45 0422204222yyxxzzzyzzzx【解】【解】（此为隐函数的极值问题）（此为隐函数的极值问题）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束46,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx )2(0)2(122 zzBAC故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束47, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束48条件极值的求法条件极值的求法法法:化为无条件极值（化为无条件极值（如例如例1）法法:拉格朗日乘数法拉

32、格朗日乘数法对三元以上的函数特别有用对三元以上的函数特别有用（2）【拉格朗日乘数法】【拉格朗日乘数法】称为拉格称为拉格朗日函数朗日函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束49之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz【例【例1】【解】【解】.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设【分析】【分析】最最小小即即且且使使满满足足，使使得得本本题题变变为为求求一一点点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP机

33、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束50),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束51.647241414161min d),81,41,41(即即得得唯唯一一驻驻点点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(（作业（作业 p105 同济同济p118）