《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解

《《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解（64页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场是电磁场的一种特珠形式。当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。静止电荷产生的静电场、在导电媒质中恒定运动电荷形成的恒定电场以及恒定电流产生的恒定磁场都属于静态电磁场。由麦克斯韦方程组可以看出，当场量不随时间变化时，电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的，也就是说在静态情况下，电场和磁场是各自存在的，我们可以分别讨论。本章将分别介绍静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法，最后介绍静电场边值问题的解法。3.1 静电场分析静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的和特珠的形式。3.1.1 静电场的

2、基本方程和边界条件1 基本方程考虑到电磁场的源量（静止电荷q）和场量（E、D）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出静电场的基本方程为积分形式微分形式以及 （3.1.5）基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场通量源；电力线（E线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。2. 边界条件在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式 或 （3.1.6）表明电场强度的切向分量是连续的。电位移矢量满足的关系式是 或 （3.1.7）表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。若分界面上不存在面电荷，即，则 或 （3.1.8）此时，在分界面上，D

3、的法向分量是连续的。式（3.1.8）可改写为可见，当时E的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。3.1.2 电位函数1. 电位和电位差由静电场的基本方程和矢量恒等式可知，电场强度矢量E可以表示为标量函数的梯度，即 （3.1.9）式中的标量函数称为静电场的电位函数，简称为电位，单位为V（伏特）。此式适用于任何静止电荷产生的静电场，即静电场的电场强度矢量等于负的电位梯度。对于点电荷的电场考虑到以下梯度运算结果则有与式（3.1.9）比较，可得到点电荷q产生的电场的电位函数为 （3.1.10）式中为任意常数。应用叠加原理，根据式（3.1.10）可得到点电荷系、线电荷、面电荷以及体电荷产

4、生的电场的电位函数分别为 （3.1.11） （3.1.12） （3.1.13） （3.1.14）通常用等位面形象地描述电位的空间分布。例如，点电荷电场的等位面是同心球面族。根据和标量函数梯度的性质可知，E线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向。若已知电荷分布，则可利用式（3.1.11）（3.1.14）求得电位函数，再利用求得电场强度。这样做比直接求要简单些。在的两端点乘，得对上式两端从点P到点Q沿任意路径进行积分，得可见，点P、Q之间的电位差的物理意义是把一个单位正电荷从点P沿任意路径移动到点Q的过程中，电场力所做的功。为了使电场中每一点电位具有确定的值，必须选定场中某一固定点作为电位参

5、考点，即规定该固定点的电位为零。例如，若选定Q点为电位参考点，即规定，则P点的电位为 （3.1.15）若场源电荷分布在有限区域，通常选定无限远处为电位参考点，此时 （3.1.16）2. 静电位的微分方程在均匀、线性和各向同性电介质中，是一个常数。因此将代入中，得故得 （3.1.17）即静电位满足标量泊松方程。若空间内无自由电荷分布，即，则满足拉普拉斯方程 （3.1.18）在通过解泊松方程或拉普拉斯方程求时，需应用边界条件来确定常数。下面介绍电位的边界条件。设和是介质分界面两侧、紧贴分界面的相邻两点，其电位分别为和。由于在两种介质中E均为有限值，当和都无限贴近分界面，即其间距时，。因此，分界面两

6、侧的电位是相等的，即 （3.1.19）又由可导出 （3.1.20）若分界面上不存在自由面电荷，即，则上式变为 （3.1.21）若第二种媒质为导体，因达到静电平衡后导体内部的电场为零，导体为等位体，故导体表面上，电位的边界条件为 （3.1.22）例3.1.1 求如图2.2.3所示电偶极子的电位解 空间任一点处的电位等于两个点电荷的电位叠加，即式中，对远离电偶极子的场点，则 故得 （3.1.23）应用球面坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度 （3.1.24）显然，此处的运算要比例2.2.1中直接计算电场强度E要简单得多。例3.1.2 求均匀电场的电位分布。解 选定均匀电场空间中的一点o

7、为坐标原点，而任意点P的位置矢量为r，则若选择点o为电位参考点，即，则在球坐标系中，取极轴与的方向一致，即，则有在圆柱面坐标系中，取与x轴方向一致，即，而，则有例3.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为的均匀电荷分布，如图3.1.1所示。求两导体平板之间的电位和电场。解 在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程obaxy图3.1.1 两块无限大平行板方程的解为利用边界条件，得处，处，于是有由此解得最后得3.1.3 导体系统的电容电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系

8、统储存电荷能力的物理量。我们定义两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即 （3.1.25）电容的单位是F（法拉）。电容的大小与电荷量、电位差无关，因为该比值为常数。电容的大小只是导体系统的物理尺度及周围电介质的特性参数的函数。本节介绍双导体系统的电容计算及多导体系统的部分电容的概念。1双导体的电容计算在电子与电气工程中常用的传输线，例如平行板线、平行双线、同轴线都属于双导体系统。通常，这类传输线的纵向尺寸远大于横向尺寸。因而可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度的电容。其计算步骤如下：（1）根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；（2）假定两导体上分别

9、带电荷+q和-q；（3）根据假定的电荷求出E；（4）由求得电位差；（5）求出比值。图3.1.2 平行双线传输线例3.1.4 平行双线传输线的结构如图3.1.2所示，导线的半径为a，两导线轴线相距为D，且，设周围介质为空气。试求传输线单位长度的电容。解：设两导线单位长度带电量分别为和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间德平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故得平行双线传输线单位长度的电容为 （3.1.26）图3.1.3 同轴线b例3.1.5 同轴线的内导体半径为、外导体的内半径为，内外导体间填充介电常数为的均匀电介质，如图3.1.

10、3所示。试求同轴线单位长度的电容。解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和，应用高斯定律求得内外导体间任意点电场强度为内外导体间的电压为同轴线单位长度的电容 （3.1.27）2. 部分电容在工程应用中，经常遇到由三个或更多的导体系统组成的多导体系统。譬如，计及大地作用的架空平行双线传输线、耦合带状线、屏蔽多芯电缆等。在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须将电容的概念推广，引入部分电容的概念。所谓部分电容，是指多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。图3.1.4 多导体系统大地12N（1）电位系数图3.1.

11、4表示N个导体和大地构成的多导体系统，各导体的位置、形状及周围介质均是固定的，取大地为电位参考点（零电位点）。当这个导体系统中的任何一个导体上充以一电荷时，它将以一定的方式使所有导体（包括充以电荷的导体本身）具有一定的电位。由于电位与各导体所带电荷量之间成线性关系，所以各导体的电位为 （3.1.28a）或表示为 （3.1.28b）式中的称为电位系数。下标相同的称为自电位系数；下标不同的称为互电位系数。电位系数有以下特点：（a）在数值上等于第j个导体上的总电量为一个单位，而其余导体上的总电量都为零时，第i个导体上的电位。即（b）只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导

12、体的电位和带电量无关；（c）所有电位系数，且具有对称性，即。（2）电容系数对方程（3.1.28a）求解，可得各导体上的电荷量 （3.1.29a）或表示为 （3.1.29b）式中称为电容系数或感应系数。下标相同的系数称为自电容系数或自感应系数，下标不同的系数称为互电容系数或互感应系数。电容系数具有以下特点：（a）在数值上等于第j个导体的电位为一个单位、而其余导体接地时，第i个导体上的电量，即（b）只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；（c）具有对称性，即；互电容系数，自电容系数；（d）电容系数与电位系数的关系为：式中是方程组（3.1.28）的电

13、位系数组成的行列式，是行列式的余子式。（3）部分电容引入符号和，则方程组（3.1.29）可改写为 （3.1.30a）或表示为 （3.1.30b）上式表明多导体系统中的任何一个导体的电荷是由N部分电荷组成。例如，导体1的电荷的第一部分与导体1的电位（即导体1与地之间的电压）成正比，比值是导体与地之间的部分电容；第二部分与导体1、2间的电压成正比，比值则为导体1、2间的部分电容；。多导体系统中，每一导体与地之间以及与其它导体之间都存在部分电容。是导体i与地之间的部分电容，称为导体i的自有部分电容。是导体i与导体j之间的部分电容，称为导体i与导体j之间互有部分电容。部分电容有以下特点：（a）在数值上

14、等于全部导体的电位都为一个单位时，第个导体上总电荷量的值；（b）在数值上等于第个导体上的电位为一个单位、其余导体都接地时，第个导体上感应电荷的大小；（c）所有部分电容都大于零，即；（d）部分电容具有对称性，即。大地12图3.1.5 大地上空的平行双导线由个导体构成的系统共有个部分电容，这些部分电容形成一个电容网络。以计及大地影响的平行双线传输线为例，如图3.1.5所示，有三个部分电容。导线1、2间的等效输入电容为；导线1和大地间的等效输入电容为；导线2和大地间的等效输入电容为；通过实验测得和，就可计算出各个部分电容。多数实际的多导体系统的各个部分电容只有通过实验测量得到。3.1.4 静电场的能

15、量静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，这表明静电场有能量。电场能量来源于建立电荷系统的过程中外界提供的能量。例如给导体充电时，外电源要对电荷做功，提高电荷的电位能，这就构成了电荷系统的能量。本节要讨论的是静电场的能量，故假设导体和介质都是固定的，且介质是线性和各向同性的。1. 静电场的能量因为要讨论的是系统被充电并达到稳定后的电场能量，故应与充电过程无关。我们假设系统从零开始被充电，充电完毕后的最终电荷分布为、电位函数为。如果在充电过程中使各点的电荷密度按最终值的同一比例因子增加，则各点的电位也将按同一比例因子增加。也就是说，充电过程中某一时刻的电荷分布为，其电位分布就为。令从0到1，把充

16、电过程用无数次增加微分电位的过程的叠加来表示，则当时，对于某体积元，其电位为，欲送入微分电荷，外电源需要作的功是。因此对整个空间，外电源所作的总功为根据能量守恒定律，外电源所作的功转换为电场的能量，因此整个空间增加的电场能量为充电过程完成后，系统的总能量为 （3.1.31）电场能量的单位是J（焦耳）。如果电荷是以面密度分布在曲面上，则式（3.1.31）变为 （3.1.32）注意，式（3.1.31）、（3.1.32）中，分别是电荷元、所在点的电位，积分遍及整个有电荷的区域。对于多导体组成的带电系统，因为每个导体上的电位为常数，则式（3.1.32）变为 （3.1.33）例如，双导体系统被充电后，导

17、体1带电荷为+q，导体2带电荷为-q；电位分别为是和，则电场能量为 （3.1.34）2. 能量密度电场能量存在于整个电场空间。下面导出用电场矢量表示的计算电场能量的公式。将代入式（3.1.31）得上式中应用了矢量公式和高斯散度定理。在式（3.1.31）中的体积分是对整个空间的积分，因为只有那些存在电荷的空间才对积分有贡献，故我们把积分区域无限扩大并不会影响积分的结果。当积分的体积无限扩大时，包围该体积的表面积也将无限扩大。只要电荷是分布在有限区域内，当闭合面无限扩大时，有限区域内的电荷就可近似为一个点电荷。这样，就可利用点电荷产生的电位、电位移矢量D的以下关系， 故，而闭合面，故当时，必有则得

18、 （3.1.35）对于线性和各向同性介质，故上式可表示为 （3.1.36）上式表明电场能量储存在电场不为零的空间，能量密度为 （3.1.37）能量密度的单位是。例3.1.6 半径为a的球形空间均匀分布着体电荷密度为的电荷，试求电场能量。解 方法之一：利用公式（3.1.36）计算根据高斯定律求得电场强度故方法之二：利用公式（3.1.31）计算。先求出电位分布故3.1.5 静电力在静电场中，各个带电体都要受到电场力作用。原则上，带电体之间的静电力可用库仑定律来计算，但对于电荷分布形状较为复杂的带电体，这种计算往往是很困难的。这里介绍用虚位移法来计算静电力。采用虚位移法计算静电力，要用到广义坐标和广

19、义力的概念。所谓广义坐标，是指确定系统中各带电导体的形状、尺寸和位置的一组独立几何量；而企图改变某一广义坐标的力，就称为对应于该坐标的广义力。广义力乘上由它引起的广义坐标的增量，就等于所作的功。在由N个导体组成的系统中，假设只有第i个带电导体在电场力的作用下有一个广义坐标g发生位移，则电场力做功，系统的静电能量增加量为，根据能量守恒定律，该系统的功能关系为 （3.1.38）式中的是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。可分为以下两种情况：1. 假设各带电体的电荷保持不变（恒电荷系统）当第i个导体发生虚位移时，所有带电体都不和外电源连接，此时，则由式（3.1.38）得 故得 （3.1.39）式中

20、的“”号表明此时电场力做功是靠减少系统的电场能量来实现，因为系统与外电源断开，没有提供能量。2.假设各带电导体的电位保持不变（恒电位系统）当第i个导体发生虚位移时，所有导体应分别与外部电源相连接。此时外部电压源供给的能量为 根据式（3.1.33）得到系统的静电能量增量为可见，外电压源向系统提供给系统的能量只有一半是用于静电能量的增加，另一半则是用于电场力做功，即电场力做功等于静电能量的增量故得 （3.1.40）以上两种情况得到的结果应该是相同的。因为事实上带电体并没有发生位移，电场分布当然也没有发生变化，由式（3.1.39）和（3.1.40）求得的是所讨论的系统在当时状态下的电荷和电位所对应的

21、静电力。图3.1.6 部分填充介质的平行板电容器例3.1.7 有一平行板电容器，极板面积为，板间距离为，用一块介电常数为的介质片填充在两极板之间（xa。导线及其周围媒质的磁导率皆为，两导线中通过的电流为。如图3.3.4所示。由于，故在计算导线外部的磁场时，可近似地认为电流集中于导线的几何轴线上。根据安培环路定理和叠加原理，可求得双两导线之间的平面上任一点的磁感应强度为穿过两导线之间轴线方向为单位长度的面积的外磁链为由此得到平行双线传输线单位长度的外自感为 （3.3.37）而两根导线单位长度的内自感为故得平行双线传输线单位长度的电感为2. 互感如图3.3.5所示的两个彼此靠近的导线回路和，回路中

22、的电流产生的磁场除了与回路本身交链外，还与回路相交链。由回路的电流产生的磁场与回路相交链的磁链，称为回路与回路间的互感磁链，用表示。比值 （3.3.38）称为回路对回路间的互感系数，简称互感。互感的单位是H（亨利）。同理，回路对回路间的互感为 （3.3.39）O图 3.3.5两回路间的互感利用矢量磁位可导出计算互感的一般公式。图3.3.5中，回路中的电流在回路上的任一点产生的矢量磁位为则由电流产生磁场与回路相交链的磁链为故 （3.3.40）同样，可导出回路对回路电流的互感为 （3.3.41）式（3.3.40）和（3.3.41）称为纽曼公式，这是计算互感的一般公式。比较该两式可看出，即两个导线回

23、路之间只有一个互感值。例3.3.5 如图3.3.6所示，长直导线与三角形导线回路共面，试计算它们之间的互感。解 设长直导线中通过电流I，根据安培环路定理，得图3.3.6 长直导线与三角形回路o穿过三角形回路面积的磁通为式中的，故则得长直导线与三角形导线回路间的互感为例3.3.6 两个互相平行且共轴的圆线圈，半径分别为和，中心相距为，设（或），求两线圈之间的互感。图 3.3.7 两个平行且共轴的线圈解 如图3.3.7所示,，与之间的夹角，以及由纽曼公式得一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若时，可进行近似于是本题还可以在时的条件下，利用例3.3.1的结果来求得互感M。半径为的小圆线圈中

24、由电流时，它在远区的矢量磁位为在半径为的线圈上，的值为常数，故式中的，故3.3.4 恒定磁场的能量1. 磁场能量电流回路在恒定磁场中要受到磁场力的作用而发生运动，表明恒定磁场储存着能量。磁场能量就是在建立电流的过程中由电源供给的，因为当电流从零开始增加时，回路中感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。假设所有的电流回路都固定不动，即没有机械功，同时假定导线中流过电流时产生的焦耳热损耗可以忽略。这样，外电源所做的功将全部转换为系统的磁场能量。此时，回路上的外加电压和回路中的感应电动势是大小相等而方向相反的。法拉第电磁感应定律指出，回路中的感应电动势等于与回路交链的磁

25、链的时间变化率，即回路j中的感应电动势为而外加电压等于时间内与回路j相连接的电源所做的功为如果系统包括N个回路，增加的磁能就为 （3.3.42）回路j的磁链为 （3.3.43）式中的是互感系数。当时，是回路j的自感系数。将式（3.3.43）代入式（3.3.42）得我们假设各回路中的电流同时从零开始以相同的百分比上升，即，则,于是 （3.3.44）例如，当N=1时，；当N=2时，、，故将式（3.3.43）代入式（3.3.44）得 （3.3.45）式中的A是N个回路在上的合成矢量磁位。上面的结果适用于细导线回路的情况，对于分布电流的情形，在式（3.3.45）中代入得 （3.3.46）上式中的积分是

26、对所有的空间进行的。当然，我们可以把积分区域扩大到整个空间，也不会影响到积分的值。2.能量密度前面导出的计算磁场能量的公式（3.3.45）、（3.3.46）似乎会使人们认为磁场能量只存在于有电流的导体内。实际上，磁场能量储存在整个磁场存在的空间。下面导出用磁场矢量表示磁能的公式。将代入式（3.3.46）中得注意，当令体积趋于无限大时，上式右边第二项积分变为零。因为、，故被积函数至少按反比变化，而面积按变化，故时，积分变为零。于是得到 （3.3.47）上式的积分是对整个空间取的，当然只有磁场不等于零的那部分空间才对积分有贡献。此结果表明磁场能量储存于场空间，被积函数可视为磁场能量密度，表示为 （

27、3.3.48）图 3.3.8同轴线横截面图c能量密度的单位。例3.3.7 求同轴线单位长度内储存的磁场能量。解 如图3.3.8所示，同轴线的内导体半径为a ，外导体的内半径为b，外导体的外半径为c。内、外导体之间填充的介质以及导体的磁导率均为。设电流为I，根据安培环路定律求出磁场分布 由此即可求出三个区域单位长度内的磁场能量分别为同轴线单位长度储存的总磁场能量为3.3.5 磁场力两个载流回路间的磁场力可由安培力公式计算。但是我们常常希望与静电力的计算类似，用磁场能量的空间变化率来计算磁场力。为简化讨论，我们仅考虑两个回路的情况，所得到的结果可推广到一般情况。设回路在磁场力作用下发生了一个小的位

28、移（这里的是一个广义坐标），回路保持不动。下面分别考虑当回路位移时，两回路磁链不变和电流不变这两种情形。（1）两回路的磁链不变，即常数、常数。由于回路发生位移，两回路中的电流必定发生改变，这样才能维持两回路的磁链不变。由于和等于常数，两回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量(假定导线的焦耳热损耗可以忽略)，所以回路发生位移所需的机械功只有靠磁场释放能量来提供，即故得 （3.3.49）（2）两回路中电流不改变，即常数、常数。由于回路发生位移，两回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持和不变。电源所做的功为，即外接电

29、源输入能量的一半用于增加磁场能量，另一半则用于使回路位移所需要的机械功，即故得 （3.3.50）因两个电流回路的磁场能量为将其代入式(3.3.50)中，得 （3.3.51）上式表明，在和不变的情况下，磁场能量的改变（即磁力）仅是由于互感M的改变引起的。图3.3.9 电磁铁的力应该指出，上面假设的不变和不变是在一个回路发生位移下的两种假定情形，无论是假定不变还是不变，求出的磁场力应该是相同的。而且，对于不止两个回路的情形，其中任一个回路的受力都同样可以按式（3.3.50）。例3.3.8 如图3.3.9所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有匝线圈的铁芯）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为，平均长度分别为

30、和。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为。设线圈中的电流为，铁轭和衔铁的磁导率为，若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。解 作用在衔铁上的磁场力有减小空气隙的趋势，可通过式（3.3.49）或式（3.3.50）计算。在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通不变，则和不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为式中是空气隙中的磁场强度。根据安培环路定律，有由于和，考虑到，由上式可得到故得到铁轭对衔铁的吸引力若采用式（3.3.54）计算，则储存在系统中的磁场能量同样得到铁轭对衔铁的吸引力为图 3.3.10 共轴的圆形线圈例3.3.8 两

31、个互相平行且共轴的圆形线圈，相距为，半径分别为和，其中。两线圈中分别载有电流和，如图3.3.10所示。求两线圈间的磁场力 。解 利用例3.3.6的结果，当时，两线圈的互感为据式（3.3.51）得两线圈间的磁场力为式中的负号表示当与的方向相同时，为吸引力；当与方向相反时，为排斥力。3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场问题通常分为两大类：分布型问题和边值型问题。由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求空间各点的场分布，称为分布型问题。如果已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布，就属于边值型问题。我们已在前几节介绍了一些简单的分布型问题的解法，本章将介绍一些静态场边值问题的解

32、法静态场边值问题的解法可分为解析法和数值法。解析法给出的结果是场量的解析表示式，本章只介绍镜像法和分离变量法。数值法则是通过数值计算，给出场量的一组离散数据，本章只介绍有限差分法。由于电子计算机技术的发展和广泛应用，数值法获得极大的发展，应用前景广阔。3.4.1 边值问题的类型静态场的基本方程表明，在静态场情况下，电场可用一个标量电位来描述，磁场可用一个矢量磁位来描述，在无源（）的区域内，磁场也可用一个标量磁位来描述。在均匀媒质中，位函数满足泊松方程或拉普拉斯方程。同时，在场域的边界面上位函数还应满足一定的边界条件。位函数方程和位函数的边界条件一起构成位函数的边值问题。因此，静态场问题的求解，

33、都可归结为在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程。位函数方程是偏微分方程，位函数的边界条件保证了方程的解是惟一的。从数学本质上看，位函数的边值问题就是偏微分方程的定解问题。在场域V的边界面S上给定的边界条件有以下三种类型，相应地把边值问题分为三类：（1）第一类边界条件是已知位函数在场域边界面上各点的值，即给定 （3.4.1）这类问题称为第一类边值问题或狄里赫利问题；（2）第二类边界条件是已知位函数在场域边界面上各点的法向导数值，即给定 （3.4.2）这类问题称为第二类边值问题或纽曼问题；（3）第三类边界条件是已知一部分边界面上位函数的值，而在另一部分边界面上已知位函数的法向导数

34、值，即给定 和 （3.4.3）这里。这类问题称为第三类边值问题或混合边值问题。如果场域延伸到无限远处，还必须给出无限远处的边界条件。对于源分布在有限区域的情况，在无限远处的位函数应为有限值，即给出有限值 （3.4.4）称为自然边界条件。此外，若整个场域内，同时存在几种不同的均匀介质，则位函数还应满足不同介质分界面上的边界条件。3.4.2 惟一性定理惟一性定理是边值问题的一个重要定理，表述为：在场域的边界面上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域内具有惟一解。下面采用反证法对惟一性定理做出证明。设在边界面包围的场域内有两个位函数和都满足泊松方程，即 和 令，则在场域内由于将上式在整个场域上积

35、分并利用散度定理，有 （3.4.5）对于第一类边值问题，在整个边界面上；对于第二类边值问题，在整个边界面上；对于第三类边值问题，在边界面的部分上，在边界面的部分上。 因此，无论是哪一类边值问题，由式（3.4.5）都将得到由于是非负的，要使上式成立，必须在场域内处处有。这表明在整个场域内恒为常数，即对于第一类边值问题，由于在边界面上，所以。故在整个场域内有，即。对于第二类边值问题，若与取同一个参考点，则在参考点处，所以，故在整个场域内也有。对于第三类边值问题，由于，所以，故在整个场域内也有。惟一性定理具有非常重要的意义，首先它指出了静态场边值问题具有惟一解的条件，在边界面上的任一点只须给定或的值

36、，而不能同时给定两者的值。其次惟一性定理也为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。根据惟一性定理，在求解边值问题时，无论采用什么方法，只要求出的位函数既满足相应的泊松方程(或拉普拉斯方程)，又满足给定的边界条件，则此函数就是所求出的惟一正确解。3.5 镜像法在静电场中，如果遇到电荷（称为原电荷）附近存在一定形状的导体，此时导体表面会出现感应电荷。这样，导体外部空间的总电场就等于原电荷产生的电场与感应电荷产生的电场的叠加。在一般情况下，直接求解这类问题是困难的，这是因为导体表面上的感应电荷也是未知量，它也取决于总电场。但是，如果原电荷是点电荷、线电荷，且导体形状是平面、球、圆柱等简单形状，就可采用镜像法来求解这类问题。镜像法的基本思想，是在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一些虚设的电荷（称为镜像电荷）等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷。这样就把原来的边值问题的求解转换为均匀无界空间中的问题来求解。根据惟一性定理，只要虚设电荷与场域内原有的实际电荷一起所产生的电场满足原问题所给定的边界条件，所得结果就是原问题的解。应用镜像法求解的关键在于如何确定像电荷。根据惟一性定理，镜像电荷的确定应遵循的两条原则：