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1、数列与数学归纳法一、基础练习 1用数学归纳法证明第一步应验证( )A =1B =2C =3D =42观察下列式子 则可归纳出_ 3.已知数列满足，求的值及猜想，并证明4已知=,=,求的值及猜想，并证明5用数学归纳法证明+能被13整除，其中 6.在数列中，当时，成等比数列 (1)求，并推出的表达式；(2)求数列所有项的和 (3)用数学归纳法证明所得的结论；7.已知数列中，且满足，求，数学归纳法8.数列中，并用数学归纳法9.数列中，求证：10.证明=对一切自然数都成立，数学归纳法11若为大于1的自然数，求证 数学归纳法证明12.（09山东）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)
2、的图像上.（1）求的值； （11）当时，记 证明：对任意的 ，不等式成立 数学归纳法证明13在数列中，其中（1）求证：数列为等差数列（2）求证：14.已知数列的前项和（为正整数）（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，比较与大小， 数学归纳法证明15.已知在数列中，前项和（1）求，求的取值范围（2）证明：16在数列中，（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和17.已知（为常数，且）设是首项为4，公差为2的等差数列. （）求证：数列是等比数列；（）若，且数列的前项和，当时，求；（）若，问是否存在，使得中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
3、18.已知函数的图象按向量平移后便得到函数的图象，数列满足（）（）若，数列满足，求证：数列是等差数列；（）若，数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；（）若，试证明：项与最小项，并说明理由.19.在数列中，是函数的一个极值点（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，当时，数列的前项和2008的的最小值； 20.正项数列满足，其中是数列的前项和（）求通项（）记数列的前项和为，若对所有的都成立求证：21. 数列中，（)，且成公比不等于1的等比数列() 求的值；() 设=，求数列的前项和 22. 已知数列的前项和和通项满足（是常数且）（1）求数列的
4、通项公式；(2) 当时，试证明；23. 数列的前项和记为，（I）求的通项公式;（II）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求24.已知数列的前项为和，点在直线上.数列满足，前9项和为153.（）求数列的通项公式；（）设，数列的前和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值. 25. 在等差数列中，公差，且，（1）求的值（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得 ， ，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由26. 设正项数列的前项和为为非零常数。已知对任意正整数当时，总成立，求证数列是等比数列；27. 已知函数满足，对恒成立，在数列中，对任意，（1）求函数解析式；（2
5、）求数列的通项公式；（3）若对任意实数,总存在自然数当时,恒成立，求的最小值28. 设数列的前项和为，其中，为常数，且、成等差数列（）求的通项公式；（）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由29. 已知函数，数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，且过点的切线的斜率为 （）求数列的通项公式； （）若，求数列的前项和为； （）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式30. 设数列的前项和为，已知（）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（），求和；（）是否存在自然数，使得? 若存在，求的值；若不存在，说明理由.31. 在等比数列
6、中，公比，且，又与的等比中项为，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求数列的通项公式（3）当最大时，求的值.32. 已知二次函数同时满足：不等式0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立，设数列的前项和（1）求函数的表达式；(2) 设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数；（3）设数列满足：，试探究数列是否存在最小值？若存在，求出该项，若不存在，说明理由34已知分别以和为公差的等差数列和满足，（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，的前项和满足，求数列和的通项公式35. 无穷数列满足：，,（1）求证：；（2）求证：36首项为正数的数列满足()证明：若 为奇数，则对一切 ，都是奇数；()若对一切，都有，求的取值范围37. 已知数列 ，满足，数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）求证：当时，38. 二次函数满足条件：的两个零点；（I）求函数的解析式；（II）设数列；（III）在（II）的条件下，当的等差中项，试问数列中第几项的值最小？并求出这个最小值 第11页 共11页
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