737线性代数 I

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1、线性代数 I2007-9-10个人信息姓姓 名名 温道伟联系方式联系方式 87952402（O） 助教姓名助教姓名 杨登允联系方式联系方式 课程简介线性代数：线性代数：研究由一个非空集合及其上的线性运算所 构成的代数系上的问题的一个数学分支主要研究对象：主要研究对象：（1）线性方程组（2）线性空间及其向量（3）线性空间上的线性映射（4）矩阵预备知识集合1. 集合集合1.1 定义：定义：集合集合就是由一些确定的对象所组成的整体集合的元素元素1.2 记号记号集合：,YXBA元素：元素 在集合 中：元素 不在集合 中：集合 中的元素的个数：,yxbaaaAAAAAaAa集合1.3 例例（1）N（2）

2、Z,Q,R,C（3）（4）（5）不包含任何对象的集合是浙江大学的一名2007级本科生xxX|1, 1 A, 3 , 2 , 1集合1.4 集合的子集集合的子集1.4.1 定义：定义：设 是两个集合。我们称 是 的一个子集子集如果 中的任一个元素都是 中的元素，记作 。AB1.4.2 性质性质（1）给定任意一个集合 ，有 。（2）对任意的集合 ，我们有,A BA且)AB AAA,AB AbBbABBA,BABA(即 有 ，集合1.5 集合的幂集集合的幂集1.5.1 定义：定义：设 是一个集合。我们称由 的所有子集所构成的集合为 的幂集幂集，记为 或 。1.5.2 例例（2） ；（1） ；1.5.

3、3 性质：性质：, ,Ba b c=2A( )P AA2A =3B =1,1A=-AA24A=；28B=nAnA22, ,2BcbcabacbaB,1,1 ,2AA集合1.6 两个集合的交集、并集、余集两个集合的交集、并集、余集（1） 与 的交集交集为（2） 与 的并集并集为（3） 在 中的余集余集为设 是两个集合。ABBABA,A B且或且BxAxxBA|BxAxxBA|BxAxxBA|集合1.7 两个集合的直积两个集合的直积1.7.1 定义：定义：设 是两个集合。我们称集合是 与 的直积直积，记作 。1.7.2 例例所有平面上的点在平面直角坐标系下的坐标表示所构成的集合BA,A BBAba

4、ba,| ),(2R都是实数,| ),(BbAaba非空集合间的映射2 非空集合间的映射非空集合间的映射2.1 定义：定义： 设 是两个非空集合。我们称集合 到 的一个对应 是 到 的一个映射映射，如果 ，根据对应 存在唯一的一个元素与之对应。记作如果 ，则称集合 为 在 下的BABA,A B完全原像完全原像，b记为 。如果 ，则称集合 为 在 下的完全原像完全原像，C记为 。baBA:BbAa)(1C)(|CaAaBC )(1b)(|baAaBb非空集合间的映射2.2 例例（1）（2）对实数取绝对值（3）数的加法（4）恒等映射dcadcba321,3 , 2 , 1:aaAAIA:非空集合间

5、的映射2.3 两个映射相等两个映射相等设 和 是两个映射。我们说映射 与 相等相等，如果下述条件成立：（2） ，有 。（1）,AC BD=DC :BA:)()(aaCAa非空集合间的映射2.4 映射的分类映射的分类2.4.1 单射：单射：设 是一个映射。我们称 是一个单射单射，如果 中的不同元素根据映射 所对应的 中的元素也是不同的；即BA2.4.2 性质：性质： 不是单射BA:)()(,212121aaaaAaa2)(. .1btsBb非空集合间的映射2.4 映射的分类映射的分类2.4.3 满射：满射：设 是一个映射。我们称 是一个满射满射，如果 中的任一元素根据映射 都存在 的一个元素与它

6、相对应，即BA2.4.4 性质：性质： 不是满射BA:batsAaBb)(. .0)(. .1btsBb非空集合间的映射2.4 映射的分类映射的分类2.4.5 双射：双射：设 是一个映射。我们称 是一个双射双射，如果它既是单射，又是满射。2.4.6 性质：性质： 是双射有BA:Bb1)(1b二元运算3二元运算二元运算3.1 定义：定义：, ,A B C设 是三个非空集合。我们把一个 到 的映射称为定义在 上取值于 的一个二元运算二元运算。C,A BCBA二元运算3.2 例例（2）设 是三个非空集合，我们记由 到 的所有（1）数的四则运算映射所构成的集合为 。 我们定义则“ ”定义了一个二元元算

7、BA, ,A B C( , )Map A B（映射的乘积映射的乘积）),(),(CBMapBAMap),(CAMap)()( ,aaAa),(),(),(),(:CAMapCBMapBAMap代数系统4 简单代数系统简单代数系统4.1 定义：定义：设 是一个非空集合。我们称 到 的一个映射为 的一个代数运算的一个代数运算（或 上的一个封闭的二元运算上的一个封闭的二元运算）我们称 及其上的一些代数运算 为一个12,nfffAAAAA代数系统代数系统，记为 。4.2 例例（1）复数集及其上的加法运算。12:,nA fffAA( , ):Map A A（2） ，这儿 是一个非空集合。A代数系统4.3

8、 半群半群4.3.1 定义：定义：设 是一个代数系统。我们称 是一个半群半群，如果运算“ ”满足结合律，:G:G即4.3.2 例例( , ):Map A A（2） ，这儿 是一个非空集合。A（1）复数集及其上的加法运算。)()(,cbacbaGcba（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式nxn所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个nx半群。代数系统4.4 幺半群幺半群4.4.1 定义：定义：设 是一个半群。我们称 是一个幺半群，如果 关于运算“ ”:G:G有单位元，即4.4.2 例例( , ):Map A A（2） ，这儿 是一个非空集合。AGaeaeaGatsGe. .（1）复数集

9、及其上的加法运算。（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式nxn所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个nx幺半群。代数系统4.5 群群4.5.1 定义：定义：设 是一个幺半群， 是其单位元。我们称 是一个群群，如果 中的每个元素关于:G:G运算“ ”都可逆，即4.5.2 例例( , ):Map A A（2） ，这儿 是一个非空集合。AGe（1）复数集及其上的加法运算。abebatsGbGa. .（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式nxn所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个nx群。代数系统4.6 加法群（或交换群）加法群（或交换群）4.6.1 定义：定义：设 是一个群。我们

10、称 是一个加法群加法群，如果运算“ ”满足交换律，:G:G即 。此时我们记“ ”为“ ”。+abbaGba ,4.6.2 例例（1）复数集及其上的加法运算。( , ):Map A A（2） ，这儿 是一个非空集合。A（3）设R 是由所有的次数 的实系数多项式nxn所构成的集合。则R 关于多项式的加法构成一个nx群。代数系统4.7 环环4.7.1 定义：定义：设 是一个代数系统。我们称 是一个环环，如果下列条件满足:,R:,R:R（3）运算“ ”对“ ”满足左、右分配律，即（2） 是一个半群。（1） 是一个加法群。我们记其单位元为0。:R+4.7.2 例例（2） ，这儿 是复数集。（1）复数集及

11、其上的加法运算。 ,: ),(AAMapA,)(,cabacbaRcba代数系统4.8 交换环交换环4.8.1 定义：定义：设 是一个环。我们称 是一个交换环交换环，如果运算“ ”满足:,R:,R交换律。4.8.2 例例（2） ，这儿 是复数集。（1）复数集及其上的加法运算。 ,: ),(AAMapA代数系统4.9 含幺环含幺环4.9.1 定义：定义：设 是一个环。我们称 是一个含幺环含幺环，如果 关于运算“ ”:,R:,R具有单位元。R4.9.2 例例（2） ，这儿 是复数集。（1）复数集及其上的加法运算。 ,: ),(AAMapA代数系统4.10 域域4.10.1 定义：定义： 设 是一个

12、代数系统。我们称 是一个域域，如果下列条件满足:,R:,R:R（3）运算“ ”对“ ”满足左、右分配律，即（2） 是一个交换群。（1） 是一个加法群。我们记其单位元为0。+4.10.2 例例（2） ，这儿 是复数集。（1）复数集及其上的加法运算。 ,: ),(AAMapA,)(,cabacbaRcba:0R代数系统4.10.2 例例（3）集合Q Q 关于数的baba,|2)2(加法和乘法构成一个域。证明：（i）Q 关于加法构成一个加法群。)2(a)是一个代数系统，即加法的封闭性。(b)是一个半群，即结合律。(c)是一个幺半群，即存在零元。(d)是一个群，即逆元存在。(e)是一个交换群，即交换律

13、。（ii）Q 关于乘法构成一个交换群。0 )2(略。几何向量的线性运算5 几何向量的线性运算几何向量的线性运算5.1 几何向量几何向量5.1.1 定义：定义：我们称用有向线段表示的向量为几何向量几何向量。5.1.2 坐标表示：坐标表示：设在空间直角坐标系中的两个点的坐标为123123( ,),(,)A x xxB y yy。则有向线段 所表示的AB 几何向量 可用坐标表示为5.1.3 几何向量的负向量几何向量的负向量5.1.4 零向量零向量),(332211xyxyxy几何向量的线性运算5.2 几何向量的加法几何向量的加法5.2.1 平行四边形法则平行四边形法则OAOBOC+= CBOA5.2

14、.2 三角形法则三角形法则5.2.3 坐标表示：坐标表示：123123( ,),(,)OAx x xOBy yy= 设则112233(,)OAOBxy xyxy+=+ 5.2.4 为什么称为加法？为什么称为加法？我们用 表示由所有的几何向量构成的集合。则是一个加法群。3R:3R几何向量的线性运算5.3 几何向量与数量的乘法（数乘运算）几何向量与数量的乘法（数乘运算）5.3.1 定义：定义：设 是一个几何向量， 是一个实数。我们定义 是一个与 在一条直线上的几何向量，其长度是 的 倍，其方向由 确定：如果 ，则 与 同向。0aaaa如果 ，则 与 反向。0a5.3.2 单位向量单位向量aaa几何

15、向量的线性运算5.3.3 数乘运算的坐标表示数乘运算的坐标表示设向量 ， 是一个实数。则a5.3.4 数乘运算的性质数乘运算的性质（4）（3）（2）（1）),(321axaxaxa) 1( ,1)()(abbababa )(aaa)(),(321xxx多元向量的线性运算6 元元向量的线性运算向量的线性运算6.1 元向量元向量6.1.1 定义：定义：我们称由 个数 所组成的有序12,nx xx我们称 为这个向量的第 个分量。如果这些数都是实（复）数，则称这个向量为实（复）向量。nnn数组为 元向量，记为 。n12( ,)nx xxiix6.1.2 两个两个 元向量相等元向量相等n多元向量的线性运

16、算6.2 元向量的加法元向量的加法设则定义n5.2.3 坐标表示：坐标表示：123123( ,),(,)OAx x xOBy yy= 设则112233(,)OAOBxy xyxy+=+ ),(),(2121nnyyyxxx),(2211nnyxyxyx多元向量的线性运算6.3 元向量与数量的乘法（数乘运算）元向量与数量的乘法（数乘运算）6.3.1 定义：定义：设向量 ， 是一个数。则定义a6.3.2 数乘运算的性质数乘运算的性质n),(21naxaxaxa),(21nxxx（4）（3）（2）（1）) 1( ,1)()(abbababa )(aaa)(作业P46 习题1, 4, 7, 21, 23, 28, 52, 53, 56P54 补充题11，12，13