高考数学总复习测评课件40

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1、第七节第七节 空间向量及其运算空间向量及其运算( (* *) )1. 空间向量的概念空间向量:在空间,我们把既有 又有 的量叫做空间向量.2. 共线向量(平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定零向量与 共线.3. 共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a0),b与a共线的充要条件是存在实数,使 .基础梳理基础梳理大小方向互相平行或重合任意向量b=axa+ybxOAyOBzOC 4. 共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p= .5. 空间向量基本定理及其推论(1)空间向量基本

2、定理如果三个向量 , , 不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p= .(2)空间向量基本定理的推论设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 = .OP 1e2e3e123xeyeze(x,y,z)(x,y,z)6. 空间向量的坐标表示及坐标运算(1)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系O-xyz中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zk,则有序实数组 叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标.特别地,若A(x,y,z),则向量 的坐标为(x,y,z),记作

3、= .(2)坐标运算设 , ,则a+b= ;a-b= ;a= .OA OA 123,aa a a123,bb b b112233,ab ab ab112233,ab ab ab123,aaa|a|b|cosa,ba ba baa2a7. 空间向量的数量积(1)数量积的定义设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作ab,即ab= .规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)用数量积表示夹角、长度与垂直cosa,b= ;|a|2= = ;ab (a,b是非零向量).ab=01 1223 3aba ba b a=b11ab22ab33ab8. 空间向量坐

4、标表示及应用(1)数量积的坐标表示设 , ,则ab= .(2)共线与垂直的坐标表示设 , ,则ab , , , (R);ab (a,b均为非零向量).123,aa a a123,bb b b123,aa a a123,bb b b0a b1 1223 30aba ba b222123aaa1 1223 3222222123123aba ba baaabbb(3)模、夹角和距离公式设 , ,则 = ;cosa,b= = ;若 , ,则 = .123,aa a a123,bb b baa aa ba b111,A a b c222,B a b cABdAB 222121212aabbcc典例分析典

5、例分析题型一题型一 向量的线性运算向量的线性运算【例1】如图所示,在平行六面体 中,设 , , ,M,N,P分别是 ,BC, 的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1) ;(2) ;(3) .分析从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止.1111ABCDABC D1AAaABb ADc1AA11C DAP 1AN 1MPNC 解 (1)P是 的中点, (2)N是BC的中点, (3)M是 的中点, 又 11C D111111121122APAAADD PaADDCacABacb 111122AN

6、A AABBNabADabc 1AA11111122222MPMAAPA AAPaacbabc 1111122NCNCCCBCAAca 1111313()222222MPNCabcacabc 学后反思 选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解.有分解才有组合，组合是分解的表现形式.空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组(a,b,c),可以表示出空

7、间的任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.举一反三举一反三1. 在空间四边形OABC中, , , ,点M在OA上,且 ,N为BC的中点,则MN等于 .OAa OBb OCc2OMMA CNNB 解析： , , , , .+,得 MNMAABBN 2OMMA 2MNMOOCCN MNMOOCCN 322213322222MNABBNOCCNABBNOCbacbabc 211322MNabc 答案： 211322abc题型二题型二 共线、共面问题共线、共面问题【例2】如图所示,已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、

8、PBC、PCD、PDA的重心.(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.分析 可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何直观判断,第(2)问中的两个平面应该是平行关系.解 (1)如图,连接PE,PF,PG,PH,并分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有: , , , .因为四边形MNQR是一个平行四边形,所以 又 所以 ,即由共面向量定理知,E、F、G、H四点

9、共面.23PEPM 23PFPN 23PGPQ 23PHPR 323322MQMNMRPNPMPRPMPFPEPHPEEFEH 333222MQPQPMPGPEEG 3322EGEFEH EGEFEH 学后反思 （1）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面.（2）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.（3）要学会用向量的知识来解决立体几何问题.(2)由(1)得 ,所以 .又因为EG 平面ABC,MQ 平面ABC,所以EG平面ABC.因为 ,所以MNEF.又因为EF 平面ABC,MN 平面ABC,所以EF平面ABC.由于EG与EF交于E点,所以平面EFGH与平面

10、ABCD平行.32MQEG MQ EG 333222MNPNPMPFPEEF 答案： A、B、D举一反三举一反三2. 已知向量a,b,且 , , ,则A、B、C、D中一定共线的三点是.2ABab 56BCab 72CDab 解析： A、B、D三点共线.易证A、C、D不共线. 5672242BDBCCDabababAB 题型三题型三 空间向量的数量积空间向量的数量积【例3】如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:(1) ;(2) ;(3) .EFBA EFBD EFDC 分析 可先将EF看作 ,然后利用向量数量积的定义求出即可.学后反思

11、注意由图形写向量夹角时易出错,如BD,DC =120,易错写为BD,DC=60.12BD 解 (1)(2)(3) 01111cos,cos602224EFBABD BABD BABD BA 0111cos0222EFBDBD BD 011cos,2211cos12024EFDCBD DCBD DCBD DC 举一反三举一反三3. 如图,在四面体ABCD中,已知ABCD,ACBD,求证:ADBC.BC 证明： 设 =a, =b, =c,则 =b-a, =c-b, =c-a.ABCD, 即a(c-b)=0,ac=ab.又ACBD, 即b(c-a)=0,bc=ba. =c(b-a)=cb-ca=ba

12、-ab=0,ADBC.AB ACADCD BD 0AB CD 0ACBD AD BC 题型四题型四 向量的坐标运算向量的坐标运算【例4】(14分)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求:(1)ab;(2)a与b夹角的余弦值;(3)确定,的值使得a+b与z轴垂直，且(a+b)(a+b)=53.分析 求夹角需利用数量积，因而需求得|a|与|b|代入公式cosa,b= 而求,的值，需利用z轴的单位向量联立方程组求解.a ba b解 (1）ab=（3，5，-4）(2,1,8)=32+51-48=-21.6(2) cosa,b= .10(3)取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,

13、6,4).依题意 (a+b)n=0, (a+b)(a+b)=53,即 (3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=0, (3+2,5+,-4+8)(5,6,4)=53,故 -4+8=0, 29+48=53,解得 =1, = .1422235450a 22221869b 217 1382305069a ba b12学后反思 本题主要运用坐标代入运算即可.特别地，a+b与z轴垂直，只需满足a+b的竖坐标为零，即-4+8=0即可，可见,要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真.举一反三举一反三4. 已知向量a=(1,-3,2)和b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2

14、,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使 b(O为原点)?OE 95解析： (1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),|2a+b|= (2)设AE=tAB,则 =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).若 b,则 b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t= .故存在点E,使 b,此时E点坐标为E2220555 2OEOAAEOAtAB OE 95OE 614 2,555OE 10. 已知向量x与向量a=(2,-1,2)共线，且满足方程ax=-18，求向量x的坐标.考点演练考

15、点演练解析： x与a共线，故可设x=k a,由ax=-18,得ak a= ,9k=-18,故k=-2.x=-2a=(-4,2,-4).224 149k akk 11. 如图,在棱长为a的正方体 中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0 xa,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)求出点E、F的坐标；（2）求证: (3)若 、E、F、 四点共面,求证: 1111OABCO ABC11AFC E 1A1C111112AFACAE 解析： (1)易知,E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明: (a,0,a)、 (0,a,a), =(-x,a,-a), =(a

16、,x-a,-a), =-ax+a(x-a)+a2=0. (3)证明: 、E、F、 四点共面, 、 、 共面.视 与 为一组基向量,则存在唯一的实数对 、使 ,即(-x,a,-a)= (-a,a,0)+ (0,x,-a)=(-a ,a +x ,-a ), -x=-a , a=a +x , -a=-a , 解得 , =1. 1AF 1CE 11AFC E 11AFC E 1A1C1AE11AC1AF 1AE11AC12111121AFACAE 12112211221122111112AFACAE 1A1C12. 已知A、B、C三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1)，（-2，2，3），求点P的坐标，使得 12APABAC 解析: 设P(x,y,z)，则 =(x-2,y+1,z-2), =(2,6,-3), =(-4,3,1),(x-2,y+1,z-2)= (2,6,-3)-(-4,3,1)= (6,3,-4)=(3, ,-2)， x-2=3， y+1= z-2=-2,解得 x=5, y= , z=0,P点坐标为(5, ,0).AP AB AC121232321212