第八章应力状态和强度理论

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1、1第八章第八章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 81 概概 述述 FQ220coscos p2sin2sin0 p单向应力状态FF ,0AFcoscos0AFP3 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为称为一点的应力状态一点的应力状态 。研究一点的应力状态时，往往研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。单元体来研究。 xyxxyxyyxyxyxxzyxzzyzyxyzyzx空间应力状态空间应力状态平面应力状态平面应力状态4 任何应力状态，总能找到三对互相垂直的面，在任何应力状态，

2、总能找到三对互相垂直的面，在这些面上只有正应力，而切应力等于零，这样的面称这些面上只有正应力，而切应力等于零，这样的面称为为应力主平面应力主平面(简称简称主平面主平面)，主平面上的正应力称为，主平面上的正应力称为主应力主应力。 12132三向应力状态三向应力状态双向应力状态双向应力状态单向应力状态单向应力状态复杂应力状态复杂应力状态简单应力状态简单应力状态5max简单应力状态简单应力状态下材料的强度条件：下材料的强度条件：max 单轴拉压状态单轴拉压状态 纯剪切应力状态纯剪切应力状态复杂应力状态复杂应力状态下材料的强度条件：下材料的强度条件：,工作应力；工作应力；maxmax,许用应力，通过直

3、接试验的方法确定。许用应力，通过直接试验的方法确定。 不可不可能总是通过直接试验的方法来确定材料的极限能总是通过直接试验的方法来确定材料的极限应力。通过应力。通过应力状态分析应力状态分析来探求材料破坏的规律，确定来探求材料破坏的规律，确定引起材料破坏的决定因素，从而建立相应的强度条件，引起材料破坏的决定因素，从而建立相应的强度条件，即即强度理论强度理论。 682 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析解析法解析法 一、斜截面应力一、斜截面应力 图图(a)(a)所示平面应力单元体常用平面图形所示平面应力单元体常用平面图形(b)(b)来表示。来表示。现欲现欲求垂直于平面求垂直于平面xy的任意

4、斜截面的任意斜截面ef上的应力上的应力。7 图图(b)中所示任意斜截面中所示任意斜截面ef 的外法线的外法线n与与x轴的夹角（方位轴的夹角（方位角）为角）为 ，故，故截面截面ef简称简称 截面截面。其中其中 角规定自角规定自x轴逆时针转至轴逆时针转至外法线外法线n为正为正。 斜截面上的斜截面上的正应力正应力 以以拉应力为正拉应力为正，切应力切应力 以使其以使其所作用的体元有顺时针转动趋所作用的体元有顺时针转动趋势者为正势者为正( (图图(c) )。8 由图由图(c)知，如果斜截面知，如果斜截面ef的面积为的面积为dA，则体元左侧面，则体元左侧面eb的面积为的面积为dAcosa，而底面，而底面b

5、f的的面积为面积为dAsina。图。图(d)示出了示出了作用于体元作用于体元ebf 诸面上的力。诸面上的力。体元的平衡方程为：体元的平衡方程为：0sinsindcossind coscosdsincosdd0AAAAAFyyxxn，0cossindsinsind sincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，9根据根据切应力互等定理切应力互等定理有：有：xyxyxcossin2sincos22(8-1) )sincos(cossin)(22xyx(8-2) 利用三角关系整理后可得到利用三角关系整理后可得到 斜截面上应力斜截面上应力 、 的计算公式为的计算公式为：xyxyx2sin2c

6、os22(8-3) xyx2cos2sin2(8-4) 将其代入平衡方程可得：将其代入平衡方程可得：10MPa 30MPa, 20,MPa 30 xyxMPa33.19)302cos(30)302sin(22030MPa52. 1)302sin(30)302cos(22030220303030例题例题81 图图a为为一平面应力状态单一平面应力状态单元体，试求与元体，试求与x轴轴成成30角的斜截面角的斜截面上的应力。上的应力。则由公式则由公式(133)及及(134)可直接得到该斜截面上的应力：可直接得到该斜截面上的应力：单位：MPa203030 xy(a)3030(b)xn30301020y30

7、3030解：由图可知：解：由图可知：11二、主应力和主平面二、主应力和主平面 根根据式据式(83)和和(84)可以确定应力的极值及其作用面可以确定应力的极值及其作用面的方位。将式的方位。将式(83)对对 取导数：取导数：xyx2cos2sin22dd令此导数等于零，可求得令此导数等于零，可求得 达到极值时的达到极值时的 值，以值，以 0表表示此值，即示此值，即02cos2sin200 xxyyxx22tan0(85) （a） （b） 12 由由式式(85)可求出可求出 0相差相差90 的两个根，亦即有相互的两个根，亦即有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，垂直的两个面，其中一个

8、面上作用的正应力是极大值，以以 max表示，另一个面上的是极小值，以表示，另一个面上的是极小值，以 min表示。表示。02000202tan12tan2sin2tan112cos22minmax2)(2xyxyx(86) 将式将式(85)代入以上两式，再回代到式代入以上两式，再回代到式(83)经整理后即可经整理后即可得到求得到求 max和和 min的公式如下：的公式如下：（c） yxx22tan0利用三角关系：利用三角关系：13 由由式式(85)求得两个求得两个 0值后，确定哪个是值后，确定哪个是 max作用面作用面的方位角的方位角(以以 0max表示表示)，哪个是，哪个是 min作用面的方位

9、角作用面的方位角(以以 0min表示表示)，则可按下述规则进行判定：，则可按下述规则进行判定：)0(45)0(45max0 xx(87)(1) 若若 x y ，则有，则有 | 0max|45 5(2) 若若 x y ，则有，则有 | 0max|45 5(3) 若若 x = y ，则有，则有90max0min0 (88) 求得求得 0max后，后， 0min可按下式计算：可按下式计算：14这里指出一点，将式这里指出一点，将式(b)与式与式(84)比较，可知：比较，可知：000时，当 这这表明表明在正应力达到极值的面上，切应力必等于零在正应力达到极值的面上，切应力必等于零，即该截面为即该截面为主平

10、面主平面，相应的正应力即为，相应的正应力即为主应力主应力。主应力常。主应力常用用 1、 2、 3 表示，并按表示，并按 1 2 3排序。应注意在平面排序。应注意在平面应力状态下，应力为零的平面也是主平面，其主应力等于应力状态下，应力为零的平面也是主平面，其主应力等于零，应将它与零，应将它与 max和和 min 比较，确定出比较，确定出 1、 2、 3 。 yxminmax(89) 即对即对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应第一弹性应力不变量力不变量。可利用

11、此关系来校核计算结果。可利用此关系来校核计算结果。另外，由式另外，由式(86) 可知：可知：15 用用类似的方法，可以讨论切应力类似的方法，可以讨论切应力 的极值和它们所在的极值和它们所在的平面。将式的平面。将式(84)对对 取导数：取导数：令此导数等于零，可求得令此导数等于零，可求得 达到极值时的达到极值时的 值，以值，以 表示表示此值，即此值，即(810) xy2sin22cos)(ddx02sin22cos)(xxyxyx22tan由式由式(810)解出解出sin2 和和cos2 ，代入式，代入式(84)可求得切应可求得切应力的最大和最小值：力的最大和最小值：1622minmax2)(x

12、yx(811) 2minmaxminmax对比式对比式(86)可知：可知：(812) 2tan12tan0这表明这表明2 0与与2 相差相差90，即，即切应力极值所在平面与主平切应力极值所在平面与主平面的夹角为面的夹角为45 。(813) 另外，对比式另外，对比式(85)和式和式(810)可知：可知：17例题例题82 图示为某构件某一点的应力图示为某构件某一点的应力状态，试确定该点的主应力的大小及状态，试确定该点的主应力的大小及方位。方位。 单位：MPa20303035.813解：由图可知：解：由图可知：MPa 30MPa, 20,MPa 30 xyx将其代入式将其代入式(86)有：有：MPa

13、45MPa45530220302203022minmax.182 .548 .3543.10871.6215320-30(-30)-22tan00yxx根据式（根据式（87）进行判断，由于）进行判断，由于 ，即主应力即主应力 1与与x轴的夹角为轴的夹角为35.8。 8 .35,1yx则由式（由式（85）可得：）可得：则主应力为：则主应力为：MPa450MPa455321.,.19例题例题83 对图对图(a)所示单元体，试用解析法求：（所示单元体，试用解析法求：（1）主应力值；）主应力值；（2）主平面的方位（用单元体图表示）；）主平面的方位（用单元体图表示）；（3）最大切应力值。）最大切应力值。

14、单位：MPa200300200图(a)30 MPa,20 MPa ,30 MPaxyx MPa361MPa3613002200200220020022minmax解：由图可知：解：由图可知：（1）20128.153图(b)（2）5 . 1)200(200)300(22tan085.6115.2869.12331.56200由式（由式（87）进行判断，由于）进行判断，由于 ，即主应力即主应力 1与与x轴的夹角为轴的夹角为28.15（如图（如图(b)所示）。所示）。15.28,1yx则（3）最大切应力为）最大切应力为：MPa3612)361(3612minmaxmax2183 应应 力力 圆圆(a

15、)将式将式(83)与式与式(84)改写成如下形式：改写成如下形式： xyxyx2sin2cos22xyx2cos2sin20将以上二式各自平方后再相加可得：将以上二式各自平方后再相加可得：22222)0(2xyxyx(c)(b)一、应力圆一、应力圆22 这这是一个以正应力是一个以正应力、切、切应力应力为坐标的圆的方程，为坐标的圆的方程，此圆此圆称为称为应力圆应力圆或或莫尔莫尔(O.Mohr)圆圆。其。其圆心坐标为圆心坐标为 ，半径为半径为 。02,yx222xyxOC2yx222xyx图 134 圆圆上任意一点的纵、横坐上任意一点的纵、横坐标分别代表单元体相应截面上标分别代表单元体相应截面上的

16、切应力和正应力。的切应力和正应力。23二、应力圆的绘制及应用二、应力圆的绘制及应用OC(b)xxD,1yyD,2 图图a所示单元体的应力圆可按如下方法所示单元体的应力圆可按如下方法作出：由单元体作出：由单元体x截面上的应力截面上的应力x,x按某一比例尺定出点按某一比例尺定出点D1，由单元体由单元体y截面上截面上的应力的应力y,y(取取y = -x)定出点定出点D2，然后连以直线，以它与，然后连以直线，以它与 轴的交点轴的交点C为圆心，以为圆心，以 或或 为半径可作出应力圆为半径可作出应力圆(图图b)。1CD2CD(a)24 利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只需将应力圆圆周上表示x截面

17、上的应力的点D1所对应的半径 按方位角的转向转动2角，得到半径 ，那么圆周上E点的座标便代表了单元体斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：1DCEC25E点横座标2sin2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos0101000 xyxyxCDCDOCCECEOCCEOCCFOCOF26E点纵座标2sin22cos 2sin2cos2cos2sin 22sin01010yxxCDCDCEEF27 当单当单元体内截面元体内截面A和和B的夹角为的夹角为 时，应力圆上相应时，应力圆上相应点点a和和b所所夹夹的圆心角则为的圆心角则为2 ，且二角之转向相

18、同。因此，且二角之转向相同。因此，单元体上两个相互垂直的截面在应力圆上的对应点单元体上两个相互垂直的截面在应力圆上的对应点所夹所夹圆心角为圆心角为180180，即它们必位于同一直径的两端。，即它们必位于同一直径的两端。图 86ABOC2ab28例题例题84 试用图解法求解图示应力状态单元体的主应力。试用图解法求解图示应力状态单元体的主应力。 (a)200300200单位：kPa0 100kPaOCCD(b)1283x62(c)解解：首先选定坐标系的比例尺，由坐标：首先选定坐标系的比例尺，由坐标(200,- -300)和和(- -200,300)分别确定分别确定C和和C点点(图图b）。然后）。然

19、后以以CC为直径画圆为直径画圆，即得相应的，即得相应的应力圆。应力圆。从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应力的应力从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应力的应力状态如图。状态如图。 131max360kPa ,360kPa ,28 , 360kPa 2984 三向应力状态的最大应力三向应力状态的最大应力dabc12xzy3213 表示表示与主应力与主应力3平行平行的斜截面上应力的点，必的斜截面上应力的点，必位于由位于由1与与2所确定的应所确定的应力圆上。同理，与主应力力圆上。同理，与主应力2 (或或1)平行的各截面的平行的各截面的应力，则可由应力，则可由1与与3(或或2与与3)所画应力圆确定

20、。所画应力圆确定。 一、三向应力圆一、三向应力圆30图 88O132K图 8912xzyB3CA 在在坐标平面内，表示与三个主应力均不平行的任坐标平面内，表示与三个主应力均不平行的任意斜截面意斜截面ABC（图（图89）上应力的点）上应力的点K必位于图必位于图88所示以所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影区域内。主应力作出的三个应力圆所围成的阴影区域内。 31二、最大应力二、最大应力 1max3min231max(819) (817) (818) 而最大切应力则为：而最大切应力则为： 由由应力圆可知，一点处的最大与最小正应力分别应力圆可知，一点处的最大与最小正应力分别为最大与最小主应力，即为

21、最大与最小主应力，即32 根据应力圆点根据应力圆点B的位置可知，的位置可知，最大切应力的作用面与主应力最大切应力的作用面与主应力2作用面垂直而与作用面垂直而与1作用面成作用面成45，即右侧图中的即右侧图中的abcd截面截面。abcd4532211acd12231max231b2333abcd4532211acd12231max231b23max45efgh2231 根据切应力互等定理可知，在与截面根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面垂直的截面efgh上有数值上与上有数值上与max相等的切应力，如下面图中所示相等的切应力，如下面图中所示。34例题例题85 图图a所示应力状态，应力所

22、示应力状态，应力 x = 80 MPa， x = 35 MPa， y = 20 MPa， z =-40 MPa，试画三向应力圆，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力。并求主应力、最大切应力。 (a)xyxxyzyz(c)CEODAB(b)yxx35解：解： 1. 画三向应力圆画三向应力圆 对对于图示应力状态，已知于图示应力状态，已知 z为主应力为主应力，其它两个主应，其它两个主应力则可由力则可由 x ， x与与 y确定确定(图图b) 。在。在 坐标平面内坐标平面内(图图c)，由坐标由坐标(80,35)与与(20, -35)分别确定分别确定A和和B点点，然后，以，然后，以AB为为直径画圆并与直

23、径画圆并与 轴相交于轴相交于C和和D，其横坐标分别为：，其横坐标分别为：96.1MPa3.90MPaCD取取E(-40, 0)对应于主平面对应于主平面z，于是，分别以，于是，分别以ED及及EC为直径为直径画圆，即得三向应力圆。画圆，即得三向应力圆。36而最大正应力与最大切应力则分别为：而最大正应力与最大切应力则分别为：MPa1 .682MPa1 .9631max1maxMPa0 .40MPa90. 3MPa1 .96321EDC2. 主应力与最大应力主应力与最大应力由上述分析可知，主应力为：由上述分析可知，主应力为：3785 空间应力状态的广义胡克定律空间应力状态的广义胡克定律 对于各向同性材

24、料，它在各个方向上应力与应变之对于各向同性材料，它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料：间的关系相同。因此，对于各向同性材料： (1)(1)在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变；垂直的平面内不会发生切应变； (2)(2)在在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切

25、应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。38一、双向应力状态的广义胡克定律一、双向应力状态的广义胡克定律11(b)22(c)1122(a) 当材当材料处于双向应力状态料处于双向应力状态(图图a)时，为计算沿两个主时，为计算沿两个主应力方向的应变应力方向的应变1和和2 ，可按叠加原理将原应力状态分解，可按叠加原理将原应力状态分解为图为图b和图和图c两种单向应力状态的叠加。两种单向应力状态的叠加。 39E11 (a) 式中式中E为拉、压弹性模量。而垂直于为拉、压弹性模量。而垂直于1或或2方向的线应变方向的线应变分别为：分别为： 当材料处于图当材料处于图b或

26、图或图c所示单向应力状态时，沿主应力所示单向应力状态时，沿主应力1或或2方向的线应变分别为：方向的线应变分别为：E112 (b) E22E221 式中式中 为泊松比。为泊松比。因此因此当材料处于图当材料处于图a所示双向应力状态所示双向应力状态时，沿两个主应力方向的应变时，沿两个主应力方向的应变1和和2分别为：分别为：40yxyx图 1311 EEEE1222221111GEEEExxyxyyyxx (8-20) 上式即上式即双向应力状态下的广义胡克定律双向应力状态下的广义胡克定律。而对于图。而对于图1311所示平面应力状态，广义胡克定律表达式为所示平面应力状态，广义胡克定律表达式为 ： (8-

27、21) 式中式中xy是在是在xy平面内由切应力平面内由切应力x或或y所引起的切应变，所引起的切应变，G是是切变模量。切变模量。 41二、空间应力状态的广义胡克定律二、空间应力状态的广义胡克定律)(1)(1)(1213313223211EEE当空间应力状态以主应力表示时，广义胡克定律为：当空间应力状态以主应力表示时，广义胡克定律为：式中，式中，e1，e2，e3分别为沿主应力分别为沿主应力1，2，3方向的线应变方向的线应变。42一般一般空间应力状态下的广义胡克定律空间应力状态下的广义胡克定律为：为：)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEeeeGGGzxzxyzyzxyxy43例题例题86

28、 有一边长有一边长a=200mm的立方体混凝土试块，无空隙的立方体混凝土试块，无空隙地放在刚性凹座里地放在刚性凹座里(图图a) 。上表面受压力。上表面受压力F300kN作用。已作用。已知混凝土的泊松比知混凝土的泊松比 1/6。试求凹座壁上所受的压力。试求凹座壁上所受的压力FN 。 FNxFNyFa图(a)FNx解解：混凝土块在：混凝土块在z方向受压力方向受压力F作用作用后，将在后，将在x、y方向发生伸长。但由方向发生伸长。但由于于x、y方向受到座壁的阻碍，两个方向受到座壁的阻碍，两个方向的变形为零，即方向的变形为零，即0yxyxFFNN上式即为变形条件。另外，根据对称上式即为变形条件。另外，根

29、据对称性可知，试块在性可知，试块在x、y方向所受到的座方向所受到的座壁反力壁反力FNx和和FNy应相等，即应相等，即44FNxFNyFNy图(b)FNx由三向应力的胡克定律，有：由三向应力的胡克定律，有：0)(10)(1xzyyzyxxEE由上式可解出：由上式可解出：zyx1由于试块较小，可由于试块较小，可近似认为应力分布均匀近似认为应力分布均匀，则，则22N2N,aFaFaFzyyxx45将有关数据代入，可得将有关数据代入，可得kN60N106010200105 . 1MPa5 . 1)5 . 7(611611MPa5 . 7Pa105 . 7102001030036262NN66232za

30、FFaFxyxzyx46单元体受力变形时其体积的改变率称为单元体受力变形时其体积的改变率称为体应变体应变q q。 123213dzdydxdzdydxdzdydxVVV321111eeeq 设单元体变形前三个设单元体变形前三个边长分别为边长分别为dx、dy、dz，在受力变形后其边长分别在受力变形后其边长分别为为dx(1+e1)、dy(1+e2)、dz(1+e3)，故体应变为：，故体应变为：三、体应变的概念三、体应变的概念47将上式展开并略去高阶微量将上式展开并略去高阶微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利，再利用各向同性材料的广义胡克定律可得：用各向同性材料的广义胡克定律可得：3

31、2132121eeeqE 在一般空间应力状态下在一般空间应力状态下，由于单，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于该平面内的二向等值拉压剪切相当于该平面内的二向等值拉压，它们引起的体应变为零，故它们引起的体应变为零，故体应变只体应变只与三个线应变之和有关，即：与三个线应变之和有关，即：zyxzyxEeeeq2148例例87 一体积为一体积为10 mm10 mm10 mm的正方形钢块放人的正方形钢块放人宽度也为宽度也为10 mm的钢槽中如图的钢槽中如图a所示。在钢块顶部表面作用所示。在钢块顶部表面作用一合力一合力F8kN的均布压力，试求钢块的三个主应力及

32、体应的均布压力，试求钢块的三个主应力及体应变。已知材料的泊松比变。已知材料的泊松比0.33，材料的弹性模量，材料的弹性模量E = 200 GPa，且不计钢槽的变形。，且不计钢槽的变形。 MPa80Pa1080101010108663AFy解：由分析可知，正解：由分析可知，正方形钢块处于方形钢块处于双向应双向应力状态力状态（图（图b）。在）。在 y方向的应力为压应方向的应力为压应力，即力，即(a)F(b)yxxy490)(1zyxxEMPa4 .26)80(33. 0yxMPa80,MPa4 .26, 03214693211081. 110)804 .26(1020033. 021)(21qE在

33、在x方向，应变为零，则由广义胡克定律方向，应变为零，则由广义胡克定律而而z = 0，代入上式，得，代入上式，得因此，正方形钢块的三个主应力为因此，正方形钢块的三个主应力为由体积应变计算公式由体积应变计算公式(1326)，可得，可得5086 主应力迹线的概念主应力迹线的概念 一、一、m-m截面上的主应力截面上的主应力 （a）（b）（c）abcdemmmmmmxq510)4(212210)4(212230222tan0梁内任一点处的主应力及其方位角：梁内任一点处的主应力及其方位角： 在在梁内任一点处的非零主应力中，其中必有一个为梁内任一点处的非零主应力中，其中必有一个为拉应力，另一个为压应力。拉应

34、力，另一个为压应力。 52二、二、主应力迹线主应力迹线 根根据梁内各点的主应力方向，可绘制两组曲线。在一据梁内各点的主应力方向，可绘制两组曲线。在一组曲线上，各点的切向即该点的主拉应力方向；而在另一组曲线上，各点的切向即该点的主拉应力方向；而在另一组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。上述曲组曲线上，各点的切向则为该点的主压应力方向。上述曲线族称为线族称为梁的主应力迹线梁的主应力迹线。 在钢筋混凝土梁中，主要承力钢筋应大致沿主拉应力迹在钢筋混凝土梁中，主要承力钢筋应大致沿主拉应力迹线配置，使钢筋承担拉应力，从而提高梁的承载能力。线配置，使钢筋承担拉应力，从而提高梁的承载能力。 FxF/2

35、F/25387 强度理论概述强度理论概述 材料在简单应力状态下的强度可通过试验加以测定。材料在简单应力状态下的强度可通过试验加以测定。但是材料在但是材料在复杂应力状态复杂应力状态下的强度，则下的强度，则不可能总是由试不可能总是由试验来测定验来测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律。寻求材料强度破坏的规律。人们根据长期的实践和大量人们根据长期的实践和大量的试验结果，对材料失效的原因提出了各种不同的假说，的试验结果，对材料失效的原因提出了各种不同的假说，通常将这些假说称为通常将这些假说称为强度理论强度理论。材料强度破坏的两种类型：

36、材料强度破坏的两种类型： 1.1.没有明显塑性变形的没有明显塑性变形的脆性断裂脆性断裂； 2.2.产生显著塑性变形而丧失工作能力的产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服塑性屈服。54一、一、最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 最最大拉应力大拉应力是引起材料断裂的主要因素。是引起材料断裂的主要因素。无论材料无论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力处于何种应力状态，只要最大拉应力1达到材料在单向达到材料在单向拉伸试验中发生脆性断裂时的强度极限拉伸试验中发生脆性断裂时的强度极限u，材料即发生，材料即发生断裂断裂。即材料断裂破坏的条件为：。即材料断裂破坏的条件为：u1相应的

37、相应的强度条件强度条件为：为：其中，其中， 为对应于脆性断裂的许用拉应力，为对应于脆性断裂的许用拉应力， u/n，其中其中n为安全因数。为安全因数。1 55二、二、最大拉应变理论（第二强度理论）最大拉应变理论（第二强度理论） 最最大拉应变大拉应变是引起材料断裂的主要因素。是引起材料断裂的主要因素。无论材料无论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变处于何种应力状态，只要最大拉应变1达到材料在单向达到材料在单向拉伸试验中发生脆性断裂时的极限拉应变值拉伸试验中发生脆性断裂时的极限拉应变值u，材料即，材料即发生断裂发生断裂。即材料断裂破坏的条件为：。即材料断裂破坏的条件为：u1ee)(13211E复杂应

38、力状态下的最大拉应变为复杂应力状态下的最大拉应变为：而材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变为：而材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变为：Euue56u321)(考虑安全因数后，第二强度理论的考虑安全因数后，第二强度理论的强度条件强度条件为：为：则材料断裂破坏的条件可改写为则材料断裂破坏的条件可改写为)(321 当当脆性材料处于双向拉伸脆性材料处于双向拉伸压缩应力状态，且应力压缩应力状态，且应力值不超过拉应力值时，该理论与试验结果基本符合。但值不超过拉应力值时，该理论与试验结果基本符合。但对于脆性材料双向受拉或受压的情况，该理论与试验结对于脆性材料双向受拉或受压的情况，该理论与试验结果却完全不符。果却完

39、全不符。 57三、三、最大最大切应力切应力理论（第三强度理论）理论（第三强度理论） 最最大切应力大切应力是引起材料屈服的主要因素。是引起材料屈服的主要因素。无论材料无论材料处于何种应力状态，只要最大切应力处于何种应力状态，只要最大切应力max达到材料在单达到材料在单向拉伸屈服时的最大切应力向拉伸屈服时的最大切应力s ，材料即发生屈服破坏，材料即发生屈服破坏。即材料屈服破坏的条件为：即材料屈服破坏的条件为：umax复杂应力状态下的最大切应力为复杂应力状态下的最大切应力为：231max58而材料单向拉伸屈服时的最大切应力则为而材料单向拉伸屈服时的最大切应力则为 ：2su考虑安全因数后，考虑安全因数

40、后，第三强度理论第三强度理论的的强度条件强度条件为：为：则材料屈服破坏的条件可改写为则材料屈服破坏的条件可改写为s3131 这这一理论与试验符合较好，比较满意地解释了塑性一理论与试验符合较好，比较满意地解释了塑性材料出现屈服的现象，因此在工程中得到广泛应用。但材料出现屈服的现象，因此在工程中得到广泛应用。但对于三向等值拉伸情况，按该理论分析，材料将永远不对于三向等值拉伸情况，按该理论分析，材料将永远不会发生破坏，这与实际情况不符。会发生破坏，这与实际情况不符。 59 构件因其形状和体积发生改变而在其内部积蓄的能构件因其形状和体积发生改变而在其内部积蓄的能量，称为变形能。通常将构件单位体积内所积

41、蓄的变形量，称为变形能。通常将构件单位体积内所积蓄的变形能，称为能，称为比能比能。比能可分为。比能可分为形状改变比能形状改变比能和和体积改变比体积改变比能能两部分两部分 。 该理论认为该理论认为形状改变比能形状改变比能是引起材料屈服的主要因是引起材料屈服的主要因素。素。无论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能无论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能vd达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值vdu，材料即发生屈服破坏材料即发生屈服破坏。即材料屈服破坏的条件为：。即材料屈服破坏的条件为：四、四、形状改变比能理论形状改变比能理论理论（第四强度理论

42、）理论（第四强度理论） dud60而材料单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值为而材料单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值为 ：考虑安全因数后，考虑安全因数后，第四强度理论第四强度理论的的强度条件强度条件为：为：则材料屈服破坏的条件可改写为则材料屈服破坏的条件可改写为三向应力状态下的形状改变比能为三向应力状态下的形状改变比能为：)()()(61213232221dEv2sdu31Es213232221)()()(21)()()(2121323222161 需要指出的是，需要指出的是，破坏形式不但与材料有关，还与应破坏形式不但与材料有关，还与应力状态等因素有关力状态等因素有关。例如由低碳钢制成的等直杆

43、处于单例如由低碳钢制成的等直杆处于单向拉伸时，会发生显著的塑性流动；但当它处于三向拉向拉伸时，会发生显著的塑性流动；但当它处于三向拉应力状态时，会发生脆性断裂。低碳钢制圆截面杆在中应力状态时，会发生脆性断裂。低碳钢制圆截面杆在中间切一条环形槽，当该杆受单向拉伸时，直到拉断时，间切一条环形槽，当该杆受单向拉伸时，直到拉断时，也不会发生明显的塑性变形，最后在切槽根部截面最小也不会发生明显的塑性变形，最后在切槽根部截面最小处发生断裂，其断口平齐，与铸铁拉断时的断口相仿，处发生断裂，其断口平齐，与铸铁拉断时的断口相仿，属脆性断裂。这是因为在截面急剧改变处有应力集中，属脆性断裂。这是因为在截面急剧改变处

44、有应力集中，属三向拉应力状态。相应的切应力较小，不易发生塑性属三向拉应力状态。相应的切应力较小，不易发生塑性流动之故。又如大理石在单向压缩时，其破坏形式为脆流动之故。又如大理石在单向压缩时，其破坏形式为脆性断裂；而处于双向不等压应力状态时，却会显现出塑性断裂；而处于双向不等压应力状态时，却会显现出塑性变形。性变形。62五、五、相当应力相当应力 上述四个强度理论的强度条件可统一写作如下形式：上述四个强度理论的强度条件可统一写作如下形式：r 此处此处为根据拉伸试验确定的材料的许用拉应力为根据拉伸试验确定的材料的许用拉应力，r为三个主应力按不同强度理论的组合，称为为三个主应力按不同强度理论的组合，称

45、为相当相当应力应力。表。表13-1示出了前述四个强度理论的相当应力表示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。达式。 63相当应力表达式强度理论名称及类型 第一类强度理论(脆性断裂的理论) 第二类强度理论(塑性屈服的理论) 第一强度理论 最大拉应力理论 第二强度理论 最大拉应变理论 第三强度理论 最大切应力理论 第四强度理论 形状改变能理论1r1321r2313r2/1213232221r4 21表8-1 四个强度理论的相当应力表达式64例题例题88 图示一简支工字组合梁，由钢板焊成。已知：图示一简支工字组合梁，由钢板焊成。已知：F = 500kN，l = 4m。求：。求：(1) 在危险截面上位

46、于翼缘与腹板交界处的在危险截面上位于翼缘与腹板交界处的A、B两点的主两点的主应力值，并指出它们的作用面的方位；应力值，并指出它们的作用面的方位；(2) 根据第三、四强度理论，求出相应应力值。根据第三、四强度理论，求出相应应力值。 l/2Fl/2A单位：cm2.42.44222142zB65M图+Fl/4xxA点的应力状态F/2F/2Fs图+MPa19.85yIMzzxMPa13.23bIQSzzx解：在跨中左侧截面的解：在跨中左侧截面的A点处的应力状态为：点处的应力状态为：A点的主应力点的主应力 000222314575151430151302825430. 022tan007.9188. 5

47、22；，；xxxxxMPaMPa66xxB点的应力状态MPa1 .94321MPa9 .964222132322214r22313rxxxxMPa1 .94MPa9 .96151445751514MPa88. 50MPa07.91MPa13.23MPa19.853r3r10321xx，；，第三、四强度理论的相当应力第三、四强度理论的相当应力在跨中左侧截面的在跨中左侧截面的B点处的应力状态为点处的应力状态为67例题例题89 试对图试对图a所示单元体写出第一、二、三、四强度理所示单元体写出第一、二、三、四强度理论的相应应力值，设论的相应应力值，设 = 0.3。 单位：MPa2015(a)20(b)解：解： 由图由图a可知，可知， x=15MPa 为主应为主应力，其它两个主应力则可由纯剪切应力，其它两个主应力则可由纯剪切应力状态力状态 = 20MPa 确定确定(图图b)。其主应。其主应力为：力为： MPa15MPaMPa202020223168MPa201rMPa5 .21)20(15(3 . 0202r03rMPa75.3720)20()20(151520212224r四个强度理论的四个强度理论的相当应力相当应力为：为：