自动控制系统性能分析

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1、自动控制系统性能的频域分析 概述 自动控制系统的稳定性分析 自动控制系统的稳态性分析 自动控制系统的动态特性分析 系统分析举例水位控制系统概述 研究任何自动控制系统的首要的工作是建立合理研究任何自动控制系统的首要的工作是建立合理的数学模型。一旦建立了数学模型，就可以进行的数学模型。一旦建立了数学模型，就可以进行自动控制系统的分析和设计。对控制系统进行分自动控制系统的分析和设计。对控制系统进行分析，就是分析控制系统能否满足它所提出来的性析，就是分析控制系统能否满足它所提出来的性能指标要求，分析某些参数变化对系统性能的影能指标要求，分析某些参数变化对系统性能的影响。工程上对系统性能进行分析的主要内

2、容是：响。工程上对系统性能进行分析的主要内容是：稳定性能、稳态性能和动态性能分析。稳定性能、稳态性能和动态性能分析。其中最重其中最重要的是系统的稳定性能，这是因为工程上所使用要的是系统的稳定性能，这是因为工程上所使用的控制系统必须首先是稳定的系统，不稳定的系的控制系统必须首先是稳定的系统，不稳定的系统是根本无法工作的。因此分析研究系统时，首统是根本无法工作的。因此分析研究系统时，首先要对系统进行稳定性分析。其次是系统的稳态先要对系统进行稳定性分析。其次是系统的稳态性能分析，这是因为系统经过长期运行在稳态状性能分析，这是因为系统经过长期运行在稳态状态下，因此其稳态性能直接关系到日常工作的质态下，

3、因此其稳态性能直接关系到日常工作的质量；最后是系统的动态性能分析，这主要是针对量；最后是系统的动态性能分析，这主要是针对那些要求快速且平稳过渡的系统。那些要求快速且平稳过渡的系统。 稳定性分析是自动控制系统中最重要的性能分析，这是因为工程上所使用的控制系统首先必须是稳定的系统，不稳定的系统不仅无法工作，也没有其使用的价值。 系统的稳定性（Stability）是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后， 经过调节，能重新达到平衡状态的性能。 造成系统不稳定主要有：系统内部参数结构上的原因和外部控制上的客观原因。7.1 自动控制系统的稳定性分析 稳定系统与不稳定系统a)不稳定系统 b)稳定系统

4、 造成自动控制系统不稳定的物理原因 系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定)的条件。 即形成系统稳定的充要条件。 系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。 自动控制系统的相对稳定性a)相对稳定性好 b)相对稳定性差 系统稳定区域系统稳定区域系统稳定的充要条件 系统稳定的必要和充分条件是：特征方程的所有系统稳定的必要和充分条件是：特征方程的所有的根的实部都必须是负数。亦即闭环系统的所有的根的实部都必须是负数。亦即闭环系统的所有极点都必须在复平面的左侧。极点都必须在复平面的左侧。系统不稳定区域系统不稳定区域+1系统特征方程的根，或者说其系统的传递函数的极

5、点都在复数平面的左半平面系统特征方程的根，或者说其系统的传递函数的极点有在复数平面的右半平面+j+j控制系统稳定性和特征根（闭环极点）之间的关系n对稳定的系统，若负实根或具有负实部的复根离虚对稳定的系统，若负实根或具有负实部的复根离虚轴轴(Im(Im轴轴) )愈远，指数曲线衰减得愈快，则系统的调整愈远，指数曲线衰减得愈快，则系统的调整时间愈短，系统的相对稳定性就会愈好。时间愈短，系统的相对稳定性就会愈好。n若系统特征根有多个，那么最靠近虚轴的极点，对若系统特征根有多个，那么最靠近虚轴的极点，对系统稳定性系统稳定性( (衰减慢衰减慢) )的影响最大，因此通常把最靠近的影响最大，因此通常把最靠近虚

6、轴的闭环极点，称为虚轴的闭环极点，称为闭环主导极点闭环主导极点。 奈氏稳定性判据 奈氏奈氏(Nyquist)(Nyquist)稳定判据：奈氏判据说明，如果系稳定判据：奈氏判据说明，如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的充要统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的充要条件是：它的开环幅相频率特性曲线不包围条件是：它的开环幅相频率特性曲线不包围(-1(-1，j0)j0)点。反之，若曲线包围点。反之，若曲线包围(-1(-1，j0)j0)点，则闭环系点，则闭环系统将是不稳定的。若曲线通过统将是不稳定的。若曲线通过(-1(-1，j0)j0)点，则闭点，则闭环系统处于稳定边界。环系统处于稳定边界。 对

7、数频率稳定性判据 奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的。而奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的。而在前一章中，我们已经了解了作奈氏图的在前一章中，我们已经了解了作奈氏图的复杂性，所以如果被分析的自动控制系统复杂性，所以如果被分析的自动控制系统是具有最小相位的开环传递函数的最小相是具有最小相位的开环传递函数的最小相位系统的话，那么在工程上我们就可以采位系统的话，那么在工程上我们就可以采用系统的开环对数频率特性（用系统的开环对数频率特性（BodeBode图）来图）来判别该闭环系统的绝对稳定性与相对稳定判别该闭环系统的绝对稳定性与相对稳定性。而这就是所谓的对数频率稳定性判据。性。而这就是所谓的对数频率稳定性

8、判据。 对数频率稳定性判据是在奈氏稳定性判据对数频率稳定性判据是在奈氏稳定性判据基础上发展而来的，因此它基础上发展而来的，因此它实质上是具有实质上是具有最小相位传递函数系统的奈氏稳定性判据最小相位传递函数系统的奈氏稳定性判据在伯德图上的一种表示表示形式。在伯德图上的一种表示表示形式。1 1、奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图上、奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图上的的0dB0dB线。线。dBMLM01lg20)(lg20)(,1)(时因为2 2、奈氏图上的负实轴对应于伯德图上的、奈氏图上的负实轴对应于伯德图上的-180-180度的相频度的相频曲线。曲线。180)()(,180)(j

9、MM时因为频率稳定判据在极坐标图和对数坐标图上的对照频率稳定判据在极坐标图和对数坐标图上的对照a)a)奈氏判据奈氏判据 b)b)对数频率判据对数频率判据 若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是：若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是：当当 线过线过0dB0dB线时，线时， 在在 线上方线上方( 0)( 0)。 )(L)(1801.1.相位稳定裕量相位稳定裕量(Phase Margin)( )(Phase Margin)( )的定义：的定义：稳定裕量与系统相对稳定性 稳定裕量稳定裕量(Stability Margin)(Stability Margin)表示自动控制系表示自动控制

10、系统的相对稳定的程度，亦即表示了自动控制系统的相对稳定的程度，亦即表示了自动控制系统的相对稳定性统的相对稳定性(Relative Stability)(Relative Stability)。 当当=c=c时，时， ，我们称奈氏曲线的模等，我们称奈氏曲线的模等于于1 1时所对应频率叫穿越频率时所对应频率叫穿越频率c c ，它正好对应对数，它正好对应对数幅频特性上幅频特性上 与与0dB0dB线的交点。此时，奈氏曲线上线的交点。此时，奈氏曲线上该点距离该点距离-轴的角度就是相位稳定裕量轴的角度就是相位稳定裕量 。它与对。它与对数相频特性数相频特性 上的上的 线上的角度相对应。线上的角度相对应。 1

11、)(cM)(L)(180且有：且有：若若 0 0，则表明系统是稳定的。而且，则表明系统是稳定的。而且 愈大，愈大，则表示系统离稳定边界则表示系统离稳定边界“距离距离”愈远，系统稳定性愈远，系统稳定性愈好，工作愈可靠。愈好，工作愈可靠。若若 =0 =0，则系统处于稳定边界。，则系统处于稳定边界。若若 0 0，则表明系统是不稳定的。，则表明系统是不稳定的。对一般闭环控制系统，通常希望对一般闭环控制系统，通常希望 =(30 =(304545) )左右。左右。 由此，相位稳定裕量由此，相位稳定裕量 在对数相频特性上可定义在对数相频特性上可定义为：为： 2.2.相位稳定裕量的求取相位稳定裕量的求取 相位

12、裕量相位裕量 计算方法计算方法( (对最小相位系统对最小相位系统) )是：由开是：由开环传递函数环传递函数 作系统的开环对数幅频特性作系统的开环对数幅频特性（一般以渐近线近似代替），从图中得到穿越频（一般以渐近线近似代替），从图中得到穿越频率率 （计算或图解均可），计算出对应于（计算或图解均可），计算出对应于 时时的相位的相位 再由下面的式子求得再由下面的式子求得 。)(jGcc)(c一般最小相位系统的开环传递函数总可以表示为如一般最小相位系统的开环传递函数总可以表示为如下形式，即：下形式，即： 代入相位稳定裕量的计算公式，有：代入相位稳定裕量的计算公式，有：即系统可简化成由比例环节即系统可简

13、化成由比例环节K K、 个积分环节、个积分环节、 个惯性个惯性环节和环节和 个比例微分环节组成的，则其对应于个比例微分环节组成的，则其对应于c c 时时的相位的相位 为：为： vmn)(c式中，式中， 为惯性环节时间常数；为惯性环节时间常数； 为比例微分环节的为比例微分环节的时间常数。时间常数。 jTi由上式可见：由上式可见： 系统在前向通路中含有积分环节将使系统在前向通路中含有积分环节将使系统的稳定性严重变差；系统的稳定性严重变差； 系统含惯性环节也会使系统的稳定性系统含惯性环节也会使系统的稳定性变差，其惯性时间常数越大，这种影变差，其惯性时间常数越大，这种影响就越显著；响就越显著； 微分环

14、节则可改善系统的稳定性。微分环节则可改善系统的稳定性。 自动控制系统的稳定性分析举例 图为一典型二阶系统框图。在如图所示的系统框图中，T、K2、K3为系统固有参数，K1为比例调节器放大倍数，是可调的，下面来分析改变K1对系统稳定性的影响：以上分析表明：对二阶系统，加大增益，将使系统以上分析表明：对二阶系统，加大增益，将使系统稳定性变差。稳定性变差。 三阶系统的稳定性分析 下面就以三个惯性环节组成的系统为例来分析说下面就以三个惯性环节组成的系统为例来分析说明三阶系统的稳定性。此系统的开环传递函数为：明三阶系统的稳定性。此系统的开环传递函数为： 今设式中今设式中T T1 1 T T2 2T T3

15、3，由上式可画出此系统的对数频，由上式可画出此系统的对数频率特性率特性( (伯德图伯德图) )如图所示。如图所示。 当K=K1，增益较小, 附近 的斜率为-20dB/dec系统稳定，且稳定裕量较大，稳定性较好。c)(L当K=K2，增益较大, 附近 的斜率为-40dB/dec系统虽属稳定，但稳定裕量较小，相对稳定性变差。c)(L当K=K3，增益过大, 附近 的斜率为-60dB/dec由于 ，故系统已变的不稳定。c)(L0由以上分析可见，对三阶系统，加大增益，将使系统由以上分析可见，对三阶系统，加大增益，将使系统稳定性变差，甚至造成不稳定。由此，伯德提出：稳定性变差，甚至造成不稳定。由此，伯德提出

16、：为为了保证系统有足够的稳定裕量，在设计自动控制系统了保证系统有足够的稳定裕量，在设计自动控制系统时，要使时，要使 附近附近( (左、右各几个频程左、右各几个频程) ) 的斜率的斜率为为-20dB/dec-20dB/dec( (这又称伯德第一定理这又称伯德第一定理) )。 c)(L【例【例7-17-1】分析如图】分析如图7-117-11所示的随动系统的相位稳定所示的随动系统的相位稳定裕量。裕量。 图7-11 位置随动系统结构图 解解: :在已知随动系统的系统参数后，可通过计算得在已知随动系统的系统参数后，可通过计算得到该随动系统的开环传递函数：到该随动系统的开环传递函数： 由上式，可得：由上式

17、，可得： 于是，该系统的对数幅频特性如图于是，该系统的对数幅频特性如图5-125-12曲线曲线所所示：示： 由图解可得由图解可得 ( (可以证明，上图中可以证明，上图中 ) )利用相位稳定裕量的计算公式，可得：利用相位稳定裕量的计算公式，可得： 24c241Kc由以上分析可见，由于由以上分析可见，由于 ，显然，该系统不能稳，显然，该系统不能稳定运行。应用定运行。应用MATLABMATLAB软件进行系统仿真，即可得如图软件进行系统仿真，即可得如图7-13a7-13a所示的波形，系统为不稳定的发散状况。所示的波形，系统为不稳定的发散状况。0图图7-137-13（a a） 系统稳定性分析举例系统稳定

18、性分析举例 【例7-2】若将上题中的放大器的增益K2降为原先的1/4，即 =0.5，重解上题。 解:由K2=0.5有K=28.6，于是20lgK=20lg28.6=29.1dB同时由式可得：此时系统的对数幅频特性如图5-13曲线所示。sradKc/1258 .281同理由相位裕量计算公式，得：同理由相位裕量计算公式，得： 图7-13（b）系统稳定性分析举例此时，系统的相位裕此时，系统的相位裕量量 ，这样系，这样系统成为稳定系统。但统成为稳定系统。但是由于其稳定裕量并是由于其稳定裕量并不大，所以其稳定性不大，所以其稳定性能仍然不好。由图能仍然不好。由图7-7-13b13b可见，系统的最大可见，系

19、统的最大超调量高达超调量高达60%60%。 8 .15 延迟环节对系统稳定性的影响 延迟环节对系统稳定性的影响 延迟环节对系统稳定性的影响 延迟环节对系统稳定性的影响 延迟环节对系统稳定性的影响 延迟环节对系统稳定性的影响 延迟环节对系统稳定性的影响 延迟环节对系统稳定性的影响7.2 自动控制系统的稳态性能分析 稳态误差始终存在于系统的稳态工作状态之中。 系统稳态误差的概念暂态响应与稳态响应误差传递函数系统稳态误差与输入信号之间的关系自动控制系统中的典型输入信号稳态误差的求取系统型别与给定稳态误差之间的关系系统稳态误差的概念暂态响应与稳态响应 由由电路基础电路基础可知，当电路中存在储能元件时，

20、可知，当电路中存在储能元件时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时，将发生一个中间过程将发生一个中间过程过渡过程，而这一过程过渡过程，而这一过程的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一个与时间有关过程。个与时间有关过程。 引起过渡过程的原因有两个，即内因引起过渡过程的原因有两个，即内因电路中电路中必有储能元件。外因必有储能元件。外因电路的接通或断开，电电路的接通或断开，电源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素，源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素，这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素这些能

21、引起电路或系统发生过渡过程的外部因素统称为激励统称为激励。而过渡过程发生时所产生的、我们。而过渡过程发生时所产生的、我们关心的结果，如输出电压的变化，系统的运行等，关心的结果，如输出电压的变化，系统的运行等，我们则统称为电路对时间的响应。我们则统称为电路对时间的响应。)()()(tctctcsst其中： 为暂态响应， 为稳态响应)(tct)(tcss 由过渡过程分析中的三要素法可知，电路对由过渡过程分析中的三要素法可知，电路对时间响应常常分为两个部分：暂态响应和稳时间响应常常分为两个部分：暂态响应和稳态响应。线性电路的时间响应态响应。线性电路的时间响应 通常可以通常可以写成：写成：)(tc为了

22、更好地理解时域响应的概念，我们在这举一个为了更好地理解时域响应的概念，我们在这举一个简单的例子。如图所示为一个在简单的例子。如图所示为一个在电路基础电路基础中就中就学过的一阶学过的一阶RCRC电路，当电路中的开关电路，当电路中的开关S S闭合瞬间，由闭合瞬间，由电路中过渡过程的三要素法，我们知道该电路电容电路中过渡过程的三要素法，我们知道该电路电容上的电压随时间变化的表达式为：上的电压随时间变化的表达式为： RCtssRCtsceUUeUtu/)1 ()(当当tt时，由上式可以求出：时，由上式可以求出： sRCtsttcUeUtu)1 (lim)(/由此可见，随着时间的增加，该由此可见，随着时

23、间的增加，该电路中电容上的电压最终会等于电路中电容上的电压最终会等于UsUs，而其中与时间有关的，并随，而其中与时间有关的，并随时间按指数规律变化的那一部分时间按指数规律变化的那一部分量量 会最终消失掉。会最终消失掉。RCtseU/所以，在控制系统中，暂态响应定义为从所以，在控制系统中，暂态响应定义为从激励（输入激励（输入信号）产生开始信号）产生开始到时间趋于无穷时，输出趋近于零的到时间趋于无穷时，输出趋近于零的那一部分与时间有关的响应。而稳态响应则为暂态响那一部分与时间有关的响应。而稳态响应则为暂态响应消失之后余下的那一部分响应。应消失之后余下的那一部分响应。 RCtssRCtsceUUeU

24、u)1 (稳态响应稳态响应暂态响应暂态响应因此，所谓系统稳态性分析就是研究系统在暂态响应因此，所谓系统稳态性分析就是研究系统在暂态响应消失后，系统进入稳态响应时的系统特性。消失后，系统进入稳态响应时的系统特性。 在自动控制系统中对系统的稳态响应进行在自动控制系统中对系统的稳态响应进行研究是十分重要的，这是因为稳态响应的研究是十分重要的，这是因为稳态响应的结果表明了系统在经过一段时间的调整之结果表明了系统在经过一段时间的调整之后，系统输出会停在什么地方。如在数控后，系统输出会停在什么地方。如在数控机床的进刀定位系统中，当我们给进刀电机床的进刀定位系统中，当我们给进刀电机所加的期望进刀位置的参考输

25、入信号停机所加的期望进刀位置的参考输入信号停止之后（稳态响应），刀具实际所在的位止之后（稳态响应），刀具实际所在的位置和期望的进刀位置之间的差值说明了进置和期望的进刀位置之间的差值说明了进刀系统最后的稳态精度。通常，如果输出刀系统最后的稳态精度。通常，如果输出的稳态响应不能和期望值完全一致，则我的稳态响应不能和期望值完全一致，则我们就称系统有稳态误差。们就称系统有稳态误差。 从另方面来看，由于自动控制系统稳态误从另方面来看，由于自动控制系统稳态误差是指在给差是指在给稳定系统稳定系统加入期望的参考输入加入期望的参考输入后，经过足够长的过渡时间后（即其暂态后，经过足够长的过渡时间后（即其暂态响应已

26、经衰减到微不足道时），系统稳态响应已经衰减到微不足道时），系统稳态响应响应即系统最终所反映出来的实际结即系统最终所反映出来的实际结果（实际值）与期望参考输入值之间的差果（实际值）与期望参考输入值之间的差值。所以稳态误差又是一个与系统的某些值。所以稳态误差又是一个与系统的某些特定参考输入（期望值）相关的一个性能特定参考输入（期望值）相关的一个性能指标。指标。误差传递函数 如上所述自动控制系统的稳态误差是一个如上所述自动控制系统的稳态误差是一个与系统的某些特定参考输入（期望值）相与系统的某些特定参考输入（期望值）相关的性能指标，因此在如图所示的典型系关的性能指标，因此在如图所示的典型系统中统中,

27、,系统的稳态误差是由两部分特定信号系统的稳态误差是由两部分特定信号产生的。产生的。 一部分是参考输入信号所引起，它的大小一部分是参考输入信号所引起，它的大小反映了系统输出响应跟踪系统输入信号的反映了系统输出响应跟踪系统输入信号的能力；而另一部分是由扰动信号所引起的能力；而另一部分是由扰动信号所引起的响应，由于这一部分输出本身就是由我们响应，由于这一部分输出本身就是由我们所不希望出现的干扰信号所引起的，所以所不希望出现的干扰信号所引起的，所以它所产生的输出响应本身就是误差，它的它所产生的输出响应本身就是误差，它的大小反映了系统自身的自动调整能力以及大小反映了系统自身的自动调整能力以及抑制干扰的能

28、力。因此，在我们定义误差抑制干扰的能力。因此，在我们定义误差传递函数时就有了给定误差传递函数与扰传递函数时就有了给定误差传递函数与扰动误差传递函数之分。动误差传递函数之分。 给定误差的传递函数给定误差的传递函数 )(sr如图所示，当只考虑系统在给定的参考输入下的给定如图所示，当只考虑系统在给定的参考输入下的给定误差传递函数时，则其定义为误差传递函数时，则其定义为偏差信号的拉氏变换和偏差信号的拉氏变换和输入信号拉氏变换之比输入信号拉氏变换之比，即：，即：)()()(1)()()()()()()()()(sHsRsCsRsFsRsRsEssHsCsFrsr其中：又因为其中：又因为 )()()(1)

29、()()()()(2121sHsGsGsGsGssRsC所以代入给定误差传递函数表达式，并整理得：所以代入给定误差传递函数表达式，并整理得： )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsrsr由于由扰动输入由于由扰动输入 引起的系统输出本身就是引起的系统输出本身就是误差，所以当只考虑系统在扰动信号作用下的误误差，所以当只考虑系统在扰动信号作用下的误差（如图所示），有：差（如图所示），有： 扰动误差的传递函数扰动误差的传递函数 )(sd)(sD)()( sCsEn这样，扰动误差传递函数就定义为扰动偏差信号的这样，扰动误差传递函数就定义为扰动偏差信号的拉氏变换和扰动输入信号拉氏变换之比，

30、即：拉氏变换和扰动输入信号拉氏变换之比，即： )()()(1)()()()()()()(212sHsGsGsGsDsCssDsEssd其拉氏变换为其拉氏变换为 ，当，当 时，该阶跃信时，该阶跃信号称为单位阶跃信号。其信号波形如图所示。号称为单位阶跃信号。其信号波形如图所示。 自动控制系统中的典型输入信号 在自动控制系统中，对系统进行典型测试的输入在自动控制系统中，对系统进行典型测试的输入信号有三种，它们是：信号有三种，它们是：（1 1）阶跃信号）阶跃信号 000)(tattrsasR)(1a，当 由于阶跃信号反映了一个信号的幅值在某由于阶跃信号反映了一个信号的幅值在某一时刻的突然跃变，所以在一

31、般实际的系一时刻的突然跃变，所以在一般实际的系统测试中，系统对阶跃信号所产生的响应统测试中，系统对阶跃信号所产生的响应反映了系统在受到一个变化剧烈的外部作反映了系统在受到一个变化剧烈的外部作用时，系统所具有的性能特征。能用阶跃用时，系统所具有的性能特征。能用阶跃信号表征的系统外部作用：如电气网络中信号表征的系统外部作用：如电气网络中开关的闭合与断开；机械轴的突然起动以开关的闭合与断开；机械轴的突然起动以及加工过程中工件表面的凹凸不平等。及加工过程中工件表面的凹凸不平等。其拉氏变换为其拉氏变换为 ，当，当 时，该等速信号时，该等速信号称为单位等速信号，其信号波形如图所示。称为单位等速信号，其信号

32、波形如图所示。（2 2）等速信号（斜坡信号）等速信号（斜坡信号） 000)(tatttr2)(sasR1a由于等速信号反映了一个信号的幅值在开始出现后随由于等速信号反映了一个信号的幅值在开始出现后随时间作均速变化，所以在一般实际的系统测试中，系时间作均速变化，所以在一般实际的系统测试中，系统对等速信号所产生的响应反映了系统在受到一个持统对等速信号所产生的响应反映了系统在受到一个持续的外部作用时，系统所具有的性能特征。能用等速续的外部作用时，系统所具有的性能特征。能用等速信号表征的系统外部作用：如太阳能发电系统中，太信号表征的系统外部作用：如太阳能发电系统中，太阳能收集器随太阳的移动所作的相应变

33、化等。阳能收集器随太阳的移动所作的相应变化等。其拉氏变换为其拉氏变换为 ，当，当 时，该等加速时，该等加速信号称为单位等加速信号，其信号波形如图所示。信号称为单位等加速信号，其信号波形如图所示。 （3 3）等加速信号（抛物线信号）等加速信号（抛物线信号） 000)(2tatttr32)(sasR21a由于等加速信号反映了一个信号的幅值在开始出现后由于等加速信号反映了一个信号的幅值在开始出现后随时间作加速变化，所以在一般实际的系统测试中，随时间作加速变化，所以在一般实际的系统测试中，系统对等速信号所产生的响应反映了系统在受到一个系统对等速信号所产生的响应反映了系统在受到一个持续增加的外部作用时，

34、系统所具有的性能特征。能持续增加的外部作用时，系统所具有的性能特征。能用等速信号表征的系统外部作用：如汽车从静止状态用等速信号表征的系统外部作用：如汽车从静止状态开始起动，并在一定时间内加速到某一恒速的平稳运开始起动，并在一定时间内加速到某一恒速的平稳运行状态的这一过程中速度不断增加的变化。行状态的这一过程中速度不断增加的变化。 系统稳态误差的求取 当系统的输入只是某个单一的典型信号时，且只当系统的输入只是某个单一的典型信号时，且只需求得需求得 时的稳态误差的终值，而不必考虑时的稳态误差的终值，而不必考虑有关误差随时间的信息时，我们往往可以利用拉有关误差随时间的信息时，我们往往可以利用拉氏变换

35、的终值定理去计算给定系统的稳态误差，氏变换的终值定理去计算给定系统的稳态误差，即：即：其中：其中： 表示所要求取的系统稳态误差的终值；表示所要求取的系统稳态误差的终值； 表示系统稳态误差的拉氏式，则：表示系统稳态误差的拉氏式，则：)(lim)(lim0sEsteesssstsstsse)(sEs)()()()(11)()()(21sRsHsGsGsRssErr)(sessr（1 1）给定信号下系统的稳态误差）给定信号下系统的稳态误差因为：因为： )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsrr所以有：所以有： 利用拉氏变换的终值定理，可得给定信号下系统利用拉氏变换的终值定理，可得给定

36、信号下系统的稳态误差为：的稳态误差为： )()()()(11lim)(lim)(lim2100sRsHsGsGssEsteesrsssrtssr（2 2）扰动信号下系统的稳态误差）扰动信号下系统的稳态误差 )(sessd因为：因为： 所以有：所以有： 利用拉氏变换的终值定理，可得给定信号下系统利用拉氏变换的终值定理，可得给定信号下系统的稳态误差为：的稳态误差为： )()()(1)()()()(212sHsGsGsGsDsEsdd)()()()(1)()()()(212sDsHsGsGsGsRssEdd)()()()(1)(lim)(lim)(lim21200sDsHsGsGsGssEstees

37、dsssrtssr例：某控制系统如图所示，试求当输入信号为例：某控制系统如图所示，试求当输入信号为 时的，系统的稳态误差。时的，系统的稳态误差。 ttr10)(解：由系统框图，可知：解：由系统框图，可知： )() 1(1)()() 1()(sETsssCsRsKsRi由此可得系统的闭环传递函数为：由此可得系统的闭环传递函数为： 1) 1(1)()()(TsssKsRsCsi这一典型的二阶系统，由其特征方程可知此系统稳定。这一典型的二阶系统，由其特征方程可知此系统稳定。则由误差的定义，可求出系统的误差函数为：则由误差的定义，可求出系统的误差函数为： )(1)1()() 1(1)()()()(2s

38、RsTsKTsssRTsssKsRsCsRsEii当输入信号为当输入信号为 ，可由终值定理得：，可由终值定理得： 2/10)(ssRiissssKssTsKTsssssEe1101)1(lim)(lim2200系统型别与给定稳态误差之间的关系 根据跟踪典型输入信号的能力对系统进行分类是根据跟踪典型输入信号的能力对系统进行分类是一种更为便捷地计算系统稳态误差的方法。自动一种更为便捷地计算系统稳态误差的方法。自动控制系统的结构类型常按系统跟踪阶跃信号、斜控制系统的结构类型常按系统跟踪阶跃信号、斜坡信号和抛物线信号等输入信号的能力而分为坡信号和抛物线信号等输入信号的能力而分为0 0型、型、型和型和型

39、系统。型系统。若设某系统的开环传递函数可表示为：若设某系统的开环传递函数可表示为： )()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()()(2121mnsTsTsTssssKsHsGnvm则当则当 、 和和 时，就分别称自动控制系统时，就分别称自动控制系统为为0 0型、型、型和型和型。自动控制系统开环传递函数中型。自动控制系统开环传递函数中串联积分环节的个数也可以大于串联积分环节的个数也可以大于2 2，但是随着积分环，但是随着积分环节个数的增加，系统的稳定性将不能得到保证。因节个数的增加，系统的稳定性将不能得到保证。因此在实际应用中极少使作超过此在实际应用中极少使作超过型以上的系统。型以上

40、的系统。 0v1v2v（1 1）给定输入信号为单位阶跃信号时，有：）给定输入信号为单位阶跃信号时，有：)( 1)(ttr，其拉氏变换为，其拉氏变换为 ssR1)(这时给定稳态误差的终值为：这时给定稳态误差的终值为： psrsssrtssrKssGssEstee111)(11lim)(lim)(lim00式中式中 称为静态位置误差系数，且有：称为静态位置误差系数，且有： pK)(lim0sGKsp（2 2）给定输入信号为单位等速信号时，有：）给定输入信号为单位等速信号时，有：ttr)(，其拉氏变换为，其拉氏变换为 21)(ssR这时给定稳态误差的终值为：这时给定稳态误差的终值为： 式中式中 称为

41、静态速度误差系数，且有：称为静态速度误差系数，且有： vKvsrsssrtssrKssGssEstee11)(11lim)(lim)(lim200)(lim0ssGKsv（2 2）给定输入信号为单位加速信号时，有：）给定输入信号为单位加速信号时，有：221)(ttr，其拉氏变换为，其拉氏变换为 31)(ssR这时给定稳态误差的终值为：这时给定稳态误差的终值为： 式中式中 称为静态加速度误差系数，且有：称为静态加速度误差系数，且有： aKasrsssrtssrKssGssEstee11)(11lim)(lim)(lim300)(lim20sGsKsa对于不同结构类型的系统，当给定输入为不同形式时

42、，对于不同结构类型的系统，当给定输入为不同形式时，按照以上的式子可求得系统给定稳态误差的终值，如按照以上的式子可求得系统给定稳态误差的终值，如下表所示。下表所示。 0 0型、型、型和型和型系统的给定稳态误差的终值型系统的给定稳态误差的终值从表中可见，从表中可见，0 0型系统能够跟踪阶跃输入，但是存在型系统能够跟踪阶跃输入，但是存在一个为固定常值的稳态误差，但对斜坡和抛物线信号一个为固定常值的稳态误差，但对斜坡和抛物线信号来说，来说，0 0型系统基本没有跟踪能力；型系统基本没有跟踪能力；型系统跟踪阶型系统跟踪阶跃信号的能力很强，其稳态误差为跃信号的能力很强，其稳态误差为0 0，可以跟踪斜坡，可以

43、跟踪斜坡信号的输入，但也存在一个为固定常值的稳态误差，信号的输入，但也存在一个为固定常值的稳态误差，对抛物线信号来说，对抛物线信号来说，型系统基本没有跟踪能力；型系统基本没有跟踪能力；型跟踪阶跃和斜坡信号的能力很强，稳态误差为型跟踪阶跃和斜坡信号的能力很强，稳态误差为0 0其其很差，可以跟踪抛物线信号的输入，但也存在一个为很差，可以跟踪抛物线信号的输入，但也存在一个为固定常值。固定常值。 例：已知单位反馈系统的开环传递函数为：例：已知单位反馈系统的开环传递函数为： ) 1(5)()(sssHsG求：输入为求：输入为 和和 时，时，系统的给定稳态误差。系统的给定稳态误差。 ttr1 . 01)(

44、解：这是一个解：这是一个型系统，因此有：型系统，因此有：) 1(5lim)(lim00sssGKssp5) 1(5lim)(lim00sssssGKssv0) 1(5lim)(lim2020ssssGsKssa201. 01 . 01)(tttr所以：（所以：（1 1）当输入信号为）当输入信号为 时，系统时，系统的稳态误差为：的稳态误差为： ttr1 . 01)(02. 051 . 01111 . 011vpssrKKe （2 2）当输入信号为）当输入信号为 时，时，系统的稳态误差为：系统的稳态误差为： 201. 01 . 01)(tttr0101. 051 . 011101. 011 . 0

45、11pvpssrKKKe由系统的开环对数频率特性去分析系统的稳态性能 以开环频率特性分析闭环系统动、稳态性能的以开环频率特性分析闭环系统动、稳态性能的条条件件 对系统动态、稳态性能进行分析，最基本的途径对系统动态、稳态性能进行分析，最基本的途径是由系统的是由系统的闭环频率特性闭环频率特性去进行分析。有时由开去进行分析。有时由开环频率特性去进行分析可使分析过程简化，但以环频率特性去进行分析可使分析过程简化，但以系统开环频率特性去分析系统的动、稳态性能只系统开环频率特性去分析系统的动、稳态性能只适用于适用于单位负反馈系统单位负反馈系统。这是因为单位负反馈系。这是因为单位负反馈系统，其开、闭环传递函

46、数间存在着确定的对应关统，其开、闭环传递函数间存在着确定的对应关系：系： 这样开环传函这样开环传函 一经确定，其闭环传函一经确定，其闭环传函 也就惟一地被确定了。也就惟一地被确定了。 )(s)(1)()(sGsGs)(sG由开环对数频率特性分析系统的稳态性能 图图5 5- -1 17 7 的的低低频频段段特特性性a)a)0 0型型系系统统 b)b)型型系系统统 c)c)型型系系统统综综合合稳稳态态误误差差的的特特性，性，可可知知系系统统开开环环对对数数幅幅频频特特性性 低低频频段段曲曲线线的的斜斜率率愈愈陡，陡， 在在 处处的的高高度度愈愈高，高，则则系系统统的的稳稳态态误误差差将将愈愈小，小

47、，系系统统的的稳稳态态精精度度愈愈好。好。 自动控制系统稳态性能分析举例 随动系统的稳态性能分析 随动系统稳态性能的特点 随动系统的特点是给定量是在不断变化着的，输入信号可能是位置的突变(阶跃信号)，也可能是位置的不断的等速递增(等速信号)，甚至加速递增(等加速信号)。对随动系统来讲，主要是给定稳态误差 【例【例7-47-4】分析如图】分析如图7-127-12所示系统的稳态性能，其参所示系统的稳态性能，其参数为数为7-157-15中例中例7-27-2的参数，其开环传递函数为：的参数，其开环传递函数为： 求求: :该系统的位置跃变形成的稳态误差。该系统的位置跃变形成的稳态误差。 该系统的速度跟随

48、稳态误差。该系统的速度跟随稳态误差。 解：因为解：因为) 12 . 0)(101. 0(65.28lim)(lim00ssssGKssp6 .28) 12 . 0)(101. 0(6 .28lim)(lim00ssssssGKssv01111pssrKe所以，该系统的位置误差为：所以，该系统的位置误差为：当给定的最大跟踪速度为当给定的最大跟踪速度为200/s200/s时，该系统的速度时，该系统的速度跟随误差为：跟随误差为：799. 66 .282001200vssrKe（密位）（密位）自动调速(恒值控制)系统的稳态性能分析举例 自动调速系统稳态性能的特点自动调速系统稳态性能的特点 自动调速系统

49、是恒值控制系统，其给定量是恒自动调速系统是恒值控制系统，其给定量是恒定的定的( (确切地说，是预选的确切地说，是预选的) )，因此其给定量产生，因此其给定量产生的稳态误差，总是可以通过调节给定量来加以补的稳态误差，总是可以通过调节给定量来加以补偿的。所以，对自动调速系统来说，主要是扰动偿的。所以，对自动调速系统来说，主要是扰动量产生的稳态误差。这是因为扰动量是事先无法量产生的稳态误差。这是因为扰动量是事先无法确定的，并且是在不断地变化着的。确定的，并且是在不断地变化着的。对恒值控制系统来说，作用信号一般都以阶跃对恒值控制系统来说，作用信号一般都以阶跃信号为代表，这是因为从稳态来看，阶跃信号是信

50、号为代表，这是因为从稳态来看，阶跃信号是一个恒值的控制信号，从动态来看，阶跃信号是一个恒值的控制信号，从动态来看，阶跃信号是突变信号中最严重的一种输入信号。因此，对恒突变信号中最严重的一种输入信号。因此，对恒值控制系统，其扰动量一般以值控制系统，其扰动量一般以 为代表。为代表。 sDsD)( 自动调速系统的稳态误差自动调速系统的稳态误差( (扰动稳态误差扰动稳态误差) ) 要使自动调速系统实现无静差，则在扰动量作用要使自动调速系统实现无静差，则在扰动量作用点前的前向通路中应含有积分环节；要减小稳态点前的前向通路中应含有积分环节；要减小稳态误差，则应使作用点前的前向通路中增益误差，则应使作用点前

51、的前向通路中增益 适当大适当大一些。一些。 自动调速系统的静差率自动调速系统的静差率 s s 自动调速系统的稳态误差用转速降自动调速系统的稳态误差用转速降 来表示来表示( (即即 ) )。转速降。转速降 对额定转速的相对值称为对额定转速的相对值称为静差率静差率s s，而调速系统的静差率通常对最低额定转，而调速系统的静差率通常对最低额定转速而言，即速而言，即: : nnessrn%100minNNnns式中，式中， 为负载由空载到额定负载的转速降为负载由空载到额定负载的转速降( (它就是它就是负载阶跃扰动产生的稳态误差负载阶跃扰动产生的稳态误差) )； 为系统额定为系统额定最低转速。最低转速。

52、NnminNn【例【例7-67-6】在如图】在如图7-187-18所示的调速系统中，已知电网所示的调速系统中，已知电网电压波动电压波动( (扰动量扰动量) ) 求：求：求电网电压波动产生的转速降求电网电压波动产生的转速降 若系统的额定给定量若系统的额定给定量 V V，求此时系统，求此时系统的稳态输出的稳态输出 问此时相对的转速降问此时相对的转速降 为多少为多少? ?式式中中 为额定转速。为额定转速。 sU/20sU/10nNnNnn/Nn解：解：1）系统扰动误差传递函数为：）系统扰动误差传递函数为：66.16) 1005. 0)(102. 0)(11 . 0() 1005. 0(33. 8)(

53、)()(1)()()()(212sssssHsGsGsGsDsEsdd在电网扰动的作用下，系统所产生的转速降为：在电网扰动的作用下，系统所产生的转速降为：sradsssssssDsssEsesdsdsssr/43. 966.172033. 82066.16) 1005. 0( 102. 0)(11 . 0() 1005. 0(33. 8lim)()(lim)(lim0002 2）当系统的给定量为）当系统的给定量为 时，该调速系统的时，该调速系统的闭环传递函数为：闭环传递函数为：sU/1066.16) 1005. 0)(102. 0)(11 . 0(66.16)()()()(1)()()()()

54、()(321321ssssHsGsGsGsGsGsGsRsNs所以在给定输入电压下，系统所产生的给定转速为：所以在给定输入电压下，系统所产生的给定转速为：sradssssssRssnssN/94366.171016661066.16) 1005. 0( 102. 0)(11 . 0(1666lim)()(lim003 3）相对转速降）相对转速降%194343. 9Nnn因此在给定电压下，该调速系统受到电网波动影响因此在给定电压下，该调速系统受到电网波动影响时的稳态转速为：时的稳态转速为：sradnnnN/6 .93343. 99437.3 自动控制系统的动态性能分析 自动控制系统动态性能暂态响

55、应与稳态响应自动控制系统的动态性能指标的求取系统动态性能与开环频率特性之间的关系引言暂态响应与稳态响应 这一部分为上一节内容的回顾，在时域响应的稳这一部分为上一节内容的回顾，在时域响应的稳态性分析完成之后，来讨论自动控制系统的暂态态性分析完成之后，来讨论自动控制系统的暂态响应。因此在学习过程中希望同学们注意暂态研响应。因此在学习过程中希望同学们注意暂态研究与稳态研究在目的与方法上的不同。究与稳态研究在目的与方法上的不同。 所有稳定的实际控制系统在达到稳态之前都会显所有稳定的实际控制系统在达到稳态之前都会显示出一定程度的暂态现象。惯性、质量和感应在示出一定程度的暂态现象。惯性、质量和感应在物理系

56、统中都是无法避免的，因此一个典型控制物理系统中都是无法避免的，因此一个典型控制系统的响应是不能立即跟随输入的突然变化而变系统的响应是不能立即跟随输入的突然变化而变化的，这时正是我们能观察到暂态现象的原因之化的，这时正是我们能观察到暂态现象的原因之一。一。显然对系统暂态过程性能的分析，对自动控显然对系统暂态过程性能的分析，对自动控制系统的控制来说是非常重要的制系统的控制来说是非常重要的：这不仅仅因为：这不仅仅因为它是系统动态行为的重要组成部分，还在于在达它是系统动态行为的重要组成部分，还在于在达到稳态之前，输出响应必须得到很好的控制，以到稳态之前，输出响应必须得到很好的控制，以满足某此系统对快速

57、性及相对稳定性的要求。满足某此系统对快速性及相对稳定性的要求。自动控制系统的动态性能指标的求取 研究系统的动态特性，通常以二阶系统对单位阶跃信号的时域响为代表。这是由于二阶系统的阶跃响应比较典型，其数学分析也比较容易，而且许多高阶系统的过程常可以用二阶系统来近似处理。 典型二阶系统的阶跃响应曲线如图所示，在第一章中我们就已经了解了过系统的一此动态特性指标了。在此我们再次进行回顾，并讨论如何来进行求取。（1 1）最大超调量）最大超调量最大超调量是指系统单位响应曲线中最大峰值最大超调量是指系统单位响应曲线中最大峰值 和和 的最大偏差与终值的最大偏差与终值 的比值，由于此值一般的比值，由于此值一般以

58、百分比的形式出现，所以又称之为最大百分比超调以百分比的形式出现，所以又称之为最大百分比超调量。其定义式为：量。其定义式为： )(ptc)(c)(c%100)()()(cctcp在典型二阶系统中，与系统参数之间的关系式为：在典型二阶系统中，与系统参数之间的关系式为：21 e最大超调量反了系统的动态精度，最大超调量越小，最大超调量反了系统的动态精度，最大超调量越小，则说明系统过渡过程进行的越平稳。则说明系统过渡过程进行的越平稳。 （2 2）峰值时间）峰值时间 pt峰值时间是指系统响应曲线达到第一个峰值时所需峰值时间是指系统响应曲线达到第一个峰值时所需的时间。在典型二阶系统中，它与二阶系统参数之的时

59、间。在典型二阶系统中，它与二阶系统参数之间的关系是：间的关系是：21npt峰值时间反映了系统响应的快速性。峰值时间越小，峰值时间反映了系统响应的快速性。峰值时间越小，则系统对输入激励的响应越快。系统的灵敏性也就越则系统对输入激励的响应越快。系统的灵敏性也就越好。好。调整时间是指响应进入并一直保持在终值的调整时间是指响应进入并一直保持在终值的 或或 （允许误差带）内所需的最短时间。在典型（允许误差带）内所需的最短时间。在典型二阶系统中，它与二阶系统参数之间的近似关系是：二阶系统中，它与二阶系统参数之间的近似关系是：（3 3）调整时间）调整时间 st%2%5nsnstt4%23%5，当，当调整时间

60、反映了系统的快速性。调整时间越小，系调整时间反映了系统的快速性。调整时间越小，系统的快速性也就越好。统的快速性也就越好。 （4 4）振荡次数）振荡次数 N振荡次数是指在调整时间内，输出量在稳态值附振荡次数是指在调整时间内，输出量在稳态值附近上下摆动的次数。在典型二阶系统中，它与二近上下摆动的次数。在典型二阶系统中，它与二阶系统参数之间的近似关系是：阶系统参数之间的近似关系是：ln1)2(5 . 1或N振荡次数越少，表明系统的相对稳定性越好。振荡次数越少，表明系统的相对稳定性越好。 例：设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示。试确定该系统的闭环传递函数。 解：由系统的响应曲线可知，在单位阶跃作

61、用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3，故此二阶系统的系统模型可表式为：22223)(nnnsss由图有： %33334)()()(cctcp1 . 0pt故由公式：故由公式： %3321/e1 . 012npt可以求出：可以求出： 33. 02 .33n即该系统的闭环传递函数为：即该系统的闭环传递函数为： 24.11029 .2172.3306)(2sss例：设控制系统如图所示。如果要求系统的超调量等例：设控制系统如图所示。如果要求系统的超调量等于于 ，峰值时间等于，峰值时间等于0.80.8s s，试确定增益，试确定增益K K1 1和速度反和速度反馈系数馈系数K Kt t 。 %

62、15解：由于此闭环系统的特解：由于此闭环系统的特征方程为：征方程为：0)1 (112KsKKst将它与典型二阶系统的特征方程进行比较，可得：将它与典型二阶系统的特征方程进行比较，可得： 21nKnnttK212由已知条件：由已知条件： 1588. 4517. 0snt于是有：于是有： 05.211K178. 0211KKntt系统动态性能与开环频率特性间的关系 系统的动态性能指标与开环频率特性的指标存在系统的动态性能指标与开环频率特性的指标存在着确定的对应关系，这种关系是：着确定的对应关系，这种关系是： 相位稳定裕量愈大，则系统的最大超调量将愈小，相位稳定裕量愈大，则系统的最大超调量将愈小，振荡次数也较少。振荡次数也较少。 穿越频率愈大，则系统的调整时间也愈短。穿越频率愈大，则系统的调整时间也愈短。 由以上结论可知：系统开环频率特性由以上结论可知：系统开环频率特性中频段中频段的主的主要参数要参数( (相位裕量相位裕量 、穿越频率、穿越频率 ) )与动态时域指标与动态时域指标中的超调量和调整时间之间存在着确定的对应关中的超调量和调整时间之间存在着确定的对应关系。因此系统的开环对数幅频特性的中频段，表系。因此系统的开环对数幅频特性的中频段，表征着系统的动态性能。这恰与的低频段表征着系征着系统的动态性能。这恰与的低频段表征着系统的稳态性能相互映衬的。统的稳态性能相互映衬的。