数学专升本考试试题

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1、高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1下列函数中，当 x1时，与无穷小量 (1 x) 相比是高阶无穷小的是（）A ln( 3x)B x 32x 2xC cos(x 1)D x212曲线 y3x31 在(1,) 内是（）xA处处单调减小B处处单调增加C具有最大值D具有最小值f ( x02h)f ( x0 )1，则 f ( x0 ) 为（）3设 f (x) 是可导函数，且 limhx0A1B0C2D 11x24若 f ()1，则f ( x)dx 为（）xx1

2、0A 1B 1 ln 22C1D ln 25设 uxyz , u 等于（）xA zxyzB xy z 1C y z 1D y z二、填空题：本大题共10 个小题， 10 个空，每空4 分，共 40 分，把答案填在题中横线上。6设 zexyyx2 ，则 z (1, 2)=y7设 f ( x)exln x ，则 f (3)8 f ( x)x ，则 f ( 1 )1xx9设二重积分的积分区域 D 是1x2y 24，则 dxdyD10 lim (11) x =x 2x11函数 f (x)1 (exe x ) 的极小值点为212若 limx2ax 43 ，则 ax1x 113曲线 yarctanx 在横

3、坐标为 1 点处的切线方程为14函数 yx2sintdt 在 x处的导数值为021x sin 2x15dx1 1cos2 x三、解答题：本大题共13 小题，共 90 分，解答应写出推理、演算步骤。16（本题满分 6 分）arctan1x0求函数 f (x)x的间断点0x017（本题满分 6 分）计算 lim xx1 x 2x 2 118（本题满分 6 分）1计算 lim ln arcsin x(1x) xx019（本题满分 6 分）1设函数 f (x)xe xx0，求 f ( x) ln(1 x)1x020（本题满分 6 分）求函数 ysin( xy) 的二阶导数21（本题满分 6 分）求曲线

4、 f (x)x42x3 的极值点22（本题满分 6 分）x3计算dx 2x123（本题满分 6 分）若 f ( x) 的一个原函数为xln x ，求xf ( x)dx 24（本题满分 6 分）0k1 ，求常数 k 的值已知1x 2 dx225（本题满分 6 分）求函数 f (x, y)y3x 26x12 y5 的极值26（本题满分 10 分）求( x2y)dxdy ，其中 D 是由曲线 yx 2 与 xy2 所围成的平面区域D27（本题满分 10 分）设 f ( x) x 2aaa3f ( x) dx ，且常数 a1 ，求证： f (x)dx003(a1)28（本题满分 10 分）求函数 yl

5、n x 的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形参考答案一、选择题1B2B3D4D5D二、填空题6 2e217 e3 18 1319 3x10 e12 51211 x013 y41 ( x 1)2214sin15 04三、解答题16解这是一个分段函数，f ( x) 在点 x0 的左极限和右极限都存在limf ( x)limarctan12x0x 0xlimf ( x)lim arctan 12x0x 0xlimf ( x)limf ( x)x0x 0故当 x0 时，f ( x) 的极限不存在，点 x0 是 f (x) 的第一类间断点111xx1xx21217解

6、原式 = limlim2x 21122xx2x2118解设 f (x)arcsin x (1 x) x 由于 x0 是初等函数 ln f (x) 的可去间断点，1故lim ln f (x)x 0ln lim f ( x)ln limarcsin x(1x) xx0x01ln lim arcsin xlim (1 x) xx 0x 0ln( 0e)ln e119解 首先在 x0 时，分别求出函数各表达式的导数，即111111 )当 x0 时， f ( x) ( xe x )exxe xe x (1x2x当 1x 0 时， f( x)ln( x1)1x1然后分别求出在 x0 处函数的左导数和右导数

7、，即f(0)lim1x1x0111f(0)limex (1) 0xx0从而 f( 0)f(0) ，函数在 x0 处不可导11ex (1x0)所以 f( x)x1x0x120解ysin( x y)ycos(xy)(1y ) cos( xy)y cos(xy)ysin( xy)(1y )ycos( xy)y sin( x y) (1 y )1 cos(x y) ysin( xy)(1y ) 2ysin( xy)(1y ) 21 cos( xy)又由解得 ycos( xy)1cos(xy)cos(x y)2cos(x y) 11cos( xy)代入得 y1cos(xy)sin( xy)1cos( x

8、y) 321解先出求 f ( x) 的一阶导数： f ( x)4x 36x24 x2 (x3 )2令 f( x) 0即 4x 2 (x3)0解得驻点为 x1 0, x23 22再求出 f ( x) 的二阶导数 f( x)12x 212x12x( x 1) 当 x23 时， f ( 3)90 ，故 f ( 3)27 是极小值222160 ，在 (0, 3) 内 f ( x) 0当 x10 时，f (0)0，在 (,0) 内，f (x)2故 x1 0 不是极值点总之曲线 f (x)x42x 2 只有极小值点 x3 222解x3x3x xx(x 21) xxx21x21x21x21xx3dx( xx

9、)dxxdxxdxx 21x2x 2111 x 21d( x 21)1 x 21 ln( x 21)C22x12223解 由题设知 f (x)(x ln x)ln xx(ln x)ln x1故 xf (x)dxx(ln x1)dxx ln xdxxdxln x1dx 21x2221 ln xx 2x2 d (ln x)1 x 2221 ln x x21 x 2 1 dx 1 x 222x21 x 2 ln x1xdx1 x 22221x 2 ln x1x 2C 240kdx01dxklim012 dx24解1x2k1x2a1xaklimarctan x a0klim (arctan a) ka

10、a2又0kdx11x22故k1解得 k1 2225解f2x6,f3y 212xy解方程组2x60得驻点 A0 (3,2), B0 (3,2)3y 2120又Af xx2, Bfxy0,Cfyy6 y对于驻点 A0 : A2, B0,C6y x312，故 B2AC240y2驻点 A0 不是极值点对于驻点 B0 : A2, B0, C6y x312y2故 B 2AC24 0，又A 2 0函数 f ( x, y) 在 B0 (3, 2) 点取得极大值f (3, 2)(2) 391824 53026解 由 yx 2 与 xy 2 得两曲线的交点为 O(0,0) 与 A(1,1)xy2 ( y0) 的反

11、函数为 yx ( x 21x(x 212 y1 y2 )2x dxy) dxdy0dx2y)dy(xxDx02151 x) ( x41 x 4 ) dx0( x 222( 2 x 721 x 23 x5 ) 1033741014027证aa2af ( x)dxxf ( x)dx dx000aaax 2 dx0f (x)dx dx001 x30aaaf (x)dxdx300a 3aa f ( x)dx30aaa3f ( x)dx af ( x)dx003aa3于是 f ( x) dx03(a1)28解 （1）先求函数的定义域为(0,) （2）求 y和驻点： y1ln x，令 y 0 得驻点 x

12、e x2（3）由 y的符号确定函数的单调增减区间及极值当 0x1ln x0 ，所以 y 单调增加；e 时， yx2当 xe 时， y0 ，所以 y 单调减少由极值的第一充分条件可知y x1 为极大值e e（4）求 y并确定 y 的符号：2 ln x 3 ，令 y3y0 得 x e2 x33当 0xe2 时， y0 ，曲线 y 为凸的；3当 xe2时， y0 ，曲线 y 为凹的33根据拐点的充分条件可知点 (e2 ,3 e 2 ) 为拐点2这里的 y 和 y 的计算是本题的关键， 读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x(0, e)e333(e,e2)e2(e 2 , )y0y0就表上所给的 y 和 y 符号，可得到：函数 yln x 的单调增加区间为 ( 0,e) ；x函数 yln x 的单调减少区间为 ( e,) ；x函数 yln x 的极大值为 y(e)1 ；xeln x3函数 y的凸区间为 (0, e2 ) ；xln x3函数 y的凹区间为 (e2 ,) ；xln x333函数 y的拐点为22) x( e, e2（5）因为 limln x0， lim ln xxxx 0x所以曲线 yln x 有x水平渐近线 y0铅垂渐近线 x0（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图