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1、复习回顾 向量的数乘aa我们规定实数 与向量 的积仍是个向量，记作 并规定方向如下 当 时， 的方向与 的方向相同 当 时， 的方向与 的方向相反 aaoaaoaa第1页/共21页OBA当0时，；OAB当180时， 反向；OABB当90时，称 垂直， 记为 .OAab已知两个非零向量 和 ,作abbOBaOA ,bOaOAB则）1800(AOB叫做向量的夹角与ba同向与baba与ba与ab第2页/共21页问题sFWcossF其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念. 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应
2、当怎样计算？FF第3页/共21页平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 0acos|baba （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （2） 不能写成 ， 表示向量的另一种运算 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ， 即cos|baabbababababa第4页/共21页例题讲解解：120cos4510)21(45例1已知| |=5，| |=4， 与 的夹角 ，求 .120 abbabacosbaba第5页/共21页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3）ABAC BC
3、AC AB BC ACB第6页/共21页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3）ABAC BCAC AB BC ACB ACAB) 1 (60cosACAB2160第7页/共21页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3）ABAC BCAC AB BC ACB ACAB) 1 (21BCAB)2(120cosBCAB2160cosACAB120第8页/共21页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3）ABAC BCAC AB BC ACB ACAB) 1 (21BCAB)2(120cosBCAB21 ACBC) 3
4、(60cosACBC2160cosACAB60第9页/共21页 1B向量的数量积的几何意义（1）投影的概念如图所示： AOBbOBaOA,Bb过B作 垂直OA，垂足1BB为 ,1B则 ， 1OB在 方向上的投影cosb 叫做向量 cosbabOAa 叫做向量 在 方向上的投影abcosaBOAab 1B投影是向量还是数量？为钝角时，| b | cos0OABab 1B为锐角时，| b | cos0OABab )(1B为直角时，| b | cos=0第10页/共21页向量的数量积的几何意义（2）数量积的几何意义数量积 等于 的长度 baaaba的几何意义是 与 在 方向上的投影 的乘积bacos
5、b例3、 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 。6bab45ba3a23第11页/共21页讨论总结性质：（4）|cosbaba(判断两向量垂直的依据)设 与 都是非零向量， 为 与 的夹角abab0) 1 (bababa(2)当 与 同向时， bababababa当 与 反向时，2| aaa（3） 或 aaa |（5）baba你能得出哪些结论？快速讨论一下！第12页/共21页;,/2, 14bababa求：已知例，分两种情况：）由解：（ba/1;2,baba 同向，当。反向，当2,baba143cos2 1 2 b a ）（第13页/共21页例5 判断正误0,0)1(baba有则对
6、于任意向量若0, 02baba有则对于任意非零向量）若（0, 0, 0)3(bbaa则若0, 0)4(至少有一个为则若babacacbbaa则若, 0)5(0,)6(acbcaba当且仅当则若22,)7(aaa都有对任意向量第14页/共21页平面向量的数量积的运算律已知向量 ， ， 和实数 ，则abc（1） 。 （交换律）（2） = 。（3） 。baba)(（与数乘的结合律）cba)(（分配律）ab)(ba)( bacbca第15页/共21页 . ONMa+bbac 证明运算律(3)则为方向上的射影分别在向量,ONMNOMcbabacONcba )(cMNOM)(cMNcOMcbca第16页/
7、共21页例6 证明) 1 (22)()(bababa)2(2222)(bbaaba证明bbabbaaababa)()(22ba 第17页/共21页2222)2(bbaaba)()()(2babababbabbaaa222bbaa证明bbaaba)()(第18页/共21页练习222| 6,| 4,b60,(2 ) (3 ),() ,|abaa bababababab 已知与 的夹角为，求已知与 的夹角为，求，|cos12a bab 解:解:22|36aa22|16bb(2 ) (3 )abab 226aa bb 22| | | |cos6| |aa bb 72 2()a b 222aa b b 22| |2| | |cos| |aa bb 28 2|a b 2()28a b |a b 282 7 第19页/共21页小结：1. |co|saabb 0aba b 22|aa 可用来求向量的模2.投影3性质第20页/共21页感谢您的观看。第21页/共21页
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