多边形及其内角和八年级数学上册

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1、会计学1多边形及其内角和八年级数学上册多边形及其内角和八年级数学上册观察下列图案观察下列图案由这图形你抽象出什么几何图形？由这图形你抽象出什么几何图形？生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？三角形三角形点此播放动画视频点此播放动画视频 长方形长方形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？点此播放动画视频点此播放动画视频由这图形你抽象出什么几何图形？ 四边形四边形生活中的平面图形点此播放动画视频点此播放动画视频点此播放动画视频点此播放动画视频 六边形六边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？点此播放动画视频点此播放动画视频 八边形八边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么

2、几何图形？点此播放动画视频点此播放动画视频三角形三角形 长方形长方形 六边形六边形 四边形四边形 八边形八边形在平面内，由若干条不在同一条直线在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形形叫做多边形。你能仿照三角形的定义给出多边形的你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗定义吗？点此播放动画视频点此播放动画视频了解一下了解一下顶点顶点内角内角边边对角线对角线对角线：连接多边形不相邻的两个顶对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。点的线段。可表示为：五边形可表示为：五边形ABCDE或或五边形五边形DCBAEABCDE点此播放动画视频

3、点此播放动画视频ABCD12345内角：多边形相邻两边组成的角内角：多边形相邻两边组成的角外角：多边形的边与它的邻边外角：多边形的边与它的邻边 的延长线组成的角。的延长线组成的角。内角内角外角外角678910点此播放动画视频点此播放动画视频（1）（2） 如图（如图（1 1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边，整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。点此播放动画视频点此播放动画视频观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？观察

4、下面多边形，它们的边，角有什么特点？ 在平面内，内角都相等，边也都在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做相等的多边形叫做正多边形正多边形点此播放动画视频点此播放动画视频ABCD思路：多边形问题转化思路：多边形问题转化为三角形问题来解决为三角形问题来解决四边形的内角和为四边形的内角和为360由一些线段首尾顺次相接组成的图形由一些线段首尾顺次相接组成的图形多边形不相邻的两个顶点的线段多边形不相邻的两个顶点的线段1800问题，新知问题，新知 长方形的内角和是长方形的内角和是多少？为什么？多少？为什么？如果是任意如果是任意四边形呢？四边形呢？BADC（1 1）四边形）四边形ABCDABCD的内角

5、的内角 和是多少？和是多少？（2 2）你是怎样求的？）你是怎样求的？(1)(1)从顶点从顶点A A可以画几条对可以画几条对角线？分别是哪几条？角线？分别是哪几条？(2)(2)这样五边形被分成了这样五边形被分成了几个三角形？几个三角形？ (3)(3)五边形的内角和是多少五边形的内角和是多少度？度？ABDCE你来探索六边形的内角和，你一定行！你来探索六边形的内角和，你一定行！ABCDEF被分得三角形个数被分得三角形个数六边形的内角和六边形的内角和4 4180这种探索方法你掌握了吗？请完成下表这种探索方法你掌握了吗？请完成下表多边形的多边形的边数边数34567n分成的三分成的三角形个数角形个数12多

6、边形的多边形的内角和内角和18018021803345n-2180 5(n-2) 180180 4想一想：想一想：从表中你能发现什么？从表中你能发现什么？n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n(n2)2)180180想一想想一想 An A5 A1 A4 A2 A3 An A5 A1 A4 A2 A3PP(1)(2)你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗？你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗？ABCDABCDEABCDEF 该图中该图中n边形共有边形共有n个三角形，故所有三角个三角形，故所有三角形内角和为形内角和为n180 ，但每个图中都有一个，但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆

7、周角以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 ，因，因此此n边形的内角和为边形的内角和为 n180 - 360 = (n-2)180 多了什么？如何处理？多了什么？如何处理？多了什么？如何处理？多了什么？如何处理？ABCDABCDEABCDEF 这种分割方式，将多边形分成这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形，个三角形，故所有三角形的内角和为（故所有三角形的内角和为（n-1）180 ，边，边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因此因此n边形的内角和为边形的内角和为 （n-1）180 - 180 = (n-2)180 解：（n2）180（82）180 1

8、080答：八边形的内角和为1080。 例2：一个正多边形的一个内角为一个正多边形的一个内角为150150， 你知道它是几边形吗？你知道它是几边形吗？ 解：设这个多边形为n边形，根据题意得：（n2）18010n n12答：这个多边形是12边形。另解：由于多边形外角和等于360 而这个正多边形的每个外角都等于 18015030， 所以这个正 多边形的边数等于 3603012。 解解:设它们的边数分别是设它们的边数分别是x,y.由题意得：由题意得： （x-2）180+（ y -2）180=1440 x : y=1 : 3 解之得解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是答：它们的边数分别是3和

9、和9。 牛刀小试牛刀小试：（1 1）八边形的内角和等于）八边形的内角和等于 。（2 2）已知一个多边形的内角和等于）已知一个多边形的内角和等于23402340， 它的边数是它的边数是 。（3 3）小明在计算多边形的内角和时求得的）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是度数是10001000，他的答案正确吗？为，他的答案正确吗？为 什么？什么？ 108015144135120问题问题 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆

10、时针方向跑步的效果图按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并请你观察并思考如下几个问题思考如下几个问题:(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们体转过的角是哪个角？在图中标出它们.ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在上图中，你能求出在上图中，你能求出1+2+3+4+5的大小的大小吗？你是怎样得到的？吗？你是怎样得到的？探索探索 （1 1）什么是三角形的外角？外角有什么性）什么是三角形的外角？外角有什么性质？质？ （2 2）类似地，在多边形中找出）类

11、似地，在多边形中找出外角外角DEABCF多边形的一边与另一边的多边形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做延长线的夹角，叫做多边多边形的外角形的外角。 （1 1）如图，求）如图，求ABCABC的三个外角的和。的三个外角的和。 321ABC三角形的三个外角三角形的三个外角之和为之和为3603600 0 （2 2）四边形的外角和等于多少度？）四边形的外角和等于多少度？ 4321DABC（3 3）五边形的外角和怎么求？）五边形的外角和怎么求？n n边形呢？边形呢？ 猜想与说理猜想与说理:n边形的外角和是多少度呢边形的外角和是多少度呢? 答:都是360.因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以n边形的

12、外角和加内角和等于n180，内角和为(n2)180,因此，外角和为：n180(n2)180= 360. 结论结论: :多边形的外角和都等于多边形的外角和都等于360. 例例3：一个多边形的内角和等：一个多边形的内角和等 于它的外角和的于它的外角和的3倍，它倍，它 是几边形？是几边形？解：设它是解：设它是n边形，则边形，则(n-2).180=3360解得：解得：n=8答：它是答：它是8边形边形例例3 3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36求这个多边形的边数。 解：设一个外角为x， 则内角为（x36） 根据题意得： x+x+36180 x72 360725答：这个正多边形为正五边形。（1 1）

13、一个多边形的每一个外角都是）一个多边形的每一个外角都是60600 0，这个多，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度边形是几边形？它的内角和等于多少度? ? (2)(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的的3 3倍？倍？ （3 3）一个多边形的每一个外角都相等，且每）一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大一个内角都比外角大90900 0，求这个多边形的边数，求这个多边形的边数和每个内角的度数。和每个内角的度数。 7、两个多边形的边数比是、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的两个多边形的内角和为内角和为1440度度,求这两个多边形的

14、边数求这两个多边形的边数,6、一个多边形的每个内角都比相邻的外、一个多边形的每个内角都比相邻的外角角3倍多倍多20度度,求这个多边形的边数求这个多边形的边数,5、四边形的四个内角的比是、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角求它的四个内角,4、一个多边形的内角和是外角和的、一个多边形的内角和是外角和的4倍倍,这是几边形这是几边形CCAD360（1）、（）、（2）、（）、（4） 7. 7.如下图，如下图，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，BEBE是是 ABDABD的角平分线，的角平分线，1=401=40，2=302=30，则，则C=C=_ _ _BED=BED= 。6560A

15、BCD1 2E8 8、两个多边形的边数比是、两个多边形的边数比是1:2,1:2,两个多边形两个多边形的内角和为的内角和为14401440度度, ,求这两个多边形的边数求这两个多边形的边数, ,2、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生怎样变化？请画图说明。怎样变化？请画图说明。内角和减少内角和减少180O内角和不变内角和不变内角和增加内角和增加180O 把一个五边形切取一个角，将得到几边形？把一个五边形切取一个角，将得到几边形？此时多边形的内角与外角有什么变化？此时多边形的内角与外角有什么变化？ 探究活动：探究活动：如图，如图， ， ，则，则 。100

16、100 探究活动：探究活动：如图，如图， 。180 180 G探究活动：探究活动：如图，如图， 。180 180 巩固一下：巩固一下：求求A AB BC CD DE EF FG G的度数。的度数。AGFEDCB7180O2360O540O(4)(4)求求A+B+C+D+E+FA+B+C+D+E+F的度数。的度数。 MHGADFBEC 长方形长方形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？点此播放动画视频点此播放动画视频由这图形你抽象出什么几何图形？ 四边形四边形生活中的平面图形点此播放动画视频点此播放动画视频 六边形六边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？点此播放动画视频点此播

17、放动画视频你来探索六边形的内角和，你一定行！你来探索六边形的内角和，你一定行！ABCDEF被分得三角形个数被分得三角形个数六边形的内角和六边形的内角和4 4180例2：一个正多边形的一个内角为一个正多边形的一个内角为150150， 你知道它是几边形吗？你知道它是几边形吗？ 解：设这个多边形为n边形，根据题意得：（n2）18010n n12答：这个多边形是12边形。另解：由于多边形外角和等于360 而这个正多边形的每个外角都等于 18015030， 所以这个正 多边形的边数等于 3603012。（1 1）如图，求）如图，求ABCABC的三个外角的和。的三个外角的和。 321ABC三角形的三个外角三角形的三个外角之和为之和为3603600 0 （1 1）如图，求）如图，求ABCABC的三个外角的和。的三个外角的和。 321ABC三角形的三个外角三角形的三个外角之和为之和为3603600 0