从一道上海高考题看椭圆双曲线性质及应用

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1、2013年第7期725从一道上海高考题看椭圆双曲线性质及应用710307陕西省户县二中王户世题目(2012年高考上海卷数学理科第22题)在平面直角坐标系HOy中，已知双曲线Ci:2x2y2=1.(1)过Ci的左顶点引Ci的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及z轴围成的三角形的面积；(2) 设斜率为1的直线/交Ci于P、Q两点，若Z与圆H+/=1相切，求证：OP丄OQ;(3) 设椭圆C2:x2+y2=若M、N分别是Ci、Q上的动点，且OM丄ON,求证:点O到直线MN的距离是定值.答案(过程略):络(2)略;d=罟.本题第(2;小题中双曲线的方程是具体给出的，直线斜率给定就对应一组平行线束

2、，与圆相切时直线就定下来了，我们可否把这些条件一般化，让结论成立呢？第(3)小题中椭圆、双曲线也一般化后，还应满足什么条件,才能保证结论成立呢？对这些问题经过一番深a2k2)0且以/务k2a0)和直线I:y=kx+m、则有(1) Z与C有两个交点k20且”系数不为零4a4k2m2+4a2(m2+&2)(622一凤2因为ba0,所以士一臣故耳存=m撃一2)=a2b2(k2+1)OP丄OQ.现冋过头来看上海高考题(2)小题，相当于命题1中士=2,右=1.设直线2:y=kxmy.k=.又直线2与圆x24-y2=1相切，故-JL=l,7n2=2,所以有空丄=V1+k2加士一君，由命题1,可知PO丄OQ.与命题1类似，可得：22命题2已知椭圆C：寻+器=1和直线y=kxra,则有2_l2(1)2与C有两个交点上2炉+1设Z与C交点为P、Q,则210P丄OQ