相互独立的随机变量课件

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1、一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量三、小结三、小结一、相互独立的随机变量一、相互独立的随机变量1.定义定义分分别别是是二二维维随随机机变变及及设设)(),(),(yFxFyxFYX.),( 函数函数的分布函数及边缘分布的分布函数及边缘分布量量YX若对于所有若对于所有有有yx, ,yYxXP ,yYPxXP ),()(),(yFxFyxFYX .是是相相互互独独立立的的和和则则称称随随机机变变量量YX即即2.说明说明 ,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX(1) 若离散

2、型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为., 2 , 1, jipjYiXPij.jiijppp 即即相相互互独独立立和和YX则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),()2(yfxfyxfYXYX.)()(也相互独立也相互独立和和则则YgXf)3(,相互独立相互独立和和YX在平面上几乎处处成立.).()(),(yfxfyxfYX a设一袋中有 只红球，例例1b只白球，今从中任意抽取一只，共取两次.记1,0,X第一次取出的球为红球第一次取出的球为白球1,0,Y第二次取出的球为红

3、球第二次取出的球为白球就有放回与无放回两种情况，(,)X Y求的分布律，,X Y并求的边缘分布律.解解(1)有放回的情况XY1010()iP Xx()jP Yy22()aab2()abab2()abab22()babaabbabaabbab1(, )X Y 的分布律和边缘分布律为：XY和 相互独立.解解()无放回的情况XY1010()iP Xx()jP Yy11aaab ab1abab abaabbabaabbab1(, )X Y 的分布律和边缘分布律为：1baab ab11bbab abXY和 不相互独立.具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量),(YX),(yxf , 0,

4、0,e2)2( yxyx., 0其其他他例例2对于随机变量对于随机变量，和和YX由由)(xfX , 0,22 xex其其他他，, 0)(yfY , 0, yey其其他他，, 0),()(),(yfxfyxfYX .是相互独立的是相互独立的和和因而因而YX得得 2222212121212)()(2)()1 ( 21expyyxx. ),(YX考考察察二二维维正正态态随随机机变变量量 ),(yxf221121 )()(xfxfYX.)()(21exp212222212121 yx 结论结论: ，对对于于二二维维正正态态随随机机变变量量),(YX相相互互独独立立和和YX0. 的的充充要要条条件件是是

5、参参数数例例3 3一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们两人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办求他们到达办室的时间相差不超过室的时间相差不超过 5 分钟分钟)121(小时小时的概率的概率.解解分别是负责人和分别是负责人和和和设设YX的概率密度分别为的概率密度分别为和和由假设由假设YX他的秘书到达办公室的时间他的秘书到达办公室的时间,)(xfX)(yfY,相互独立相互独立因为因为YX的概率密度为的概率密度为故故),(YX ,128,41 x,

6、 0其他其他, 97,21 x, 0其他其他 ),(yxf , 97 ,128,81 yx., 0其他其他)()(yfxfYXOxy 8 1279ABB CC G.121 YXP按按题题意意需需要要求求概概率率画出区域画出区域:,121 YX,97;128 yx以以及及长长方方形形它它,BCBC 们们的的公公共共部部分分是是四四边边形形).83( 如如图图记记为为G内内，取取值值于于显显然然仅仅当当GYX),(他们两人到达的时间他们两人到达的时间.121小时小时相差才不超过相差才不超过因此因此,所求的概率为所求的概率为121 YXP Gyxyxfdd),().(81的的面面积积G Oxy 8

7、1279ABB CC G的面积的面积G的的面面积积三三角角形形的的面面积积三三角角形形CBAABC 而而22121121121321 .61 超超达办公室的时间相差不达办公室的时间相差不即负责人和他的秘书到即负责人和他的秘书到.4815分钟的概率为分钟的概率为过过于是于是121 YXP)(81的面积的面积G .481 Oxy 8 1279ABB CC G二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广1.分布函数分布函数.,21为为任任意意实实数数其其中中nxxx ),(21nxxxF的的分分布布函函数数定定维维随随机机变变量量),(21nXXXn义为义为 ,2211nnxXxXxXP 2.概率密

8、度函数概率密度函数有有实实数数nxxx,21),(21nxxxF),(21nxxxf若若存存在在非非负负函函数数 nnxxxnnxxxxxxf11,ddd),(2121 使对于任意使对于任意.度函数度函数的的概概率率密密为为则则称称),(),(2121nnXXXxxxf3.边缘分布函数边缘分布函数),(),(2121nnxxxFXXX的的分分布布函函数数设设为已知为已知,维维边边缘缘分分布布的的则则)1(),(21nkkXXXn 函数就随之确定函数就随之确定.、关关于于关关于于例例如如121),(XXXXn的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为),(21XX )(11xFX ),(21,21

9、xxFXX),(1 xF),(21 xxF4.边缘概率密度函数边缘概率密度函数)(11xfX的的概概率率是是若若),(),(2121nnXXXxxxf的的关于关于关于关于则则),(,),(21121XXXXXXn边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为密度密度,ddd),(3221nnxxxxxxf ),(21,21xxfXX.ddd),(4321nnxxxxxxf 维维边边缘缘概概的的同同理理可可得得)1(),(21nkkXXXn .率密度率密度5. 相互独立性相互独立性有有若若对对于于所所有有的的nxxx,21.,21是是相相互互独独立立的的则则称称nXXX有有若若对对于于所所有有的的nmyy

10、yxxx,2121 ),(21nxxxF),(2121nmyyyxxxF),()()(2121nXXXxFxFxFn),(),(212211nmyyyFxxxF 的分布的分布和和),(),(212121nmnYYYXXXYYY),(,2121mXXXFFF依次为随机变量依次为随机变量其中其中是是相相互互和和则则称称随随机机变变量量),(),(11nmYYXX独立的独立的.函数函数,6.重要结论重要结论相互相互和和设设),(),(2121nmYYYXXX.), 2 , 1(), 2 , 1(相相互互独独立立和和则则njYmXji , 是连续函数是连续函数又若又若gh,(),(121YgXXXhm

11、和和则则定理定理 独立独立,.),2相互独立相互独立nYY 的联合概率密度为的联合概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量),(. 2YX)()(),(yfxfyxfYX .,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX相互独立相互独立和和YX1. 若离散型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为,ijpjYiXP 三、小三、小 结结),(yxf则有则有),(),(yfxfYX边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为., 2 , 1, ji )(yxFYX )(xyFXY,),(. 4是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量设设YX.d )(),( xYxyfyxf.d )(),( yXyxfyxfyxyfyXYd)( xyxfxYXd)( ,. 3相互独立相互独立和和YX.)()(也相互独立也相互独立和和则则YgXf则则有有思思 考考 题题.),(,),(, 2的联合概率密度的联合概率密度求求上服从均匀分布上服从均匀分布在在服从服从并且并且相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量YXbbYaNXYX