2054021138北京市高三理科数学一轮复习专题突破训练：立体几何

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1、 北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练立体几何一、选择、填空题1、（2015年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A.B. C.D.52、（2014年北京高考）在空间直角坐标系中，已知，若 ，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A） （B）且 （C）且 （D）且 3、（2013年北京高考）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_4、（朝阳区2015届高三一模）将体积为1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点

2、为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了n(nN* )次，则第一次挖去的几何体的体积是；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是。5、（房山区2015届高三一模）一个棱长为的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A BC D6、（丰台区2015届高三一模）上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是(A) 4(B) 5 (C) (D) 7、（海淀区2015届高三二模）若空间中有个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的值（ ）（A）不存在（B）有无数个（C）等于5（D）最大值为88、（石景山区

3、2015届高三一模）在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A和 B和 C和 D和 9、（西城区2015届高三一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 ( )10、（昌平区2015届高三上学期期末）已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则11、（朝阳区2015届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A BC D12、（大兴区2015届高三上学期期末）已知直线平面，直线

4、平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.以上命题中，正确命题的序号是 （A） （B） （C） （D）13、（丰台区2015届高三上学期期末）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是14、（石景山区2015届高三上学期期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. B. C. D. 15、（通州区2015高三4月模拟考试（一）在正方体中，已知，分别是，的中点，过点，的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是二、解答题1、（2015年北

5、京高考）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面EFCB，EFBC，BC=4，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值2、（2014年北京高考） 如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥 中，为棱的中点，平面与棱分别交于点. （1）求证：； （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并 求线段的长.3、（2013年北京高考）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值4

6、、（朝阳区2015届高三一模）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 ABCD，ADCD， AB = AD = CD（1）求证： BF 平面CDE ；（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM 平面BDF ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由5、（东城区2015届高三二模）如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，侧面侧面，是的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由6、（房山区2015届高三一模）在如图所示的多面体中，平面，平面ABC，且，是的

7、中点 （）求证：； （）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （）在棱上是否存在一点,使得直线与平面所成的角为若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由7、（丰台区2015届高三一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面，/，AB=PA=4，BE=2 （）求证：/平面； （）求PD与平面PCE所成角的正弦值； （）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由 8、（海淀区2015届高三二模）如图所示，在四棱锥中， ， 是棱上一点.（）若，求证：平面；（）若平面平面，平面平面，求证：平面；（）在（）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值. ACDEFB9、

8、（石景山区2015届高三一模）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，ABCD，ADDC，AB2，CD4 ()求证：BC平面BDE；()试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于3010、（西城区2015届高三一模）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，EFAD ，平面 ADEF 平面 ABCD，且BC = 2EF ， AE = AF ，点G 是EF 的中点。（1）证明： AG 平面ABCD 。（2）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG

9、的长。（3）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG平面ABF ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。11、（昌平区2015届高三上学期期末）如图，垂直于梯形所在的平面，. 为中点， 四边形为矩形，线段交于点N .(I) 求证：/ 平面；(II) 求二面角的大小；(III)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？ 若存在，请求出的长;若不存在，请说明理由.12、（朝阳区2015届高三上学期期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面， ，点是的中点，点在边上移动（）若为中点，求证：/平面；（）求证：；DPCBFAE（）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.13、

10、（海淀区2015届高三上学期期末）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，平面平面.（）求证：； （）设点分别是的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （）求二面角的余弦值. 14、（石景山区2015届高三上学期期末）如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点.（）求证：平面平面；（）若点在线段上，且满足,求证：平面；（）若,求二面角的大小.15、（通州区2015高三4月模拟考试（一）如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面，且，点为的中点. （）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）若点关于的对称点是D，在直线上是否存在点，使平面.若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

11、参考答案一、选择、填空题1、C解析：过P点做AB的垂线交于D表面积为2、D（且）在平面上的投影为，故，设在和平面上的投影分别为和，则在和平面上的投影分别为和，故综上，选项D正确3、答案：解析：过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H，P点到直线CC1的距离就是C1H，故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小，此时，在RtD1C1E1中，C1HD1E1，D1E1C1HC1D1C1E1，C1H4、答案：5、D6、D7、C8、D9、答案：A解析：几何体为正方体切去右后上方的一个角之后得到的几何体.1

12、0、C11、A12、B 13、A14、D15、B二、解答题1、解析: (）因为是等边三角形，为的中点 所以 又因为平面平面，平面 所以平面所以（）取的中点，连接由题设知是等腰梯形所以由(）知平面，又平面，所以如图建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则 即令，则，于是平面的法向量所以由题知二面角为钝角，所以它的余弦值为（）因为平面，所以，即因为，所以由及，解得2、证明：，面，面.面.面，即面面面.如图建立空间直角坐标系，各点坐标如下,设面的法向量为，即，令，又，直线与平面所成的角为.设，由，则又面，3、解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA

13、1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4

14、，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.4、 5、（）证明：连接与相交于，则为的中点，连接因为为的中点， 所以因为平面，平面，所以平面 4分（）证明：，在中，因为，所以 因为侧面侧面，侧面侧面，平面，所以平面 8分（）解：两两互相垂直，建立空间直角坐标系假设在线段上存在一点，使二面角为平面的法向量，设所以，设平面的法向量为，则所以令，得，所以的法向量为因为，所以，解得，故因此在线段上存在一点，使二面角为，且. 14分 6、（I）证明： 是的中点 又平面， 平面 4分 （）以为原点，分别以,为x，y轴，如图建立坐标系，则设平面的一个法向

15、量，则取所以设平面的一个法向量，则取，所以所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 9分（）设且,若直线与平面所成的角为，则解得：，所以符合条件的点存在，为棱的中点. 14分7、解：（）设中点为G，连结，因为/，且，所以/且，所以四边形为平行四边形所以/，且因为正方形，所以/，所以/，且所以四边形为平行四边形所以/因为平面，平面，所以/平面4分（）如图建立空间坐标系，则，所以， 设平面的一个法向量为，所以令，则，所以 设与平面所成角为，则所以与平面所成角的正弦值是 9分（）依题意，可设，则， 设平面的一个法向量为，则令，则，所以 因为平面平面，所以，即，所以， 点 所以 14分8、（）证明：连结

16、交于点，连结.因为 ， 所以 . 因为 ，所以 .所以 . 所以 . 2分因为 平面，平面，所以 平面. 4分（）证明：因为 平面平面，平面平面，平面，所以平面. 6分因为 平面，所以 . 7分同理可证：.因为 平面，平面， 所以平面. 9分（）解：分别以边所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由得，则，.由（）得：平面.所以 平面的一个法向量为. 10分设，即.所以 .设平面的法向量为，则即令，则，.所以 . 12分因为 二面角的余弦值为，所以 ，解得.所以 的值为. 14分9、（）证明：因为平面ABEF平面ABCD，EDAB所以ED平面ABCD 1分又因为BC平面ABCD，所以EDB

17、C 2分在直角梯形ABCD中,由已知可得BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD 2=BC2+BD2 ，所以，BDBC 4分又因为EDBD=D，所以BC平面BDE 5分（）如图建立空间直角坐标系Dxyz 6分ACDEFBxzy则 7分设，则令是平面BEF的一个法向量，则所以，令，得所以 9分因为AP与平面BEF所成的角等于，所以AP与所成的角为或所以 11分所以又因为，所以或 12分当时，（*）式无解当时，解得： 13分所以，或. 14分10、11、解：()连接在中，分别为中点，所以因为所以 4分()如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 5分则设平面的法向量为

18、则即 解得令，得 所以 7分因为平所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为 9分() 设存在点Q满足条件.由 设，整理得 ，11分因为直线与平面所成角的大小为，所以 ， 13分则知，即点与E点重合.故在线段上存在一点，且 14分12、（）证明：在中，因为点是中点，点是中点，所以/又因为平面，平面， 所以/平面.4分（）证明：因为底面是正方形，所以又因为侧面底面，平面平面=， 且平面，所以平面由于平面，所以 由已知，点是的中点，所以又因为，所以平面.因为平面，所以.9分（）点为边上靠近点的三等分点因为，所以DCBFAEPxFyzF由（）可知，平面.又/,所以平面，即， .所以，两两垂直

19、分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）.不妨设，则，.于是，. 设平面的一个法向量为，由 得 取，则，得 由于，,所以平面.即平面的一个法向量为 根据题意，解得由于，所以.即点为边上靠近点的三等分点.14分13、证明：（）连接. 在正方形中，.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 1分因为 平面， 所以 . 2分在菱形中，.因为 平面，平面，所以 平面. 4分因为 平面， 所以 . 5分（）平面，理由如下： 6分取的中点，连接.因为 是的中点，所以 ，且.因为 是的中点，所以 .在正方形中，.所以 ，且.所以 四边形为平行四边形.所以 . 8分因为 平面，平面， 所以 平面.

20、9分（）在平面内过点作.由（）可知：平面. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.在菱形中，所以 ，. 设平面的一个法向量为.因为 即所以 即. 11分 由（）可知：是平面的一个法向量. 12分所以 . 所以 二面角的余弦值为. 14分14、（）, 2分且ABCDPQMOH 4分（）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，所以且；取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC,所以, 且，所以，四边形为平行四边形，所以，且,所以PQ/面BDC. 9分 (III)如图建系,则, 10分ABCDPQMyzx设面的法向量,即令,则设面的法向量 11分即令, 则 12分所以二面角的大小为 14分15、解：（）连结，因为， ，点为的中点， 所以，因为，所以平面 4分（）因为侧面 底面，所以 平面 所以 5分所以以为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，所以，所以，设平面的法向量为， 所以 即所以. 7分因为平面的法向量为， 所以所以二面角的余弦值是 9分（）存在. 因为点关于的对称点是D，所以点 10分 假设在直线上存在点符合题意，则点的坐标设为，所以 所以 所以 12分因为平面，平面的法向量为， 所以由，得所以 13分所以在直线上存在点，使平面，且点恰为点. 14分