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1、北京市大兴区2014年高三统一练习数学（文科） 本试卷分两部分,第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)共4页,共150分,考试时间120分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，那么等于 A. B. C. D. （2）已知,则的最小值是 A. 1 B. 2 C. D. 4（3）函数的图象大致是 （4）“”是“方程表示双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（5）若直线被圆所截得的弦最长，则等于 A.
2、B. C. D. （6）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 A. B. C. D. （7）在平面直角坐标系中，不等式组表示图形的面积等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（8）如图，在圆的内接三角形中，则等于 A. B. C. D 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）复数 .（10）一个圆锥的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为1的正三角形，则俯视图的面积等于 .（11）在锐角中, ,，则 .（12）在等比数列中，则公比 .（13）已知函数若，则；函数的值域是 .（14）给出下列函数：；.则满足关系式的函数的序号是 .三、解答题共6小
3、题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）已知函数（）求的值；（）求函数的单调增区间与最大值.（16）（本小题共13分）为了改善空气质量，某市规定，从2014年3月1日起，对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行碳排放检测，记录如下：（单位：g/km）甲80110120140150乙100120x100160 经测算得乙品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为. （I）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性； （II）从被检测的5辆甲品牌汽车中随机抽取2辆，则至少有一辆二氧化
4、碳排放量超过130g/km的概率是多少？（注：方差，其中为的平均数）（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，是的中点.（I）求证：平面；（II）若于，求证：平面；（III）若，求三棱锥的体积.（18）（本小题共13分）已知函数（I）当时，求函数在点处的切线方程；（II）若函数有且仅有一个零点，求实数的范围.（19）（本小题共14分）已知椭圆（ab0）的右焦点为,离心率为（）求椭圆C的方程；（）斜率为k的直线l经过点M且与椭圆C交于不同两点A，B，当点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围（20）（本小题共13分）对于无穷数列，记，给出下列定义： 若存在实数，使成立
5、，则称数列为“有上界数列”；若为有上界数列，且存在，使成立，则称为“有最大值数列”；若，则称数列为“差减小数列”.（）根据上述定义，判断数列，分别是那种数列？（）在数列中，求证：数列既是有上界数列又是差减小数列；（）若数列是有上界数列且是差减小数列但不是有最大值数列，求证：无穷数列为单调递增数列.文科参考答案一、选择题题号12345678答案ADBCDCBC二、填空题(9) (10) (11) (12) 1，或 (13) -1; (14) 三、解答题（15）解:（）.4分（） .2分 .3分令.5分 . 所以函数的单调增区间是.7分时，的最大值为.9分（16）（本小题共13分）解：（I）由已知
6、得 .2分.3分.4分.5分因为,所以乙品牌稳定.6分（II）设甲品牌五辆车的排气量分别代表五辆汽车，则从中选取两辆，所有的结果为：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120）（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）,共10个.3分其中至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km有（80，140），（80，150），（110，140），（110，150）（120，140），（120，150），（140，150）,共7个.6分 所以从被检测的5辆甲品牌汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超
7、过130g/km的概率是.7分（17）（本小题共14分）（I）证明 ：在正方形中连接，交于点，连接，.1分因为 四边形为正方形，所以为中点, 又因为为中点，所以，.2分因为面,面,所以，面 .4分（II）因为面面，且面面 ,在面中，,所以面,.1分因为面,所以, .2分因为，是的中点.所以, .3分在面中，, 故面. .4分所以,.5分又因为,且在面中，所以 平面. 6分（III）取中点，连接.所以,因为,侧面底面,且面面,所以平面,所以平面. 2分所以. 4分（18）（本小题共13分）解: ()由,得2分当时，3分 切线方程:4分() =, 令得, 2分1+0-0+极大极小 6分极大值是 极
8、小值是， 函数有且仅有一个零点，须，或8分即，或时，函数有且仅有一个零点。9分（19）（本小题共14分）解：（）由右焦点，可得， -1分又离心率，可得 -2分 又 -3分所以标准方程为 -5分（）设直线与曲线C的交点为，联立方程组得， -2分所以， -3分 由右焦点F（2，0），因为右焦点F在以AB为直径的圆内时，所以0 -5分所以 即 -6分所以0 所以 -8分经检验当时，有解，即直线与椭圆相交 所以直线的斜率的范围为（-，）-9分（20）解：（）1），显然，且存在，所以数列既是由上界数列，又是有最大值数列. 2分2），,且不存在，使成立；所以数列是差减小数列，又是有上界数列 4分（）下面用反证法证明，假设存在某个k使得，成立，则必有，显然与已知矛盾，所以不成立；假设存在某个k使得，成立，则必有成立，即得到成立，与矛盾，所以.又 , .两式相减得：,即,即,所以既是差减少数列又是有上界数列。4分（）用反证法，假设无穷数列不是单调递增数列，则设k为第一个使成立的自然数，即，又是差减小数列，所以即，数列从第k项开始都有，即，又因为此时，所以数列从第k项开始为单调递减数列，又由于k为第一个使成立的自然数，所以无穷数列中，必有，无穷数列为有最大值数列，与已知矛盾，所以假设不成立，无穷数列一定是单调递增数列。5分
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