应数毕业论文

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1、重庆科技学院学生毕业设计（论文）外 文 译 文学 院 数理学院 专业班级 应数普08级1班 学生姓名 高贵杰 学 号 2008441984 译 文 要 求1. 外文翻译必须使用签字笔，手工工整书写，或用A4纸打印。2. 所选的原文不少于10000印刷字符，其内容必须与课题或专业方向紧密相关，由指导教师提供，并注明详细出处。3. 外文翻译书文本后附原文（或复印件）。一、正定矩阵、特征值与特征向量（选自：Linear Algebra and Its Applications, Third Edition (ISBN0-201-70970-8) by David C.Lay, Published b

2、y arrangement with the original publisher, Pearson Education, Inc.，publishing as Addison-Wesley. P411417.）8.2 二次型到目前为止，本教材除了第7章计算了时所遇到的平方和外，我们所关注的主要是线性方程，这类平方和及更一般形式的表达式称为二次型，它常常出现在线性代数在工程(标准设计和优化)和信号处理(输出的噪声功率)的应用中.它们也常常出现在物理学(例如势能和动能)、微分几何(例如曲面的法曲率)、经济学(例如效用函数)和统计学(例如置信椭圆体)中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称

3、矩阵的研究。上的一个二次型是一个定义在上的函数，它在向量处的值可由表达式计算，此处是一个对称矩阵，且矩阵称为关于二次型的矩阵。最简单的非零二次型是，例1和例2说明了对称矩阵和二次型之间的关系。例1：令x =，计算下列矩阵的， a. A = ； b. A =解：a. =+；b. 在A中两个值为-2的元素，注意观察矩阵A中（1,2）元素如何出现在计算中，用粗体字给出。 例l(b)中二次型中出现了项，是因为矩阵对角线上出现了元素-2，相反，例1(a)中涉及的对角矩阵的二次型中没有的交叉乘积项。 例2：对属于的，取，写出形式的二次型。解：的系数仍在对角线上，为使对称，当时，的系数必须平均分配给矩阵中的

4、元素和元素.的系数0，很容易验证。 例3：令，计算在，和处的值。 解： 在某些情况下，没有交叉项的二次型会显得更容易使用，也就是二次型对应的矩阵是对角矩阵.幸运的是，交叉项可以通过用适当的变量代换来消去。二次型的变量代换如果表示中的向量变量，那么变量代换是下面形式的等式: 或 (1)此处是可逆矩阵且y是中的一个新变量，这里的列可确定的一个基，y是相对于该基向量的坐标向量.(见5.4节)如果用变量代换处理二次型，那么 (2)且新的二次型矩阵是，如果可将正交对角化，那，且,新二次型矩阵是对角矩阵，这就是下面例题的解题思路。 例4：求一个变量代换将例3中的二次型变为一个没有交叉项的二次型。解：例3中

5、二次型对应的矩阵是，第一步是将矩阵正交对角化，的特征值是和，相应的单位特征向量是: ； 这些特征向量自动正交(因为它们属于不同的特征值)且构成的一个单位正交基. 取，那么，且，像前面指出的那样，一个适当的变换是，此处，那么 为了说明例4中二次型相等的意义，我们可以利用新二次型计算在处的值，首先，由于，我们得到 则有因此 .这就是例3中在处的值，见图8-2016.乘以 图8-2 中的变量代换例4说明了以下定理，定理的证明在例4之前已基本上给出。定理4(主轴定理)设是一个对称矩阵，那么存在一个正交变量变换，它将二次型变换为不含交又项的二次型。定理中矩阵的列称为二次型的主轴，向量y是向量在由这些主轴

6、构造的空间的单位正交基下的坐标向量。主轴的几何意义若，此处是一个可逆对称矩阵，是一个常数，可以证明中所有满足 (3)的的集合，对应一个椭圆(或者圆)、双曲线、两条相交直线或单个点，或根本不含任意点.如果是一个对角矩阵，如图2所示，(3)的图像是标准位置。如果不是一个对角矩阵，如图3所示，(3)的图形是标准位置的旋转.找到主轴(由的特征向量确定)等同于找到一个新的坐标系统，在该坐标系统下其图形是在标准位置下的图形。图3(b)中的双曲线是方程的图形表示，其中是例4中的矩阵，图8-4b中轴的正向是例4中矩阵第一列的方向，轴的正向是矩阵第二列的方向。 椭 圆 双曲线图8-3 标准位置上的椭圆和双曲线1

7、111(a) (b) 图8-4 不在标准位置的椭圆和双曲线 例5：图8-4a中，椭圆的方程为，求一个变量代换，将方程中的交叉项消去。解：二次型对应的矩阵为，的特征值是3和7，对应的单位特征向量为，令，那么可将正交对角化，所以变量代换得到的二次型为，变量代换的新坐标轴如图8-4a所示.二次型的分类当是一个矩阵时，二次型是一个定义域为的实值函数，对二次型定义域中的每一个点对应，可画出点，其中.注意，除了外，图8-5a中所有的值都是正数，图8-5d中所有的值都是负值，图8-5a和图8-5d中图形的水平截面是椭圆，而图8-5c的水平截面对应双曲线。a） b） c) d) 图8-5 二次型对应的图形图8

8、-5中简单的22例子说明下列定义.定义：一个二次型是: a.正定的，如果对所有，有0。 b.负定的，如果对所有，有0。 c.不定的，如果既有正值又有负值。 此外，被称为半正定的，如果对所有，0；被称为半负定的，如果对所有，0. 图8-5中a和b的二次型都是半正定的。定理5根据特征值为二次型分类。见图8-6. 正定的 负定的 不定的 图8-6定理5(二次型与特征值)设是对称矩阵，那么一个二次型是:a.正定的，当且仅当的所有特征值是正数。b.负定的，当且仅当的所有特征值是负数。c.不定的，当且仅当既有正特征值，又有负特征值。证明：由主轴定理，存在一个正交变换，使得 (4)此处是的特征值，由于是可逆

9、的，非零向量和非零向量y之间存在一个一一映射，这样，时，的值与(4)式右边表达式的值完全对应。显然，像定理所描述的三类方式一样，它由特征值的符号所确定。 例6：是正定的吗？解：由于所有项的系数是正数，二次型表面上看是正定的。但二次型对应的矩阵为 且的特征值是5, 2和-1，所以是不定二次型，而不是正定二次型。利用二次型的分类，相应地得到矩阵的形式分类。一个正定矩阵是一个对称矩阵，则二次型是正定的，其他形式的矩阵(如半正定矩阵)的概念可类似定义。数值计算的注解确定对称矩阵是正定的最快捷的方式，是尝试将矩阵分解为，此处是具有正对角线元素的上三角阵(可以采用一个略微修改的LU分解算法).这样的乔累斯基分解算法可行充分必要条件是是正定的.见补充练习7。