分配问题中事件概率的计算浅析

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1、【标题】分配问题中事件概率的计算浅析 【作者】李 昌 林 【关键词】分配问题概率排列组合 【指导老师】李 好 奇 【专业】数学教育 【正文】1、引言概率论的分配问题所研究的是随机现象中各种可能出现的情况，及如何最优化的解决问题，使其合理有效。其最重要的思想是如何认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象的个别观察的偶然性与大量观察中的统计规律之间的联系。概率论起源于赌金分配问题，数学家帕斯卡、费马、惠根斯基于排列和组合的定义：排列从n个不同元素中任取r(r n)个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列总数记为。按乘法原理，取出第一个元素有n种取法，取出第二个元素有

2、n-1种取法取出第r个元素有n-r+1种取法，所以有=n(n1)(nr1)=.组合从n个不同元素中任取r(r n)个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序），称此为一个组合，此种组合的总数记为C。按乘法原理此种组合的总数为C=.及其性质，以及加法和乘法原理：加法原理如果某件事情可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m种完成方法，在第二类途径中有m种完成方法在第k类途径中有m种完成方法,那么完成这件事共有m+ m+ m种方法。乘法原理如果某件事需经k个步骤才能完成，做第一步有m种方法，做第二步有m种方法做第k步有m种方法，那么完成这件事共有m m m种方法。解决了分赌注问题、赌徒输光问题等。

3、随着概率论的发展，拉普拉斯总结出了概率的古典定义，概率的古典定义将概率论的发展推向了一个新的阶段，通过许多数学家的努力，建立了概率的公理化定义，并得到了概率的许多性质、定理，研究了不同情况下概率的计算，解决了如质点入盒、生日礼物等分配问题。在时代发展的今天，概率中的分配问题已经涉及到了各个领域，如：经济中各方面的利益分配；生产上如何有效的使生产达到最大的经济效益；军事上如何决策及有效打击。本文探讨分配问题中随机分配的各种类型，并且运用排列、组合与加法、乘法原理以及概率论的定义、定理、性质，探讨了随机分配中概率的计算，及其对实际生产生活的意义。2、正文分配问题起源于分赌注问题：甲、乙两个赌徒下了

4、赌注就按某种方式赌了起来。规定如果甲胜一局甲就得一分，乙胜一局乙也得一分。规定谁先得到某个确定的分数谁就赢得所有的赌注。但是在谁也没有得到确定的分数之前赌博因故中止了。如果甲需要再得n分才赢得所有赌注，乙需再得m分才赢得所有赌注。那么该如何分配这些赌注呢？对这个问题，帕斯卡提出一个很重要的思想：赌徒分赌注的比例应该等于从这以后继续赌下去他们各自能获胜的概率。分配问题可以分为平均分配和随机分配，因此分配问题的计算就成为如何分配的关键，本课题就是探讨随机分配中的计算。2.1古典概型的分配问题拉普拉斯在前人的基础上总结出了概率的古典定义：古典概型设试验是古典概型的，其样本空间为=e,e,e,其一事件

5、=e,e,e,其中n,n,n为1,2,n中任意r个不同的数，r n，则定义事件(出现）的概率为=并称这样定义的概率为古典概率。拉普拉斯的古典概型具有如下的特征：（1） 基本事件总数有限；（2） 每个基本事件等可能出现。求古典概型中随机事件的概率问题，就是计算事件包含的基本事件数与试验的基本事件总数之比的问题，常见的问题有摸球问题、质点入盒问题与随机取数问题等。例1 5张票中有1张奖票，5人按照排定的顺序从中各抽一张以决定谁得到其中的奖票。那么，先抽还是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的结果），对各人来说是公平的吗？分析：显然，对第一个抽票者来说，他从5张票中任抽1张，得到奖票的概率=.为求得第2个

6、抽票者抽得奖票的概率，我们把前2人抽票的情况作一整体分析。从5张票中先后抽出2张，可以看成从5个元素中抽出2个进行排列，它的种数是，而其中第2人抽到奖票的情况有种，因此，第1人未抽到奖票，而第2人抽到奖票的概率=，通过类似的分析，可知第3个抽票者抽到奖票的概率=.如此下去，我们可以求得第4个抽票者和第5个抽票者抽到奖票的概率也都是.一般地，如果在n张票中有1张奖票，n个人依次从中各抽1张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，那么第i个抽票者（i=1,2，n）抽到奖票的概率=，即每个抽票者抽到奖票的概率都是，也就是说，抽到奖票的概率与抽票的顺序无关。例2一只袋子中有a只白球、b只黑球，求：（1）不放

7、回的任取m+n只球，恰有m只白球、n只黑球的概率；（2）不放回的抽取，每次一只，第k次才取到白球的概率；（3）不放回的抽取，每次一只，第k次恰取到白球的概率.分析：有放回抽样是指从袋中任取一球，观察记录后放回袋中，第二次再从袋中任取，这时袋中球的总数没有改变；无放回抽样是指从袋中任取一球，观察记录后不放回袋中，第二次再从袋中任取，这时袋中求得总数有了改变，在不同抽样下，事件的概率是不同的解：（1）任取m+n只球，与取球的次序无关（可以看作一次取出），且m只白球从a只白球中任取，n只黑球从b只黑球中任取，均是组合问题，所以基本事件总数为C，恰有m只白球和n只黑球的事件数由乘法原理求得，为C C，

8、于是，所求概率为=（2）因为抽取与次序有关，前k-1次均抽到黑球，第k次才抽到白球，是a只白球中的任一只，由乘法原理，有=.（3）第k次必须取到白球，可以是a只白球中的任一只，而前k-1次取球中取到的白球数应少于a只，因此第一次只能在a+b1只白球中取（相当于留一只白球在第k次取出），由乘法原理=.=摸球问题在实际生活中有广泛的应用，如产品质量问题、考试抽签问题、比赛分组问题、扑克牌花色问题、电话号码问题、骰子点数问题等。例3从一副扑克牌（52张，不含大、小王）中任取5张，求下列事件的概率：（1）取出的5张牌恰为同一花色；（2）其中3张牌点数相同，另2张是相同的另一点数；（3）取出的5张牌恰有

9、两副不同的对子.解：基本事件总数为 C.（1）同一花色可以从四种花色中任取一种，再从这种花色的13张牌中任取5张，所以由乘法原理，同一花色所含事件数为C C,于是=（2）3张点数相同，可从13种点数中任取一种，再从这种点数的4张牌中取3张；又从余下的12种点数中选一种，从选中点数的4张牌中取2张，由乘法原理，所求事件中所含基本事件数为C C C C,于是=（3）先从13种点数中任选两种，每种可以在4张牌中任取2张，另一张牌在余下的11种的44张牌中任取1张，由乘法原理，所求事件中所含基本事件数为C C C C,于是=.对古典概型来说，求事件的概率，只要弄清楚基本事件总数及事件所包含的事件个数即

10、可。这就将求概率问题转化为计数问题，因而排列组合是计算古典概率的重要工具。2.2质点入盒型分配问题例4设有n个球，每个球都等可能的地被放到N个不同盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限.试求（1）指定的n（n N）个盒子中各有一球的概率；（2）恰好有n（n N）个盒子各有一球的概率.解：因为每个球都可以放到N个盒子中的任一个，所以 n个球放的方式共有N种，它们是等可能的。（1）因为各有一球的n个盒子已经指定，余下的没有球的Nn个盒子也同时被指定，所以只要考虑n个球在这指定的n个盒子中各放一个的方法数。设想第1个球有n种放法，第2个球有n1种放法第n个球只有1种放法，所以根据乘法原则，其可能总数为

11、n！，于是其概率为=.（2）与(1)的差别在于：此n个盒子可以在N个盒子中任意选取。此时可分两步做：第一步从N个盒子中任取n个盒子准备放球，共有C种取法；第二步将n个球放入选中的n个盒子中，每个盒子各放1个球，共有n！种放法。所以根据乘法原则共有 C.n！=N(N-1)(N-2)(N-n+1)种放法。其实这个放法数可以更直接的考虑成：第1个球可以放在N个盒子中的任一个，第2个球可以放在余下的N-1个盒子中的任一个第n个球只可放在余下的N-n+1个盒子中的任一个，由乘法原则即可得以上放法数。因此所求概率为=.例5 n个人的生日全不相同的概率是多少？解：把n个人看成n个球，将一年365天看成N=3

12、65个盒子，则“n个人的生日全不相同”就相当于“恰好有n（n N）个盒子各有一球”，所以n个人的生日全不相同的概率为=(1)(1)(1).（1）上式看似简单，但其具体计算是繁琐的，对此可用以下方法作近似计算：a)当n较小时，（1）式右边中各因子的第二项之间的乘积都可以忽略，于是有近似公式 1=1（2） b)当n较大时，因为对小的正数x，有ln（1x）x，所以由（1）式得 ln=（3）当n=10时，由（3）式给出的近似值为0.8840；当n=30时，由（3）式得近似值为0.3037.这个结果是令人吃惊的，因为许多人会认为：一年365天，30个人的生日全不相同的可能性是较大的，至少会大于。但结果表

13、明30个人中至少有两个人生日相同的概率超过69，而当n=60时，至少有两个人生日相同的概率超过99.例6 某单位新录用了12名工作人员，其中有3名是博士。将他们随机的平均分配到三个科室去，求：（1） 每一个科室恰好有一名博士的概率；（2） 3名博士分到同一科室的概率.解： 12名工作人员平均分配到三个科室去的分法总数是 C C C=12!(1)将3名博士随机分配到三个科室去是一个全排列，一共有3！种分发法，其余9名人员平均分配到三个科室去是不全相似元素的排列，有种分法。由乘法原理，所求事件包含基本事件数为。于是=(2)将3名博士分配到一个科室去有3种分法，则其余9人的分法是种。由乘法原理，所求

14、事件包含基本数为。于是=计算等可能概型中的事件概率时，首先要弄清楚随机试验是什么，即判断有限性和等可能性是否满足；其次要弄清楚样本空间是怎样构成的，构成样本空间的每个基本事件出现一定要是等可能的。2.3概率性质、定理在分配问题中的应用随着概率的发展，建立了概率的公理化定义：设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域，如果对任一事件A F，定义在F上的一个实值函数满足：（1） 非负性公理若A F,则 0；（2） 正则性公理=1；（3） 可列可加性公理若,互不相容，有()=,则称(A)为事件A的概率。并得到了许多性质、定理及不同情况下概率的计算方法，如：互斥事件一般地，如果事件,彼此互斥，那

15、么事件+发生（即,中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即(+)=.相互独立事件一般地，我们在同一试验下来考察事件,.如果事件,相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即(.)=.概率的性质：（1）有限可加性若有限个事件.互不相容，则有.（2）单调性(i）若，则=.（ii)推论(单调性)若，则.(iii)对任意两个事件A,B有=.加法公式对任意两个事件A，B，有=+.（1）对任意n个事件,，有(-1)().（2）证明因为,且A与BA互不相容，所以由有限可加性和单调性得=.当n=2时,(2)式即为(1)式.设(2)式对n-1成立,则对n,先对两个事件

16、(A A A）与A用(1)式，(A A A)=(A A A)(A)(A A A) A)=(A A A)(A)(A A)( A A)( A A)由归纳假设，对(A A A)及(A A)( A A)( A A)进行展开，经整理合并即可知：（2）式对n也成立，结论得证。这些理论、性质在概率的计算中有着重要作用。例7口袋中有编号为1，2，n的n个球，从中有放回的任取m次，求取出的m个球的最大号码为k的概率。解：记事件为“取出的m个球的最大号码为k”如果直接考虑事件，则较为复杂，因为“最大号码为k”可以包括取到1次k、取到2次k、取到m次k.为此记事件B为“取出的m个球的最大号码小于等于i”，i=1,2

17、，n.则发生只需每次从1,2，i号球中取球即可，所以由古典概率知=，i=1,2，n.又因为=，且,由概率单调性（i）得()=()=()(). k= 1,2，n.若n=6，m=3可算得 K 1 2 3 4 5 6 和()0.0046 0.0324 0.0880 0.1713 0.2824 0.4213 1.0000其他的()也都可算出，现列表如下:这相当于掷三颗骰子，最大点数为6的概率是0.4213，而由说明：掷三颗骰子，最大点数不超过3的概率仅为0.1250.例8一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一份礼物，而假定各人带的礼物都不相同。在晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机的抽取一份，问至少

18、有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少？解：以记事件“第i个人自己抽到自己的礼物”， i=1,2，n.所求概率为().因为()=()=()=；()=()=(所以由概率的加法公式得()=当n=5时，此概率为0.6333；当n 10时，此概率近似为.这表明：即使参加晚会的人很多（譬如100人以上），事件“至少有一个人自己抽到自己的礼物”也不是必然事件.分配问题的计算是多种多样的，关键一点是抓住欲求概率的事件的本质特点，同时也要对概率论的理论和方法，运用自如，流畅变通，思维不限于固定的程序和模式，具体问题具体分析，要具有概率论思维的灵活性。3、总结本文探讨了分配问题中的随机分配的各种类型，并运用排列组合以及概率论的定义、定理、性质，探讨了随机分配中概率的计算，分析了不同情况下各种分配问题的计算，特别是古典概型分配问题的计算，通过各种情况模型的分析计算来探讨分配问题对实际生产生活的意义。