毕业设计（论文）菲涅耳公式的研究与应用

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1、毕业设计(论文)题目 菲涅耳公式的研究与应用 学院 专业班级 E 学生姓名 E指导教师 成绩 2012年 5日毕业设计（论文）摘 要光从一种介质进入另一种介质时，会在两介质的界面发生折射和反射现象，且其振幅和位相会发生变化。菲涅耳公式能完美地解释光在两种均匀透明介质的界面反射和折射时，振幅、位相、偏振态、光能量的变化规律。本文先介绍了人们对光的本质的认识历程，菲涅耳对光学发展的巨大贡献，之后利用麦克斯韦的电磁理论的边值关系导出菲涅耳公式，很好地去诠释光的电磁本性。介绍电矢量的矢量分解以及分矢量的正向规定和振动特性，详细地讨论分析了该公式的变化规律，另附图加以说明以增强直观性，并运用其解释如半波

2、损失、反射起偏、全反射等光学现象。最后就其在光学领域特别是在光的偏振、薄膜光学、电子信息光学的广泛应用作了详尽的探讨。关键词：菲涅耳公式；位相；偏振；振幅；应用Abstract Light from one medium into another medium, the refraction and reflection phenomena in the interface of two media, and its amplitude and phase changes. Fresnel formula can perfectly explain the variation of the l

3、ight in the two kinds of uniform and transparent media interface reflection and refraction, amplitude, phase, polarization state, light energy. This article first describes the course of peoples understanding of the nature of light, and the tremendous contribution of the Fresnel optical development

4、and use of Maxwells electromagnetic theory of boundary value relations export Fresnel formula to the interpretation of the electromagnetic nature of light. And the electric vector of the vector decomposition and sub-vector-forward provisions and vibration characteristics, detailed discussion and ana

5、lysis of the variation of the formula of the other drawings to illustrate to enhance intuitive, and the use to explain, such as half-wave loss, cloth Confucian Manchester law, total internal reflection, optical phenomena. Finally, in the field of optics in particular, is widely used in the polarizat

6、ion of light, thin film optics, electronics and information optics, made a detailed discussion and research.Key words: Fresnel formula；Phase;polarization;Amplitude; Application目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 菲涅耳公式21.1 菲涅耳的贡献21.2 菲涅耳公式的推导31.2.1 光的菲涅耳公式41.2.2 光的菲涅耳公式5第2章 菲涅耳公式的讨论62.1 振幅的变化规律62.2 位相的变化规律72.3 偏振

7、度和布儒斯特定律82.4 反射率和透射率102.4.1 理论分析102.4.2 实验探究122.5 全反射13第3章 菲涅耳公式的应用153.1 在干涉中的应用153.2 在光的偏振中的应用153.3 在薄膜光学中的应用163.3.1 单层膜173.3.2 双层膜203.4 在光信息传播中的应用223.4.1 棱镜223.4.2 光学纤维23结论24参考文献25致谢2627绪 论如同其他的科学，光学的发展十分曲折，在17世纪以前，光学几乎没有发展。开普勒、斯涅耳、费马等为光学的发展做出了巨大贡献。牛顿和惠更斯的工作使光学进入一个进步的发展道路。而微粒说在解释衍射现象时遇到困难。惠更斯从光和声的

8、一些现象相似出发，认为光是在以太中传播的波。然而当时人们并没有认清楚光的本质。菲涅耳等人在惠更斯的理论基础提出光的弹性波动理论，菲涅耳为了解释光在两种介质表面反射时，振幅、位相、偏振态的变化导出了菲涅耳公式。在现代光学中尤其是在信息光学中人们对光的了解不再局限于光强，而是光包含的所有信息如位相、偏振态，但是光在传播过程中这些信息会发生变化，尤其是光从一种介质进入另一种介质，原始信息会发生巨大的变化，而菲涅耳公式能给出光的变化规律。因此应用菲涅耳公式不单可以还原光的原始信息，而且可以得到想要的光。例如产生一束线偏振光或者圆偏振光。菲涅耳公式被广泛应用到大气光学、海洋光学、激光技术、光纤通讯。人们

9、现在已经认识到光是一种特殊频率段的电磁波，要真正了解菲涅耳公式就必须先了解电磁理论。应用麦克斯韦电磁理论的边值条件可以推导出菲涅耳公式。如此对光的本质有一个全面深刻的理解。光在反射时会发生一些特殊现象，如全反射，自然光的起偏，半波损失。菲涅耳公式完美地解释了产生这些现象的原因。作为波动光学中的一个基础公式，认真学习、分析菲涅耳公式是很有必要的。菲涅耳公式有很大的使用局限性，其使用条件要求两介质必须是均匀的透明的介质。对于不均匀介质如晶体、不透明介质如金属菲涅耳公式不再适用。但是现在科技技术有要求菲涅耳公式有更广的应用范围，为此要对菲涅耳公式进行修正，以满足科技发展，目前有很多专家致力于此。第1

10、章 菲涅耳公式1.1 菲涅耳的贡献光学是在17世纪才真正开始发展的，当时人们对光的本质有两个认识，一个是以牛顿为代表的“微粒说”，一个是以惠更斯为代表的“波动说”。由于牛顿的权威性，一直到18世纪，科学家们普遍支持“微粒说”。19世纪由于托马斯杨和菲涅耳的工作，波动光学得到长足发展，人们开始初步认识光的本质。麦克斯韦的电磁理论指出光是电磁波中的一种。1905年爱因斯坦提出光量子理论，认为光同时具有微粒和波动两种属性。现在人们还在不断探索去彻底认识光的本质。菲涅耳（A.J.Fresnel）是法国的著名物理学家和数学家,主要贡献是对光的本质的研究，并设计做了一些关于光的干涉、衍射和偏振等实验。他和

11、杨氏的工作使光的波动说得以复兴和完善。为了纪念他对波动光学的巨大贡献，现在很多光学概念以菲涅耳命名。杨氏第一次成功测定了光的波长，菲涅耳利用波的叠加原理补充了惠更斯原理，形成惠更斯菲涅耳原理（从同一波阵面上各点发出的子波，同时传到空间某点时，可以相互叠加产生干涉现象）1。该原理能分析、处理菲涅耳衍射问题，夫琅和费衍射问题，定性地说明光的衍射规律，正确地计算出衍射条纹及其强度分布，也能解释光的直线传播现象。这是波动光学的一个重要原理。菲涅耳建立了波带作图法形式的衍射理论，特殊的定积分“菲涅耳积分”，用半波带方法计算了一些障碍物产生的衍射花纹，并和实验符合得很好。例如，泊松亮斑。泊松亮斑和杨氏双缝

12、干涉有力地证明光是一种波，使光的微粒论开始崩溃，人们开始普遍接受光的波动说。在研究光在两种介质表面反射时的偏振现象时，杨氏提出了光波和弦中传播的波相仿的假设，认为光波是横波。菲涅耳接受了这个假说，认为光是在以太中传播的机械波，而以太是一种密度极小的弹性介质，并且具有其他很多性质2。菲涅耳给出了一些晶体光学现象的数学解释，引入了晶体里传播的两个波面，即球面与扁球面概念，并指出它们是各向异性的。他还引入了正的晶体和负的晶体概念，同时强调必须在各种不同的情况下建立晶体内部的光程。成功地解释了光的干涉、衍射和偏振现象，并导出了菲涅耳公式3。但随着科学的发展以太论陷入危机。菲涅耳建立在以太的种种假设上的

13、理论摇摇欲坠。但是菲涅耳的研究使停滞百年之久的光学改变了面貌，光学的方法论基础彻底发生了变化，他的学术思想和创造具有革命特色。因此菲涅耳被人誉为“19世纪最伟大的科学家”、“波动光学的奠基者”、“物理光学的缔造者”和“物理光学之父”。1.2 菲涅耳公式的推导 麦克斯韦的电磁理论指出光是一种电磁波。由麦克斯韦方程组提供的边值关系可知，任何波动在不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的4。 一般情况下的电磁场的边值关系 (1-1)式中和是面自由电荷、电流密度。在绝缘介质界面上，。在讨论时谐电磁波（单色波）时，介质表面的边值关系只需考虑以下两式 （1-2）假设

14、入射波为单色平面波其波函数为 （1-3）自介质1射向介质1、2的的界面（设界面是无穷大平面），分成一个反射波和一个折射波，且反射波和折射波也是平面波，它们的波函数为5 （1-4） （1-5） 由斯涅耳定律可知入射波、反射波和折射波的频率相同。但是斯涅耳定律只给出了反射波，折射波和入射波传播方向间的关系，而菲涅耳公式则描述了反射波，折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系。本文只推导反射波，折射波和入射波电场的菲涅耳公式。可将电矢量分解为一对正交的电场分量（，），一个振动方向垂直于入射面（与界面法线构成的平面）的振动和一个振动方向平行于入射面的振动，然后分别讨论，之后利用叠加原理求出反射波和折射

15、波。这是因为光波在界面反射和折射过程中，振动和振动是两个特征振动，即振动和振动之间互不交混，彼此独立，有各自的的传播特性，可由（1-2）式证明6。与联系的光波被称为光；与联系的光波被称为光。因为要讨论反射波和折射波的位相，必须先规定两个振动的正向和负向。现在一般约定振动以垂直纸面，向外为正；而振动的正向满足。当然振动和振动正向的选择也可以是与此相反，这并不影响结果的普遍性。 2 2 图1-1 电矢量的分解 图 1-2 振动和振动的正向1.2.1 光的菲涅耳公式当入射波电场只有振动时，反射波和折射波也只有振动，且三者方向一致，根据（1-2）式，有 （1-6） （1-7） 在非磁性各向同性介质中和

16、的数值关系满足 （1-8） 且和正交，则由（1-7）（1-8）式可得 （1-9） 再联立（1-6）（1-9），可得电场的光的反射波和入射波振幅比，反射系数以及折射波和入射波振幅比，透射系数： （1-10） 将斯涅耳定律代入上式有 （1-11）1.2.2 光的菲涅耳公式光的菲涅耳公式的推导与光的菲涅耳公式的推导完全一样。只是要注意光的正向规定。可得光的反射系数和透射系数： （1-12）代入斯涅耳定律有 （1-13）把（1-11）和（1-13）称为菲涅耳公式。第2章 菲涅耳公式的讨论 利用菲涅耳公式可以具体讨论反射波和折射波的振幅、位相、偏振和光强度等性质。一般分成两种情形，光疏介质入射到光密介质

17、的情形以及光密介质入射到光疏介质的情形。 光疏介质入射到光密介质时可设，(因为空气的折射率为1，玻璃的折射率为1.5)，利用菲涅耳公式可画出、和随入射角的变化曲线如图2-1（a）。而光密介质入射到光疏介质，这时可假设，同样利用菲涅耳公式可画出、和随入射角的变化曲线如图2-1（b）。 （a）， （b），图 2-1 、和随的变化曲线 2.1 振幅的变化规律 根据前文的定义可知，反射系数和透射系数的绝对值表示反射波和折射波相对入射波的振幅之比。由图2-1（a）可以看出折射波的振幅随着入射角的增大而减小。当时，表明掠入射时，不会发生折射现象，这与我们观察到的现象相符。反射时，光的振幅随着的增大而单调递

18、增到1。波的振幅先是随着的增大而减小；时，振幅为零；时，随着的增大而单调递增到1。正入射是一种特殊情况，菲涅耳公式简化为 （2-1） 的情况分析方法同的情况一样，就不再赘述。2.2 位相的变化规律反射系数和透射系数的的符号表示反射波、折射波和入射波的位相关系。的情况。对于折射波，和始终大于零，说明折射波和入射波位相相同。始终为负，这说明反射波的电场的振动和入射波的电场的振动的方向相反，即在界面处对于光反射波相对入射波总有的位相的跃变。时，；时，同理存在的位相的跃变。但是振动不像振动那么简单只有两个方向，大多是情况下反射波和入射波的振动方向不平行，也就不能由的位相的跃变说明它们的振动同向或异向。

19、分析菲涅耳公式可知仅在正入射（）和掠入射（）时反射波和入射波的振动方向完全相反7。在利用之前提到的矢量叠加原理，将振动和振动又重新合成为电矢量，这时会发现入射光的电矢量和反射光的电矢量的振动方向相反。8这样可以得出：平面波在正入射或掠入射下从光疏介质和光密介质的界面反射时，反射光的振动相对于入射光的振动发生了的位相的跃变。这种现象被称为半波损失。在应用半波损失时，一般并不会严格要求和，近似相等对结果几乎没有影响。半波损失对讨论光的干涉现象极为重要。 （a） （b） 图2-2 时不同入射角下平面波电矢量取向的变化 接下来分析的情形。由斯涅耳定律可知当时，对应的入射角有这时把称作全反射临界角，用表

20、示。 在时，和的符号与的情况正好相反，这说明振动不再存在的位相的跃变，振动的情况前面已有讨论，尽管有，似乎发生了的位相的跃变，但实际上入射光和反射光的电场的振动基本同向。即说明当光从光密介质入射到光密介质在两个介质的界面是不会发生半波损失的2。这是一个重要的结论。 （a） （b）图2-3 时不同入射角下平面波电矢量取向的变化2.3 偏振度和布儒斯特定律 按照菲涅耳公式反射光的光和光的振幅比和强度比会随着入射角变化。而且在一般情况下，存在一个占优势的方向，即反射光是部分偏振光。反射光的偏振度可表示为自然光，利用菲涅耳公式，可得出反射光的偏振度9 （2-2） 当时，分析式（2-2）会发现，在一般情

21、况下发射光是部分偏振光，偏振度在0到1之间变化，图2-4绘出了反射光的偏振度随入射角的变化曲线。当入射角和图2-4 偏振度随入射角的变化时反射光的偏振度为1。而时，即反射光中只存在振动了。如果入射光是自然光时，反射光由自然光将变成线偏振光了。我们把这个结论称为布儒斯特定律，称为布儒斯特角，由菲涅耳公式可知满足时，再应用斯涅耳定律可得 （2-3）上式被称为布儒斯特公式，可用来求介质的折射率或入射角。当自然光以其他的角度入射到界面时，是不相同的，反射光是部分偏振光。但无论以什么角度入射和始终大于零，即折射光不会发生全偏振现象10。 图2-5反射产生的偏振 在的情形，当时，这说明布儒斯特定律仍然成立

22、，也就是说无论是还是，布儒斯特定律总是成立的。且可以证明：在折射率为介质1中放置一个折射率为的平行平板介质2，平面波以布儒斯特角入射到平行平板表面，折射光波在平板的下表面的入射角也是布儒斯特角11。这个原理在光学上有着广泛的应用下面做一个简单的实验来验证布儒斯特定律。 取两块同材质的玻璃板，其折射率为，前表面是平面，后边面磨毛并涂黑。如图2-4摆设实验装置，可先令折射表面平行自然光约以的角度（因为玻璃的折射率约为 （a）和的入射面平行 （ b） 和的入射面垂直图 2-6 实验示意图1.5，布儒斯特角约为）入射到板上，在此表面分成折射光和反射光。反射光入射到板上的前表面沿方向射出。以为轴旋转板，

23、观测出射光的强度。发现当和的入射面平行时，由板反射出去的光强最大；当和的入射面垂直时，则出射光强度为零。应用菲涅耳公式来分析具体原理。以布儒斯特角入射的自然光，在板反射后，反射光只有振动，即与入射面垂直的线偏振光。当反射光入射到板后，入射面会随着板空间方位的变化而变化。当两玻璃板的入射面平行时，反射光依然只有振动，即与入射面垂直，与在板反射的反射一样，有最大光强度。当两玻璃板的入射面垂直时，入射到板的线偏振光，变成只有振动了，反射光也就不存在振动了，故反射光强度为零。具体的运用数据计算出射光的强度的方法，先应用菲涅耳公式计算出经板反射后的线偏振光的强度，再应用矢量叠加原理，将线偏振光表示为光矢

24、量分别沿轴和轴的两个线偏振光的叠加，之后再次运用菲涅耳公式就可以计算出经板反射后反射光的强度了。计算过程比较繁琐。2.4 反射率和透射率 在光的应用中人们考虑最多的是光强的调节，当认识到光是一种波时，人们就认识到光强度与其振幅有着直接的关系。光在不同的介质表面反射时，反射光强度会有有很大的差别。有时会发现以一定角度看玻璃或水时它们是透明的，但当角度很大时会发现它们变得不再透明了。介质的透明度是不可能随着人的观察角度改变而变化的，下面来讨论其具体原理。2.4.1 理论分析 由菲涅耳公式可以得到反射波、折射波和入射波的能量关系。平面波的光强度，表示单位时间内通过垂直与传播方向的单位面积的能量。表示

25、单位时间内入射道界面单位面积的能量10。平面光入射到界面则有而在界面的反射能量、折射能量与入射能量之比为 （2-4） （2-5)我们前面已经假设了，和分别被称作反射率和透射率。且 （2-6）这是由能量守恒定律决定的。将菲涅耳公式代入式（2-4）和式（2-5）可得光的的反射率和透射率的表达式 （2-7） （2-8）以及光的反射率和透射率的表达式 （2-9） （2-10）同理根据能量守恒定律有 ， （2-11）通常情况下，入射光是自然光，依然可以把自然光分成光和光，且它们的能量相等，都为自然光的二分之一，即则，自然光的反射率为将式（2-10）和式（2-11）代入上式，则可以得到自然光反射率随入射角

26、的关系 （2-12）可以绘出光在空气和玻璃界面反射时，、随入射角变化的关系曲线如图2-6所示，假设，。正入射时 （2-13）这时，即有的光能在界面上反射了。2.4.2 实验探究为了检验自然光在玻璃表面的反射率，特设计了一个小实验。实验仪器主要有：半圆玻璃砖1块，激光器1台，测角仪1座，测光表1块，暗箱1个。其中测角仪为学生型分光计。玻璃的折射率为1.5。如图2-5摆设实验装置。选择半圆玻璃砖是因为当光从玻璃砖的直边入射时，可以避免光在玻璃砖内多次反射，产生一系列平行出射光，从而影响测量结果。激光器暗箱测光表玻璃砖分光计 图2-7 实验示意图 图 2-8 、随的变化1. 实验步骤：（1）调节激光

27、器，使激光通过分光计度盘和半圆玻璃砖的圆心。先粗略调节使激光大致通过度盘和玻璃砖的直径，激光垂直照在玻璃砖的弧边观测反射光是否与入射光重合，如不重合细微调节玻璃砖的位置，直到反射光与入射光重合；再让激光照在玻璃砖的直边，缓缓转动度盘会发现有两束反射光，一束较亮且随着度盘的转动而较大幅度的转动，另一束较暗且随读盘转动的范围很小，这时微调激光的位置，同时缓缓转动度盘，观察较暗光束的位置变化，直到该光束位置不再随度盘的转动而改变，且与入射光重合，最后重复上述步骤达到入射光平行入射且通过分光计度盘玻璃砖和玻璃砖的圆心。（2）调节暗箱小孔的高度，让反射光准确射入小孔，并垂直照在暗箱中的测光表的测量屏上。

28、（3）改变入射角记录入射角和反射光强。（4）重复试验记录多组数据，（5）计算实验数据并进行分析。2. 实验测得激光器的出射光照度为1040lx。具体实验数据见表1-1。表1-1实验数据游标盘读数（）入射角（）反射光照度（lx）-31.2330.3532.1240.5257.7176.56155.23367.62游标盘读数（）入射角（）反射光照度（lx）-33.1533.3532.8241.1455.4573.46152.35359.48游标盘读数（）入射角（）反射光照度（lx）-31.1731.2533.1242.5257.2173.36157.43357.82 3. 将计算结果与理论值绘制曲

29、线图，见图2-9。 . 图2-9理论值与实验值的对比 4. 其中表示的是理论值，表示的是实验值。可以看出测量值总是小于理论值，分析原因有：（1）玻璃的折射率不是很精准，（2）玻璃的均匀性不是很好，反射光有一定的发散，（3）测光表是用来测光照度的与测光强度有些出入。但是实验结果还是与理论值相符的很好，如果改进实验装置，实验结果应更加理想。2.5 全反射前文已经提到当入射角时，折射角。而在时，由斯涅耳定律可解得，即在实数范围内无解。这时可应用复数的知识来讨论反射波和折射波的性质。 恒有，由斯涅耳定律有 （2-14） （2-15） 其中是一个实数 则利用（27）式可以得到复数形式的菲涅耳公式 （2-

30、16） （2-17）反射系数的模值和表示的是反射波和入射波的实振幅之比，位相和表示反射时位相的跃变。式（2-16）和（2-17）的分子和分母是一对共轭复数，其模值相等，即，则反射率。这表明光能全部反射会介质1中，不存在折射波，这个现象被称作全反射12。由于全反射不存在光能的损失，故在光的信息传播中有着重要的应用。由式（2-16）和式（2-17）可得 （2-18） （2-19）分析上两式会发现反射光的光和光的位相变化不同，它们的相位差取决于入射角和两介质的相对折射率，由下式决定 （2-20）因此在一定的情况下，控制入射角的变化，就可以改变，也就改变了反射角的偏振态。如果入射光是线偏振光，利用此原

31、理可以得到椭圆偏振光，当光和光的位相差为时，出射光就是圆偏振光了13。第3章 菲涅耳公式的应用在前面已经讨论了菲涅耳公式以及应用菲涅耳公式解释一些光学现象，下面将讨论菲涅耳公式的具体应用。3.1 在干涉中的应用劳埃德镜是一种十分简单的干涉装置，如图3-1所示，是点光源，发出的光以很大的入射角（接近）入射到下表面涂黑的平玻璃板上，即光只在上表面反射，反射光和直接从发出的光发生干涉，在观察屏上能看见干涉条纹。按照光程分析在，应该观察到亮纹，但实际上此处是暗纹。而且，原来应该是亮纹的地方全部变成了暗纹，这说明有半个波长的光程误差11。但是再仔细分析原来光在玻璃板反射时产生了半波损失。这是近掠入射的情

32、况，维纳驻波实验则证明在正入射时也存在半波损失。在劈尖干涉和牛顿环干涉中，应用半波损失理论才能正确分析干涉图样。而劈尖干涉和牛顿环在日常生产中被应用来检测精密零件的表面质量，表面粗糙度，以及测量微小的角度、长度的变化。图3-1劳埃德镜的光程分析 3.2 在光的偏振中的应用前面已经讨论过，当自然光以布儒斯特角入射到介质表面时，反射光是振动方向与入射面垂直的线偏振光。利用这个原理可以产生线偏振光。而反射镜可以作为线起偏器，因为这种元件的出射光实际上是反射光，所以被称作反射式起偏器。应用菲涅耳公式分析可知反射光束只有振动，那么反射光的偏振度为1。但是正因为反射光只有光波，即反射的光能只有入射光能的很

33、小的一部分；折射光含有全部的光波和部分光波，带走了大量的光能。如果要得到光强足够强的线偏振光，对入射的自然光光强的要求很大。如果（从空气入射到玻璃的情景）光能利用率大约为15%。这是反射式起偏器的一个不足之处。但反射式起偏器还有很多优点，如前面提到的偏振度为1，另外还有它适用的光谱范围很宽，针对不同频率的人射光，略微改变入射角，还是能应用反射式起偏器的14。还有它装置简单、成本低廉。针对反射式起偏器的光能利用率低的问题，人们自然想到如果忽略吸收，光全部进入介质2，且最后全部透射出来（具体原理在2.3已作介绍），而且为部分偏振光。如果使光束多次以布儒斯特角入射多个界面，那么入射光的光将会反射殆尽

34、，而最后的透射光将十分接近线偏振光了。按照此原理把多块平行平板玻璃相互平行地叠在一起，制成名为折射式起偏器的起偏器，又形象的被称为玻璃堆。与反射式起偏器相比玻璃堆的优点除了光能利用率高外，还有出射光与入射光平行。不足之处是偏振度低，光谱范围受到玻璃性质的影响。 图3-2反射式起偏器为了克服玻璃堆的不足之处，又设计了干涉型偏振分束棱镜，把玻璃堆中的玻璃板和空气层替换成高低折射率交替排列的多层介质膜，并夹在两块直角玻璃棱镜之间。以自然光入射到棱镜的侧面，利用多层膜的多光束干涉效果，可以得到两束高偏振度的出射光。起偏器有一个特殊方向，只让一个特殊振动方向的光完全通过，把这个方向称为起偏器的偏振化方向

35、或者主方向。利用布儒斯特定律中反射光的振动方向与入射面垂直，可以找到起偏器的主方向。让反射光垂直照射到起偏器表面，缓缓旋转起偏器，观察出射光的亮度变化，会发现亮度会先单调增大达到一个最大值，后单调减小到一个最小值，之后又开始单调增大，如此反复。或与此相反。其中有最大亮度时起偏器的主方向与入射面平行；有最小亮度（接近零）时起偏器的主方向与入射面垂直。3.3 在薄膜光学中的应用玻璃有着良好的透光率，高达，所以很多光学仪器多应用玻璃。但是许多精密的光学仪器构造复杂，如变焦距物镜有十多个透镜，也就是说有二十多个反射面，如前文所设透镜的玻璃折射率为，光为正入射，则通过该系统的的光能量为反射时损失了58.

36、5%的能量，这还是最理想的情况。光能的大量损失很不利于仪器的成像质量和观察效果,为了减少光能损失普遍采用光学元件表面镀增透膜的方法15。当光束入射到薄膜上，会在薄膜内产生多次反射，且在薄膜的上下的两个表面有众多的平行光出射。要了解薄膜对光的反射和折射的性质，得先了解这些光束的干涉，这要应用多光束干涉原理，这里不多做介绍。3.3.1 单层膜 如图3-3所示，设薄膜的厚度为，折射率为，空气的折射率为，基片的折射率为。光从空气进入薄膜在界面的反射系数为，透射系数为；从薄膜进入空气在界面的反射系数为，透射系数为。光从薄膜进入基片在界面的反射系数为，透射图3-3单层介质膜的反射与透射系数为；从基片进入薄

37、膜在界面的反射系数为，透射系数为。利用斯托克斯倒逆关系 （3-1）再结合多光束合成振幅的方法可得在薄膜上的反射光的复振幅 （3-2）以及透射光的复振幅 （3-4）是相继两束光的位相差，是由光程差引起的，表达式为其中是光在薄膜中的折射角。由式（3-2）和式（3-3）可得薄膜的反射系数 （3-5）和透射系数 （3-6）再将式（3-5）和式（3-6）联立式（2-4）、式（2-5）可得薄膜的反射率 (3-7)和透射率 (3-8）式中是光在薄膜上表面的入射角，是光在基片中的折射角。由式（2-4）、式（2-5）以及式（2-6）可知代入式（3-8）中得 （3-9） 可知式（3-7）、式（3-9）之和为1，这

38、符合能量守恒定律，当然这是在不考虑材料对光波的吸收。如果考虑材料的吸波性，菲涅耳公式将要进行修改，在此不作讨论。由于反射率和透射率有这样简单的数值关系，所以只要讨论薄膜的反射率就可以了。在正入射时菲涅耳公式将变得简单（见式2-1）,。则可得到正入射反射率的另一种表达式 （3-10） 分析上式可以发现对于一定的介质、和都是常数，反射率是的函数，也就是薄膜厚度的函数。图3-4画出了，时关系曲线。分析式（3-10）和图3-4，可以发现只要薄膜的折射率小于基片的折射率，镀膜系统的反射率总是小于基片的反射率。当，即时，有最小反射率，则式（3-10）可以变形为 (3-11)图3-4介质膜反射率随其光学厚度

39、的变化分析上式，当时，光能全部透射。这时的，不过目前还找不到这样折射率的材料能用来作为镀膜的。最接近的是折射率的氟化镁，因为其折射率比理想值略大，则，即有1.3%的能量在反射时损失掉了。在应用式（3-11）时应该注意到其限制条件，即在正入射情况下对于一定厚度的薄膜对应给定的波长，对于其他波长的入射光不再适用。只能应用式（3-10）来计算反射率，但是这些波长的光的反射率肯定高于波长为的光16。而式（3-10）是在正入射的条件下推导出来的，似乎该式的应用范围也很小，其实不然。分析菲涅耳公式（1-10）（1-12）可以发现对于波将简化为，对于波将简化为，则上两式与正入射时表达式相同，称为等效折射率。

40、如此就可以应用式（3-10）求斜入射下的反射率了。当强光较长时间入射人的眼球，会引起不适，甚至会引起眼部疾病，为此发明了墨镜。其中有一种墨镜在玻璃片上镀以一层金属薄膜，增加了反射率，以达到削弱光强，保护眼睛的目的。有很多光学仪器的玻璃镜头上镀有金属薄膜，来减小透射光。观察图 可以发现，如果单层膜的折射率大于基片的折射率，则膜系的反射率比未镀膜的基片的反射率要大。当膜的光学厚度时，膜系对波长的反射率最大。另外由于两表面反射时的位相变化不同引起了附加的光程差，所以反射光的干涉加强，致使反射率有最大值。再分析图3-4，可见当膜的光学厚度为时，不论膜的折射率是否大于或小于基片的折射率，膜系对波长的反射

41、率都与未镀膜时基片的反射率相同。因此可利用此原理制作光学厚度为的薄膜代替光学厚度为的薄膜。3.3.2 双层膜回顾前文的分析讨论，发现仅镀一层薄膜时，反射率还是比较大，适用的光谱范围小。人们自然会考虑怎样才能使反射率更小，适用的光谱范围更大。人们开始考虑双层膜和多层膜。图3-5 双层膜 如图3-5所示，在玻璃基片上镀上双层膜，它们的厚度和折射率分别为、和、。先讨论与基片相邻的第2层薄膜，可设其与基片组成的膜系的反射率为，由式（38）有 （3-12）式中，和分别为、分界面和、分界面的反射系数，为两分界面的相邻两束光的位相差式中，是光束在第2膜层中的折射角。当光束正入射时，有，斜入射时可利用前面介绍

42、的等效折射率代替实际折射率，再把、及代入式（3-12）可得第2层膜和基片组成的膜系的反射率。 下一步就是求出考虑第1层膜后整个膜系的反射率了。先把第2层膜和基片的组合系统用一个反射分界面来等效，该界面被称作等效分界面。对此界面和第1层膜再次应用式（3-7），就得到光束在双层膜系统的反射系数 （3-13）式中，是、分界面的的反射系数，而，其中是在第1层膜中的折射角11。将式（3-12）代入上式中，并取与其共轭复数的乘积，便可得双层膜的反射率 （3-14）式中至于两层以上的薄膜系统利用上述等效分界面的概念，是可以计算出系统的反射率的，但是计算式十分的复杂，故不再做讨论。根据式（3-14）要使反射率

43、为零，则必须有和，设光束正入射，可解得 （3-15）在实际应用当中，光学厚度均为，第1层为低折射率介质，第2层为高折射率介质的双层膜来达到对波长全增透的目的。这时要求 （3-16）当然对于其他波长则不然，它们的反射损失比单层膜的时候更大一些。图3-6绘出了这种双层膜在正入射的反射率随波长的变化曲线，可见在波长处，而在的两侧，曲线上升很快，形如V形，所以也称为V形增透膜。这种膜只有在波段很窄时在能使用。为了扩大波段范围，由满足式（3-16），则可采用和的双层膜，这种膜对于波长来说，其反射率和与仅镀光学厚度为单层膜的膜系没有区别，但是对于其他波长的反射率起很大的变化。图3-7表示了光束正入射时，与

44、几种不同的对应的、双层膜的反射率随波长的变化曲线，可见膜系在较宽的波段上有良好的增透效果。图中诸曲线均呈W形，故被称作W形增透膜。拍摄彩色影像的摄影器的镜头一般涂镀这种双层膜。 图3-6 V形双层增透膜的反射率随波长的变化 图3-7 W形双层增透膜的反射率随波长的变化三层以及三层以上的增透膜可以在更宽的波段范围内获得更好的增透效果。目前已有在整个可见区反射率不超过0.5%的增透膜。3.4 在光信息传播中的应用在前面的讨论中已经了解到全反射时光能没有透射损失，所以可利用此原理来改变光的传播方向和使像倒转。在新兴光学领域，纤维光学和集成光学，就利用全反射来传播光能。3.4.1 棱镜利用全反射来改变

45、光的传播方向在许多的方面比平面反射镜优越。首先全反射没有光能损失，而平面镜在反射光时有一部分光能被反射平面吸收。利用全反射制作的棱镜，可以容易制成多种多样的组合反射面且精度高。如组合波罗棱镜常被应用于陆地望远镜，使像成为正像。阿米西棱镜用于瞄准镜和照相机的调焦光路中，使光路改变，即像的左右与物的左右互换。另外有一种棱镜叫做向后反射镜，也被称作四面直角体，其形如立方体割下的一个棱角，三个互相垂直的平面构成交角，角在第四个平面的投影与该三角面的中点重合。对于以一定范围的入射角入射的入射光，经过三个互相垂直的平面的相继全反射后，出射光的的方向与入射光的方向相反。利用此原理该棱镜可替代激光器中的共振腔

46、的高反介质镜。在激光测距中被用作被测目标的反射镜，不仅有效地将光反射回来，而且瞄准调整简单。目前已被应用于月球激光反射器。3.4.2 光学纤维在光电子技术中，光纤通信和光纤传感是非常重要的应用领域。光纤是如图3-6所示的圆柱形波导，由折射率为的纤芯和折射率为的的包层组成，且有。当光线从光纤端面进入光纤纤芯，并以入射角射到纤芯和包层界面上，如果入射角大于图3-6 光纤中光传播原理临界角，将全部反射会纤芯中，并在纤芯中不断地全反射，以锯齿形状在光纤内传输，直到从另一端折射输出。15根据全反射的要求，对于光纤端面上的光线的入射角，存在一个最大角。由全反射条件以及临界角关系可得出 （3-17） 当时，

47、光线将透过界面进入包层，并向周围空间产生辐射损耗，这时光纤不能有效地传播光能，通常将称为光纤的数值孔径（NA）17。显然，数值孔径的表示式为 （3-18）式中称为纤芯和包层的相对折射率差，一般光纤的的值为0.010.05。结 论 在17世纪人们开始思考光的本性，根据光的直线传播性质，牛顿提出微粒说，而微粒说在解释衍射现象时遇到困难。惠更斯从光和声的一些现象相似出发，认为光是在以太中传播的波。杨氏和菲涅耳继承发展了惠更斯的学说，使光的波动说深入人心，后来迈克尔逊的实验否定了以太的存在。麦克斯韦的电磁理论指出光是一种电磁波。本文从麦克斯韦方程组的边值关系推导出了菲涅耳公式，着重光的电磁本性研究，并

48、详细地讨论了菲涅耳公式，同时解释了一些光学现象例如半波损失、反射起偏、全反射的原理。最后就菲涅耳公式在科技生产中的广泛应用，如半波损失在干涉中的重要应用，反射起偏在偏振光和激光技术中的应用，反射率在薄膜光学中的运用，全反射在信息光学中的应用，作了一些简单分析讨论。在讨论过程中为了验证理论的正确性特别设计了两个小实验。一个是验证布儒斯特定律、一个是验证自然光在玻璃表面的反射率。实验结果与理论相符的很好。本文对菲涅耳公式作了比较全面的讨论分析，并能与其他知识联系起来。但是讨论的比较浅显不够深入，主要是因为笔者的水平有限，相信经过更多的学习能将本课题研究的更加透彻。参考文献1 叶波.菲涅耳的伟大贡献

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