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1、在发明中学习在发明中学习 线性代数概念引入线性代数概念引入 之四之四: : 矩阵运算矩阵运算 李尚志李尚志 中国科学技术大学中国科学技术大学 1. 1. 线性函数线性函数例例 1 在平面上建立直角坐标系在平面上建立直角坐标系. (1)将平面上每个点将平面上每个点P绕原点绕原点向逆时针方向旋转角向逆时针方向旋转角到点到点P. 写出点写出点P的坐标的坐标(x,y)与点与点P的的坐标坐标(x,y)之间的函数关系式之间的函数关系式. 矩阵乘法矩阵乘法 (2) 将将x轴绕原点向逆时针方向旋转角轴绕原点向逆时针方向旋转角得到得到直线直线 l l. 平面上任一点平面上任一点P关于直线关于直线 l l的对称的
2、对称点为点为 P. 写出点写出点P的坐标的坐标(x,y)与点与点P的坐标的坐标(x,y)之间的函数关系式之间的函数关系式. 解解 设原点设原点O到到P的距离的距离|OP|=r, 由射线由射线OX(即即x轴正轴正方向方向) 到到OP所成的角所成的角 . 则则|OP|=|OP|=r, x=rcos, y=rsin. (1) x=rcos(+) =rcoscos-rsinsin =xcos-ysin y=rsin(+) =rcossin+rsincos =xsin+ycos(2) 在旋转变换的表达式在旋转变换的表达式 中中, x是是x,y的线性函数的线性函数(一次齐次函数一次齐次函数) 可以表示成可
3、以表示成 可以直接写可以直接写 f1 = (cos,-sin). 类似地有类似地有 一般地一般地, 任意一个任意一个n元线性函数元线性函数 可以由它的一次项系数组成的行向量可以由它的一次项系数组成的行向量(a1,an)来表示来表示, 称为这个线性函数称为这个线性函数 f 的坐标的坐标. 可直接写可直接写 f = (a1,an) n 个自变量看成一个整体个自变量看成一个整体 X, 写成列向量写成列向量 函数函数 f 在自变量在自变量 X 上的作用可以看作行上的作用可以看作行 f 与列与列 X 相乘相乘: 2. 2. 线性映射的矩阵线性映射的矩阵 f : 自变量 因变量 旋转 轴对称 一般地一般地
4、, 考虑映射考虑映射 f: X= Y= 如果每个如果每个 yi 都是都是 x1 , xn 的一个线性函数的一个线性函数 决定决定, 则映射则映射 f: X Y由由 m 个行向量个行向量 fi 决定决定. f 称为线性映射称为线性映射. 写成写成看作矩阵看作矩阵 A= 与列与列 X 相乘的结果相乘的结果. 3. 3. 线性映射的合成线性映射的合成: : Y=Y=Z=Z=是是X X的的m m个线性函数个线性函数 f f1 1,f,fn n 的线的线Z=CX=BAX,C=BAZ=CX=BAX,C=BA的第的第i i行元素分别乘行元素分别乘A A的各行相加得到的各行相加得到. .性组合性组合, , 仍
5、是仍是X X 的线性函数的线性函数 , ,其坐标其坐标的坐标的坐标( (即即A A的各行的各行) )的相应的线性组合的相应的线性组合 4. 4. 利用分块运算理解矩阵乘法利用分块运算理解矩阵乘法 1、 AB = A (B1,B2,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例. 对可逆方阵 A ，解矩阵方程 AX=B. 将 X,B 按列分块, A(X1, ,Xk)=(B1,Bk) 即 (AX1,AXk)=(B1,Bk), AXj = Bj (j=1,2,k) 相当于同时解 k 个有公共系数矩阵A的线性方程. 同时对k个增广矩阵 (A Bj) 做同样的初等行变换。 可以合并到一起作初等行变换: (A B) (I X），X=A-1B。 2、 A = (A1,An) = x1A1+xnAn.3、行变换行变换: B AB列变换列变换: B BAA：施工方案，施工方案，B：被施工的材料被施工的材料 例. 5. 5. 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵解。解。 B B AB AB 与与 I I AI AI 经过相同的行变换经过相同的行变换。 谢谢谢谢
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