圆的有关证明与计算题专题.

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1、圆的证明与计算专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1. 圆中的重要定理 :(1) 圆的定义 : 主要是用来证明四点共圆 .(2) 垂径定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3) 三者之间的关系定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4) 圆周角性质定理及其推轮 : 主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5) 切线的性质定理 : 主要是用来证明垂直关系 .(6) 切线的判定定理 : 主要是用来证明直线是圆的切线.(7) 切线长定理 : 线段相等、垂直关系、角相

2、等 .2.圆中几个关键元素之间的相互转化: 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化. 这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析 ：主要以解答题的形式出现, 第 1 问主要是判定切线；第2 问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈 ：1、判定切线的方法：（ 1）若切点明确，则“连半径，证垂直” 。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（ 2）若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之， 要完成两个

3、层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点） ；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化, 要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 例：（ 1）如图， AB是 O的直径， BC AB， AD OC交 O于 D点，求证： CD为 O的切线；（ 2）如图，以 Rt ABC的直角边 AB为直径作 O，交斜边 AC于 D，点 E 为 BC的中点，连结 DE，求证： DE是 O的切线 .（ 3）如图，以等腰 ABC的一腰为直径作 O，交底边 BC于 D，交另一腰于 F，若 DE AC于 E（或 E为 CF中点），求证： DE是 O的切线 .（ 4）如图，

4、 AB是 O的直径， AE平分 BAF，交 O于点 E，过点 E 作直线 ED AF，交 AF的延长线于点 D，交 AB的延长线于点C，求证： CD是 O的切线 .CCADADEOOFAOBAOBEBFBDCCED2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（ 1）构造思想 ：如：构建矩形转化线段；构建“

5、射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（ 2）方程思想： 设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（ 3）建模思想： 借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形 1：如图 1： AB是 O的直径，点E、C是 O上的两点 ，基本结论有：（ 1）在“ AC平分 BAE”；“ ADCD”；“ DC是 O的切线”三个论断中，

6、知二推一。（ 2）如图 2、 3， DE等于弓形BCE的高； DC=AE的弦心距 OF（或弓形 BCE的半弦 EF）。DDDDECECECECFFAOBAOBAOBAOKB图1图 2图3图 4（ 3）如图（ 4）：若 CKAB于 K，则：D CK=CD； BK=DE； CK=1 BE=DC； AE+AB=2BK=2AD;EC22 ADC ACBAC=AD?AB（ 4）在 (1) 中的条件、中任选两个条件，当 BG CD 于 E 时（如图 5），则：GAOB122图5 DE=GB； DC=CG； AD+BG=AB； AD?BG= DG=DC4：如图：Rt中，=90。点是上一点，以为半径作交于点，

7、基本结论有 ：图形 2ABCACBOACOCOACEBBBDGDGDFFHCOEACOEACOEA（ 1）在“ BO平分 CBA” ; “ BODE” ; “ AB是 O的切线” ; “ BD=BC”。四个论断中，知一推三。图 1图 2图3（ 2） G是 BCD的内心；CG=GD ； BCO CDE12BO?DE=CO?CE=CE；2（ 3）在图（ 1）中的线段 BC、CE、AE、AD中，知二求四。（ 4）如图（ 3），若 BC=CE，则： AE = 1 =tan ADE； BC：AC：AB=3： 4： 5 ；（在、中知一推二）设AD2BE、CD交于点 H， , 则 BH=2EH图形 3：如图

8、： Rt ABC中， ABC=90 , 以 AB 为直径作 O交 AC于 D，基本结论有：如右图：（ 1） DE切 OE是 BC的中点；CD（ 2）若 DE切 O，则： DE=BE=CE；E D、O、B、E 四点共圆 CED=2 A2,DECDBCCDCA=4BERBDAOBBA图形特殊化：在（1）的条件下如图1： ABC、是等腰直角三角形；DE ABCDE如图 2：若 DE的延长线交AB的延长线于点F，若 AB=BF，则： DE1; BE1CCEF3R2DDEEAOBAOBF图 1图 2图形 4：如图， ABC中， AB=AC，以 AB为直径作 O，交 BC于点 D，交 AC于点 F，C基本

9、结论有：EF（1） 切 ；DDE ACDEO（ 2）在 DE AC或 DE切 O下，有： DFC是等腰三角形； EF=EC； D是BF 的中点。与 基本图形1 的结论重合。 AOB连 AD，产生母子三角形。图形 5：ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有 ：以直角梯形ADADADEEGEFOOOFBCBCBC图1图2图3（ 1）如图 1：AD+BCCD； COD= AEB=90； OD平分 ADC（或 OC平分 BCD）；（注：在、 、及“ CD是 O的切线”四个论断中，知一推三） ADBC 1 AB 2=R2；42（ 2）如图 2，连 AE、CO，则有： CO AE，CO?AE=2R

10、( 与基本图形2 重合 )（ 3）如图 3，若 EF AB于 F，交 AC于 G，则： EG=FG.图形 6： 如图：直线PR O的半径 OB于 E， PQ切 O于 Q， BQ交直线 PQ于 R。基本结论有：BREPBBQERAPBOQEAPROOOQQEPR（ 1） PQ=PR ( PQR是等腰三角形 ) ；（ 2）在“ PR OB”、“ PQ切 O”、“PQ=PR”中，知二推一2（ 3） 2PRRE=BRRQ=BE2R=AB图形 7：如图，ABCO I为ABC内接于，的内心。 基本结论有：（ 1）如图1， BD=CD=ID； DI2DEDA；AA AIB=90+1 ACB;ODE2IOIB

11、D+CE=BC.（ 2）如图2，若=60，则：BECBACCBD图 1图 2BG图形 8：已知，ABO的直径，C是CD ABDBG CD、AC是中点， 于 。交于 E、F。 基本结论有：G（ 1） CD= 1 BG； BE=EF=CE；GF=2DECF2H E( 反之，由 CD= 1 BG或 BE=EF可得： C是中点 )2BGABOD（ 2） OE=1 AF， OE AC； ODE AGF2（ 3） BEBG=BDBA（ 4）若D是的中点，则：是等边三角形；BC=CG=AGOBCEF四、范例讲解：1. ABP中， ABP=90，以AB为直径作 O交 AP于 C点，弧 CF = CB ，过 C

12、作 AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交 BP于 D.（ 1）求证： CD为 O的切线；（ 2）连 BF交 AP于 E，若 BE=6， EF=2，求 EF 的值。AF2直角梯形 ABCD中， BCD=90， AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于 E，连 OC、 BD交于 F.求证： CD为 O的切线若 BE3，求 BF的值AB5DFADOFBEC3如图， AB为直径， PB为切线，点C在 O上， AC OP。（ 1）求证： PC为 O的切线。（ 2）过 D点作 DE AB，E 为垂足，连 AD交 BC于 G，CG=3， DE=4，求 DG 的值。DB4。如图，已知 ABC中，以边 BC为直

13、径的 O与边 AB交于点 D，点 E为BD的中点，AF为 ABC的角平分线， 且 AF EC。（ 1）求证： AC与 O相切；（ 2）若 AC 6， BC 8，求 EC的长FCDEAOB5. 如图， Rt ABC，以 AB为直径作 O交 AC于点 D，BD=DE，过 D作 AE的垂线， F 为垂足 .A（ 1）求证： DF为 O的切线；D（ 2）若 DF=3， O的半径为 5，求 tanBAC 的值 .EHBCO F6如图， AB为 O的直径， C、 D为 O上的两点， AD=DC ，过 D作直线 BC的垂线交直线 AB于点 E，F 为垂足 . （ 1）求证： EF为 O的切线；F（ 2）若

14、AC=6，BD=5，求 sin E 的值 .DCEAOB7如图，为O的直径，半径 ，为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结交于点 .ABOCABDCE ABF（ 1）求证： DE=DF；（ 2）连结 AE，若 OF=1， BF=3，求 tanA的值.CAFBDOE8如图， Rt ABC中， C=90， BD平分 ABC，以 AB上一点 O为圆心过 B、D 两点作 O， O交 AB于点一点 E， EF AC于点 F.（ 1）求证： O与 AC相切；（ 2）若 EF=3，BC=4，求 tanA的值.BOEAFDC9如图，等腰ABC中， AB=AC，以 AB为直径作 O交 BC于点 D，

15、 DEAC于 E.（ 1）求证： DE为 O的切线；（ 2）若 BC= 4 5 ， AE=1，求 cos AEO 的值 .CDEAOB10如图， BD为 O的直径， A 为 BC 的中点， AD交 BC于点 E， F 为 BC延长线上一点，且 FD=FE. （ 1）求证： DF为 O的切线；（ 2）若 AE=2，DE=4， BDF的面积为 8 3 ，求 tanEDF 的值 .ABCEF11、如图， AB是 O的直径 ， M是线段 OA上一点，过 M作 AB的垂线交 AC于点 N，交 BC的延长线于点E，直线 CF交OEN于点 F，且 ECF= EED（ 1）求证： CF是 O的切线；32O的半

16、径为1，且AC=CE，求 AM 的长（ ）设FCNABMO12、如图，是O的直径，过点作O的切线，点D是延长线上一点，连结，且.ABBCABCCECEADAD+BC=CD（ 1）求证： AD是 O的切线；（ 2）设 OE交 AC于 F，若 OF=3， EF=2，求线段 BC的长 .CDEFAOB13、如图， ABC中， AB=BC，以 AB为直径的 O交 AC于点 D，且 CD=BD.（ 1）求证： BC是 O的切线；（ 2）已知点 M、N分别是 AD、CD的中点， BM延长线交 O于 E， EF AC，分别交 BD、 BN的延长线于 H、F，若 DH=2，求 EF的长 .BOMDNACEHF14、如图， AB是半 O上的直径， E是 BC的中点， OE交弦 BC于点 D，过点 C作交 AD的平行线交OE的延长线于点F.且 ADO= B.F（ 1）求证： CF为 O的 O切线；（ 2）求 sin BAD的值 .CEDABO11、如图， ABC中， ABAC，以 AC为直径的 O与 AB相交于点E，点 F 是 BE的中点（ 1）求证：是的切线（ 2）若 14， 12，求BF的长DFOAEBCAOEFBDC