二级倒立摆的数字再设计说明

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1、. . . . 二级倒立摆的数字再设计二级倒立摆是一个复杂的，不稳定的高阶非线性系统，国外对此做过很多研究.倒立摆之所以引起人们广泛的兴趣，是因为许多被控对象都可以抽象成为倒立摆模型，在很多领域有着广泛的应用如机器人，航天领域等。倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中的典型物理模型。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如稳定性问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以与跟踪问题等都可以用倒立摆为例加以研究。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉与的主要基础学科:力学，数学和计算机科学进行有

2、机的终合应用。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大的相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现代高新技术的研究具有重要的实践意义。目前，对倒立摆的研究己经引起国外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。摘要倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论与其应用领域里引起人们极大兴趣的问题。它是检验各种新的控制理论和方法的有效性的著名实验装置。作为一个高阶

3、、非线性不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。当数字计算机构成系统的一个组成部分时，需要对连续的控制对象设计数字控制器。本文在阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状之后，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并根据闭环连续系统与其离散系统之间应遵循的某种等价关系，综述了数字控制系统的再设计问题。并且应用这种方法对二级倒立摆系统进行了数字仿真和实时控制，验证了这种方法的有效性。整个论文的完成，以一定的理论为基础，既有数学模型的推导，方法理论的探讨，又有实际的设计过程。而且研究对象相当典型，故本课题有着重大的理论意义和实际意义。关键词倒立摆；数字再设计；离散

4、系统Digital redesigning in double inverted pendulumAbstractThe control of inverted pendulum system has long been considered an intriguing problem for control theory and its applications. It is well known as a test bed for new control theory and techniques. As a highly nonlinear and unstable system, th

5、e stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for researchers in this field because of the difficulty of the problem.When part of a control system is composed of a digital computer, designing a digital controller is needed. After concisely introducing the development and

6、 current situation of inverted pendulum system research, the mechanism and mathematical model of inverted pendulum are presented.On the close-loop continuous system and its discrete system, the method of redesigning a digital control system has been summarized. Digitalsimulation and real-time contro

7、l has been made by using this method ina double inverted pendulum system, and the efficiency of this method isproved. The research of this thesis based on definite theory, including the education of mathematical model, discussion of methodology and the design of real system. Whats more, the research

8、 object is rather typical. So this research has an important academic and practical significance.Keywords inverted pendulum; redesigning of digital; discrete system不要删除行尾的分节符，此行不会被打印50 / 53目录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.1.1 倒立摆的研究意义与背景11.1.2 倒立摆系统的基础理论21.1.3 倒立摆系统的应用和稳定性研究的意义31.2 数字控制系统的再设计31.3 论文

9、的主要容4第2章 数字控制系统的再设计52.1 引言52.2 基于最优等价准则的数字控制系统的再设计52.3 基于平均增益法数字控制系统的再设计62.4 基于闭环状态等价准则数字控制系统的再设计82.5 基于双线性变换近似数字控制系统的再设计92.6 本章小结10第3章 二级倒立摆系统的数学模型113.1 二级倒立摆系统的物理结构和工作原理113.2 二阶倒立摆系统的数学模型123.2.1 系统参数123.2.2 数学模型的推倒133.3 控制对象的基本分析153.3.1 状态反馈矩阵153.3.2 调节器的设计163.4 本章小结20第4章 二级倒立摆系统的数字仿真214.1 引言214.2

10、 应用数字再设计方法对控制对象的离散仿真214.3 本章小结38结论39致40参考文献41附录A42附录B44附录C50千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行绪论课题背景倒立摆的研究意义与背景二级倒立摆是一个复杂的，不稳定的高阶非线性系统，国外对此做过很多研究.倒立摆之所以引起人们广泛的兴趣，是因为许多被控对象都可以抽象成为倒立摆模型，在很多领域有着广泛的应用如机器人，航天领域等。 倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中的典型物理模型。倒立摆本身是一个

11、自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如稳定性问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以与跟踪问题等都可以用倒立摆为例加以研究。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉与的主要基础学科:力学，数学和计算机科学进行有机的终合应用。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大的相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现

12、代高新技术的研究具有重要的实践意义。目前，对倒立摆的研究己经引起国外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。 倒立摆的典型性在于:作为一个装置，成本低廉，结构简单，便于模拟和数字多种不同方式控制。作为一个被控对象，又相当复杂，是高阶次，不稳定，多变量，非线性，强藕合系统。只有采用行之有效的控制方法才能使之稳定。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。 倒立摆的研究可归纳为对非线性多变量绝对不稳定系统的研究，其控制方法和思路对处理一般工业过程也有广泛的用途。近年来国外专家学者对倒立摆进行了大量的研究，人们试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制，以便验证该方法对严重非线性

13、和绝对不稳定系统的控制能力。最初，人们是将倒立摆模型在平衡点线性化，然后用线性控制理论方法(如状态反馈理论)进行控制，近年来，人们将控制理论中的一些新方法用于倒立摆的控制，如神经网络，智能控制方法等。倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器和各类伺服平台的稳定有很大的相似性，同时它还是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究不仅具有重要的应用价值，而且已经成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆系统可以简单地描述为:小车

14、自由地在限定的轨道上左右移动，小车上的倒立摆一端被铰链在小车顶部，另一端可以在小车轨道所在的垂直平面自由转动。通过电机和带传动使小车运动，让倒立摆保持平衡，并保持小车不和轨道两端相撞。在此基础上，在摆杆的另一端铰链其它摆杆，可以组成二级、三级倒立摆系统。该系统是一个多用途的综合性试验装置，它和火箭的飞行与步行机器人关节运动有许多相似之处，其原理可以用于控制火箭稳定发射，且对揭示定性定量转换规律与策略具有普遍意义。倒立摆系统的基础理论经典控制和现代控制理论的主要特征是基于模型的控制。经典控制理论主要采用传递函数、频率特性、根轨迹为基础的频域分析方法，能够很好地解决单输入单输出问题，所研究的系统多

15、半是线性定常系统;分析非线性系统时，采用的相平面法一般也不超过两个变量。现代控制理论采用状态空间法，把经典控制理论中的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组，用以描述系统的动态过程，这种方法可以解决多输入多输出问题，系统既可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。单级倒立摆系统的控制对象是一个单输入(力)和两输出(角度和位移)的非最小相位系统。应用经典控制理论中解决单输入多输出系统的控制方法，首先对系统进行力学分析，应用牛顿第二定律，建立小车在水平方向运动和摆杆旋转运动的方程，并进行线性化和拉氏变换，得出传递函数，从而得到零、极点分布情况。然后根据闭环系统稳定工作的思想设计控制器。为此，需引

16、入适当的反馈，使闭环系统特征方程的根都位于左平面上。用经典控制理论的频域法来设计非最小相位系统的控制器，这并不需要十分精确的控制对象数学模型，因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量，就能获得系统参数很宽围的稳定性。目前，应用于倒立摆系统的控制规律包括:(1) PID控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，就可以设计出PID控制器来实现其控制。(2)状态反馈H co控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，可应用H co

17、状态反馈和Kalman滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。(3)利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。(4)神经网络控制，神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性。也可以将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的

18、无模型学习控制。(5)遗传算法。(6)自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。(7)模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。(8)使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等。倒立摆系统的应用和稳定性研究的意义 在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一种控制装置，它结构简单、价格低廉、便于模拟和实现多种不同的控制方法。作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强祸合的快速系统，因此只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID

19、、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制与人工神经元网络等，都能在倒立摆系统控制上得以实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。数字控制系统的再设计在具有连续控制对象的控制系统中，由于数字计算机的引入，数字控制系统的分析，设计和实现方法都产生了一些待研究的新课题。如数字再设计问题、考虑运算时间延迟问题、量化误差问题等等。在连续控制系统中，测量仪表得的信号经过变送器连续不断地送到调节仪表，调节仪表也连续不断地把算得的信号送到执行机构。控制器是由连续调节器构成的。当数字计算机作为控制系统是组成部分时，计算机能够接受的信息是数

20、字量，根据所得到的信息经过控制系统算法计算，得到的控制也是数字量。因此在计算机与受控对象，计算机与执行机构之间应建立必要的联系。模拟量输入计算机输出控制量的过程如图1-1所示。保持器授控对象采样器D/A计算机A/D图1-1计算机控制系统结构图其中A/D为模数转换器，D/A为数模转换器。另外，由于数字计算机的引入，控制方案应采取数字控制器的设计方法。而对于连续的控制对字控器一般有两种方法：一种方法是用连续系统理论设计连续控制器，然后再将控制器离散化，得到离散控制器，用计算机实现；另一种方法是一将连续的控制对象离散化，用离散系统理论设计控制器参数，用计算机实现。这两种方法各有其优缺点。前一种方法的

21、优点是工程技术人员对连续系统的设计经验比较丰富，缺点是连续设计方法不能与Z平面的零、极点直接发生联系，缺点是设计者难以确切地得出改善系统性能与Z平面上零、极点变化之间的关系。大家知道，在控制系统是设计中，对于连续系统的控制对象，很容易求出系统的控制规律。而一般在用控制器实现离散控制系统时，如果采样周期选得很小，则系统离散化时只考虑将控制对象离散化，而将连续系统设计出的控制规律近似地作为其历史那系统的控制规律，实际实现时并无多大问题。但当采样周期选得较大时，将连续系统设计的控制规律直接应用到离散控制系统实现时，系统的动态响应将变坏甚至出现不稳定现象。因此，就必需把所设计的连续系统的控制规律转换成

22、离散系统的控制规律。我们把根据闭环连续系统与其离散化的闭环系统之间的某种等价关系，由设计出来的连续系统的控制规律再求出离散控制系统的龙制规律的过程叫做数字控制系统的再设计。Melzer和BCKuo在1971年首先提出基于最优准则对数字控制系统进行再设计。并给出了离散控制系统的状态反馈距阵的近似表达式。Kleinman和Rao提出了用平均增益法对数字控制系统进行再设计,他们是通过使某种给定性能指标达到最小用Taylor展开逼近距阵指数而得到离散系统状态反馈距阵的近似表达式。根据以上提到的各种准则或设计方法,综述了数字控制系统的再设计问题。通过仿真实例说明了数字再设计方法是设计数字控制器的一种即简

23、单而又比较准确的方法。论文的主要容本文系统的论述了数字控制系统再设计方法，通过对闭环连续系统与其相应的闭环离散系统之间应遵循的某种等价关系或某种设计方法，详细讨论了数字控制系统的再设计方法，并且给出了一个实用性的结果。通过建立二级倒立摆的数学模型，根据给出的设计方法对二级倒立摆进行了数字仿真。数字控制系统的再设计引言在有计算机参与的具有连续受控对象的控制系统中，对此连续控制系统设计数字控制器是必要的。而对于连续的控制对象设计数字控制器一般有两种方法：一种方法是应用连续系统理论得到连续的控制规律，然后再将控制规律离散化，用控制器实现；另一种方法是将连续的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参

24、数。而所谓对连续控制系统进行数字再设计，就是根据连续系统与相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律的问题。本章将详细讨论根据以下各种准则或设计方法，对连续控制系统进行数字再设计。最优等价准则平均增益法闭环系统状态等价准则双线性变换法基于最优等价准则的数字控制系统的再设计设线性定常系统为 (2-1)其初始条件为x(t)=x。,式中x为n维状态变量，u为m维控制向量。A,分别为nn,nm维常值距阵。寻求最优控制u，使性能指标J= (2-2)为最小。其中Q，R分别为nn,mm维正半定和正定对称矩阵。当满足（A，B，H）是完全能控和完全能观测时（H是任一使的nn矩阵），最优闭环控制

25、系统渐近稳定，且最优控制为 (2-3) (2-4)其中，F为状态反馈矩阵，P为Riccati方程 (2-5)的解，取采样周期为T,离散化受控系统和性能指标分别为 (2-6) (2-7)其中 (2-8)而由（2-6）式和（2-7）式描述的离散化控制系统的最优控制为 (2-9) (2-10)其中F（T）为离散系统的状态反馈矩阵，P（T）为离散Riccati方程 (2-11)的解。为了建立连续系统与离散系统控制规律之间的关系，将F（T）、P（T）在T=0的邻域展开成Taylor级数，即 （2-12、2-13）综合（2-11）式（2-13）式，经过化简整理，并考虑到当T=0时，离散系统（2-6）式和（

26、2-7）式即为连续系统（2-1）式和（2-2）式。可得离散系统状态反馈矩阵F（T）的Taylor展开的依次近似为 (2-14)同理可求得F（T）Taylor展开的二阶近似表达式为 (2-15)由此，根据最优等价准则在闭环连续系统与其离散系统的控制规律之间建立了关系。基于平均增益法数字控制系统的再设计 设如（2-1）式的控制系统 (2-16)其控制规律由下式给出 (2-17)其中，v为m维输入向量，而F，G分别为mn,mm维矩阵。对于 (2-18)式，（2-17）式所描述的线性系统，Kleinman和Rao提出用平均增益法 对其进行离散化，即使性能指标 (2-19)为极小。得到离散化系统与连续系

27、统的控制之间的关系为 (2-20)改写闭环连续系统与其控制规律为如下形式 （2-20，2-21）求解（2-21）式，得 (2-22)设对应于（2-16）式和（2-17）式的闭环离散系统和控制规律为 (2-23)由（2-19）式，（2-22）式和（2-23）式，可得连续系统的F，G与其离散化后系统的F（T），G（T）的关系为 (2-24)用Pade展开逼近矩阵指数，即其中取Pade展开的一次近似，即可，得 (2-25)将（2-25）式代入（2-24）式可得即有 （2-26，2-27）同理用Pade展开的二次近似逼近矩阵指数可求得因此，由平均增益法也可建立闭环离散系统的状态反馈矩阵F（T）与其连续

28、系统（A，B，F）之间的关系。基于闭环状态等价准则数字控制系统的再设计对于（2-16）式描述的线性系统，控制规律由（2-17）式给出，其闭环系统的状态方程为 (2-28)在时间间隔Kt0，求解最优控制率，使得如下代价函数极小LQR问题的解是一个全状态反馈控制器。它可以通过适当选取权矩阵Q和R，在控制信号能量和输出性能之间进行调整。线性二次最优控制系统是线性的，性能泛函是状态变量和控制变量的二次型函数的积分，则这样的最优控制问题称为线性二次型最优控制问题。简称线性二次型。线性二次型问题的控制规律是状态变量的线性函数，因而可以通过状态反馈实现闭环最优控制理论的最重要成果之一，在工程上应用具有重要意

29、义。状态调节器（LQR）二次型性能泛函的一般形式如下：式中： Q : nn 维半正定的状态加权阵 R : mr维正定的状态加权阵 S : nn 维半正定终端加权阵在工程中，Q，R常数对称而且为对角型。调节器，状态调节器，输出调节器使 Jmin 的实质在于用不大的控制来保持较小的误差，达到能量和误差综合最优的目的。有限时间状态调节器调节器的任务是：当系统状态偏离了平衡状态时，能在消耗不太多能量的情况下，保持系统状态各分量尽量接近平衡状态。这类问题通常把初始状态向量作为扰动，而把零状态作为平衡状态。因此调节器问题就成为寻求最优控制规律。在有限时间，使系统由初始状态转移到状态空间原点，并使性能泛函取

30、极值。设线性定常系统y=cxx ,u ,y 为 6，1，3维向量性能泛函u无具体限制，寻求最优控制，使Jmin P满足 证明：若为状态方程的解时=考虑到Riccati 方程+P+PA=PBP（）=s有 0=将上式乘以加到性能指标，得J=上式中，第二项为一个数定为正数，若想使上式最小，只需要第二项为零。得证无限时间状态调节器上述讨论的状态调节器，虽然最优反馈是线性的，然而由于控制时间有限，系统为时变的，即使状态方程和性能泛函都是定常的。这加大了系统结构的复杂性，关键问题是因为P（t）是时变的，可以证明，当时，即所谓无限时间调节器问题，P（t）将为某一常阵。最优反馈系统变为定常系统。线性定常系统状

31、态完全能控，性能泛函J=u不受约束，Q，R分别为半正定，正定对称常阵。则最优控制存在且唯一式中nn维正定对称常阵，满足Riccati矩阵代数方程最优轨线为闭环状态方程（齐次）的解性能泛函的最小值为式中一般取=0讨论：要求系统为线性定常系统，状态完全能控，因时，性能指标可能。在性能泛函中，t,s=0,终端项无意义，状态状态空间原点。最优控制是全状态线性反馈，结构图与前述一样。构成线性定常闭环系统。闭环系统稳定。（A-）特征值具有负实部。证明：取雅普诺夫函数v(x)=0=0Q半正定，可描述为（A，B，H）能控，能观测。对二阶倒立摆实现控制器时，经过大量仿真和实验，最后选取Q、R为如下各式 Matr

32、ix Q(6,6) 1 0 0 0 0 0 0 64 0 0 0 0 0 0 256 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matrix R(1,1) 0.2可得状态反馈矩阵F为： The feedback matrix F(1,6) is:-2.236520 -37.11373 -97.68616 -2.686924 -15.42850 -13.30350 则得二阶倒立摆最优闭环系统为： (3-8)根据矩阵A、B、F可计算出闭环系统的极点为： The poles of close loop system is -24.94738 + j (19.

33、87066) -24.94738 + j (-19.87066) -3.577426 + j (2.359464) -3.577426 + j (-2.359464) -0.9270846 + j (0.5392367) -0.9270846 + j (-0.5392367)因此经过二次最优调节器设计，二级倒立摆的闭环系统是渐近稳定的。本章小结本章介绍了二级倒立摆的结构示图，并系统的分析了二级倒立摆的工作原理，通过给定的参数推出了二级倒立摆的数学模型，由数学模型求出了系统的状态方程，并求出了闭环系统的极点，通过对系统进行调节器的设计使系统的极点达到渐近稳定。二级倒立摆系统的数字仿真引言仿真就是

34、用模型（数学模型或物理模型）代替实际系统进行试验或研究。它可分为物理仿真和数学仿真，即用模拟计算机仿真和数字计算机仿真。仿真为控制系统的分析、研究和设计提供了快速而又经济的手段。本章首先根据二级倒立摆的物理结构推倒出其数学模型，然后分别应用数字控制系统的数字再设计方法和考虑闭环系统矩阵摄动满足给定条件时对其进行了数字仿真。仿真是通过LCSADP（线性多变量控制系统分析与设计软件包）来完成。下面我们首先简要地推出二级倒立摆系统的数学模型。应用数字再设计方法对控制对象的离散仿真设采样时间为T，求解闭环系统（3-8）式可得 (4-1)将开环系统（3-7）式离散化得 (4-2)其中取离散控制规律 (4

35、-3)得闭环离散系统 (4-4)下面我们将讨论随着采样时间的增大，取对（4-1）式进行仿真，对一样采样周期情况应用数字再设计方法分别取F（T）为 1. 2. 3. 使 对（4-4）式进行仿真，并将仿真结果同对（4-1）式的仿真结果进行比较。并给出了相应情况状态x1、x2、x3的离散仿真曲线。 设初始状态为状态反馈矩阵F取上节线性二次最优调节器设计的结果。当T=0.013秒时 （1）.取，得闭环离散系统的极点为： The poles of close loop system is 0.6999372032 + j (0.1889368856) 0.6999372032 + j (-0.18893

36、68856) 0.9541129701 + j (0.2928535483e-01) 0.9541129701 + j (-0.2928535483e-01) 0.9879959803 + j (0.6927161745e-02) 0.9879959803 + j (-0.6927161745e-02) 状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-1（2）.取 ，闭环离散系统的极点为：The poles of close loop system is 0.6572657424 + j (0.2152761192)0.6572657424 + j (-0.2152761192)0.95362552

37、02 + j (0.2918127060e-01)0.9536255202 + j (-0.2918127060e-01)0.9881058535 + j (0.6971197814e-02)0.9881058535 + j (-0.6971197814e-02)状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-2(3).取，闭环离散系统的极点为：The poles of close loop system is 0.7025756866 + j (0.1777605635)0.7025756866 + j (-0.1777605635)0.9541338085 + j (0.2928261086e-

38、01)0.9541338085 + j (-0.2928261086e-01)0.9879945189 + j (0.6925909932e-02)0.9879945189 + j (-0.6925909932e-02)图4-1图4-2图4-3图4-4状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-3(4).取，闭环系统的极点为： The poles of close loop system is 0.6999405381 + j (0.1889375917)0.6999405381 + j (-0.1889375917)0.9541130874 + j (0.2928685883e-01)0.95

39、41130874 + j (-0.2928685883e-01)0.9879954785 + j (0.6925959108e-02)0.9879954785 + j (-0.6925959108e-02)状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-4当T=0.013秒时，由图4-1至4-4状态x1、x2、x3的仿真曲线可以看出：在分别取,构成闭环离散系统时仿真曲线基本一致。相应情况的闭环极点也基本一样，而取=时，从系统的闭环极点看，用 代替 构成闭环系统，则精度相当好。2.当T=0.04秒时 (1).取 ，闭环离散系统的极点为： The poles of close loop system i

40、s 0.2466346725 + j (0.3305407771) 0.2466346725 + j (-0.3305407771) 0.8628494958 + j (0.8202957053e-01) 0.8628494958 + j (-0.8202957053e-01) 0.9633720344 + j (0.2079306040e-02)0.9633720344 + j (-0.2079306040e-02) 状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-5(2).取，闭环离散系统的极点为：The poles of close loop system is -0.4501406784 +

41、 j (0.0000000000)0.1970156341 + j (0.0000000000)图4-5图4-6图4-7图4-80.8091219919 + j (0.0000000000)0.8285760668 + j (0.0000000000)0.9639109811 + j (0.2164474993e-01)0.9639109811 + j (-0.216447993e-01)状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-6（3）.取，闭环离散系统的极点为：The poles of close loop system is 0.1008541232 + j (0.0000000000)

42、0.7073465636 + j (0.0000000000)0.8651600298 + j (0.7996356814e-01)0.8651600298 + j (-0.7996356814e-01)0.9632187222 + j (0.2081871325e-02)0.9632187222 + j (-0.2081871325e-02)状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-7（4）.取，闭环离散系统的极点为：The poles of close loop system is 0.2466333347 + j (0.3305344351)0.2466333347 + j (-0.33

43、05344351)0.8628530120 + j (0.8203727080e-01)0.8628530120 + j (-0.8203727080e-01)0.9633704000 + j (0.2078897183e-02)0.9633704000 + J (-0.2078897183e-02)状态x1、x2、x3的离散仿真曲线如图4-8由图4-5至4-8中状态x1.x2 .x3的仿真曲线可以看出：在T=0.04秒时，取分别为、构成与的仿真曲线有一定的差别，而=时，仿真曲线基本一致。当时系统的闭环极点之间偏离较大，而当时，闭环极点与系统的极点基本一样。3.当取T=0.05秒时（1）.取，闭环离散系统的极点为：The poles of close loop system is 0.1263201081 + j (0.344612