【精选资料】数学分析报告考研试题集锦

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1、实用标准数学分析考研试题集锦一. 连续性问题1 设 f(x)是a,b上的连续函数 ,f(a)0,求证 : 存在 c(a,b),使 f(c)=0,且对任何 x(c, b , 有 f(x)0 ( 华东理工大学2004 年 )二. 无穷级数与函数列1设在 0,1上 fn ( x) 一致收敛于f(x),且每个fn ( x) 有界，求证：(1) 极限函数 f(x) 在 0,1 上有界；(2) 函数列 fn ( x) 在 0,1 上一致有界 ( 华东理工大学 2004 年 )2.设 f n(x) 是定义在 (-,+) 上的可导函数列 , 且存在常数 M0,对所有的 n 和 x(- ,+), 有|f n(

2、x) | M , 假设对任意 x(-,+ ), 有 limf n (x)g( x), 则 g(x) 在 (-,+)上连续.n证明 : 对任意 x0(-,+),有| g( x)g( x0 ) | | fn ( x)g( x) | | fn ( x)f n( x0) | f n( x0 )g( x0) |0, 由于对任意 x(-,+),有 limfn ( x)g(x), 所以存在正整数N, 当 nN时 ,n有| f n( x)g( x) |,| f n ( x0 )g( x0 ) |,33由微分中值定理 ,| f n ( x)f n ( x0 ) | | fn ( ) | x x0 |M | x

3、x0 |x 与 x之间,故取, 当 |x-x |, 有 | f n( x)f n ( x0 ) |, 故当 |x-x0|1时积分收敛 ,p1时积分发散 .数学分析考研题集锦1 设函数 f ( x) 为 0,) 上的非负递减函数, 且0f ( x)dx 收敛 , 则 limxf ( x) 0.x证明：由于f ( x)dx, 存在 , 对任意 ,0Bf ( x)dx |因此当 x 2Mxf (t)dt, 但 f ( x) 为 0,) 上的非 ,有|时 ,xA2负递减函数 , 所以xf (t )dtxf ( x)dxxf ( x)0 , 故 lim xf ( x)0. ( 南京理工xx222x大学

4、2001 年 )2. 设函数 f ( x) 在 a,b 上一阶连续可导 , f ( a)0, 证明存在 M0,使得bb( f( x) 2 dx.( f ( x)2 dx Maaf (a)xf(t )dtf ( x), 故证明：由于0, 所以ax( t)dtbbx( t )dt)2 dxf( f ( x) 2 dx(faaaabxx2 dt)dxa( 12 dt( f ( t)aab( xa)x2af ( t) dt)dxa文档实用标准bb2(ba)2b2a( x a)dxf ( x) dx2f ( x ) dxaa取 M(b a) 2得证 .（南京理工大学）23设 f ( x ) 是 0, 2

5、 上的连续函数 , 证明 :lim222f ( x)dx.f ( x) |sin nx | dx0n0证明 :由积分中值定理2n2 if ( x) |sinnx | dxnf ( x) |sinnx | dx1)02 (ii 1nn2i2( i1)2if ( in) 2( i 1) |sinnx | dx(in,)i 1nnni 11 f ( i )2in|sin t | dt( t nx )2( i 1)ni 142 nf (i )ni 12f ( i ) .n故由定积分定义 , lim222f ( x)dx. （南京理工大学）f( x) | sin nx | dx0n04 设函数f ( x

6、 ) 在 a,) 上可导 , 且积分af ( x)dx 与f ( x)dx 都收敛 , 证明alim f (x )存在且为 0. （南京理工大学）x证 :由于f( x)dx 收敛 , 所以有alimAlim ( f ( A)f ( a)f ( x)dxf ( x)dxAaAa故 limf ( A)limf ( x) 存在 .Ax若 lim f ( x)k0, 不妨设 k0,则存在 M0, 当 xM 时 , 有 | f ( x) k | k .x2即f ( x)kf ( x)dx 不收敛 , 矛盾 , 因此 lim f ( x)0.0. 从而a2x计算4 (sin xcosx )2 dx. （东

7、南大学 2001）0 sin xcosx设 f ( x) 在 0,1 上二阶连续可导，设 M 0max | f ( x) |, M 1max | f ( x) |,x 0,1x 0,1文档实用标准M 2max | f ( x) |, 证明： M 1 2M 012001）M 2 . （东南大学x 0,12证明：由泰勒公式f (1)f ( x)f ( x)(1 x)f ( ) (1 x) 2 ( x,1)2f (0)f ( x)f ( x)( x)f () (x)2 (0, x)2两式相减得f ( x)f (1)f (0)f ( ) (1 x)2f ( ) ( x) 222所以| f ( x) |

8、 | f (1) | | f ( 0) | | f ( ) (1 x)2| f ( ) | x 2222M 0M 2 (1 x)2x2 2M 0M 2 .22因此 M12M0 1M2.2 设 f ( x ) 在 0,)上连续非负,且积分f ( x)dx 收 敛 ， 证 明 ：a1 n（南京理工大学2000 ）l i mx f (x )d x0 .n n 07. 设 a,b0, 证明不等式 :33a2(1b2(a b)3 ,( 0 x 1).xx )证 :设 f ( x)a3b32 , 则2(1x)xf ( x)2a32b33 , f ( x)6a36b30.x3(1x)x4(1x)4令 f (

9、 x)0,得 xa,由于 f( x)0, 因此 f(x)在 xaa, 取最小值 , 所以对 (0,1)abb的任意 x, 有 f ( x)f (a) ( ab)3 . 故 a3b3( ab)3 ,( 0x1).a bx2(1x)28. 设 f(x) 在 a,b上二次连续可微 ,ca2b , 证明 :11b(ba ) f ( c)bx)2f ( x)dxc2f( x)dx.f ( x)dx2( b2( x a)aca文档实用标准bcbf ( x)dxf ( x)dxf ( x)dxaac( x a) f ( x) |accba( x a) f ( x)dx (b x) f ( x) |cb(b

10、x ) f ( x)dxc(c a ) f ( c)cb( x a) f ( x)dx ( b c) f (c)(b x) f ( x)dxac(b a) f (c)12c1c2f ( x )dx( x a)f ( x) |a2( x a)2a1(b x)2b1b(b x)2f ( x)dx2f ( x) |c2c(b a) f (c)1a)2f ( c)c1c( x a)2f( x )dx( c22an9. 证明 :k 11c)2f( x)1bx)2f ( x)dx(b2( b2c(b a) f (c)1bx)21ca )2f( x)dx.2(bf ( x)dx( xc2a1nCn . 其中

11、 C是与 n 无关的常数 , lim0.2nknn1n1n证: 由于22 ( k 1k ) 2( n 1 1), 故k 1 kkkk 11k 1n12 n 2( n 1n ) 22.k1kn1另一方面 , 若设 xn2n , 则k 1 kxn 1xnn 11n1k2 n 1 (2 n )k1k1k12(n1120.n1n )1n1nn故数列n 单调递减有下界, 因此n收敛 . 设 lim xnC, 则x x nn1nCn .2k 1k其中 C 是与 n 无关的常数 , limn0.n文档实用标准10. 设 an 0,( n 1, 2, ),annak . 求极限 l limeAneAn 11,

12、 Anee .n 1k 1nAnAn 1解 : 设 f ( x) ex , g( x) xe , 由拉格朗日定理 ,eAneAn 1f ( An ) f ( An 1 ) f ( 1)( AnAn 1 ) e 1 ( AnAn 1 ) ane 1 ,AneAne 1g( An ) g( An 1) g ( 2 )( AnAn 1 ) e 2e 1 ( AnAn 1 ) ane 2e 1 .其中 An 11,2An.由于 lim An1, 故 lim11,lim21, 所以nnnllimeAneAn 1limane 11.eee1nAnAn 1nean 211设 fn ( x)(n1, 2,)

13、是 a,b上的连续函数，当n时， fn ( x) 一致收敛于f(x) ，每个 fn ( x) 在 a,b 上有零点， f(x) 在a,b 上至少有一个零点。证：设 f n( x)(n1, 2, ,) 在 a,b上的零点为 xn，则 xn 为有界点列， 从而必有收敛子列 x ，设lim xnkx . 由于 f n ( x) 一致收敛于 f(x),0, 存在正整数 N,当 nNnkk时 , 对 任 意 xa,b, 有 | f n( x)f() | .从 而| f nk ( xnk)f( xn) | f n)| 故.xk(xklim f ( xnk)f ( x)0. 即 f(x) 在 a,b上至少有

14、一个零点 .k12.设 f(x,y)在 x,y0 上 连 续 , 在 x,y0 内 可 微 ,存 在 唯 一 (x 0,y0)使得x0 0, y 00, f x (x 0 y, 0 ) f y x( 0y, 0 ) 0 设,f ( x0 , y0 )0, f ( x, 0)f (0, y) 0,( x, y0), x2 limy2f ( x, y)0.证明 :f ( x0 , y0 ) 是 f(x,y) 在 x,y0上的最大值 .证:设 X( x, y) | x, y0 , 由于 f ( x0 , y0 )0, x2 limy2f ( x, y)0.0,存在 R0,对任意 xR, 或 yR,

15、有 | f ( x, y) | 1f ( x, y ). 记D ( x, y) | 0 x, y 2R,200则 f(x,y)在 D上连续 , 故 f(x,y)在 D 上必取最大值M,且 Mf ( x0 , y0 ). 下面证明 :(1) M是 f(x,y)在 X 上的最大值 .对 任意 点 ( x, y )X,当 ( x, y)XD 时 ,有x2R 或y2R,所 以文档实用标准1| f ( x, y) |f ( x0 , y0 )M . ( x, y)D 时显然有 | f ( x, y) |M .2(2) M f ( x0 , y0 ).由于 D的边界是线段OA( x, 0) | 0x2 R

16、, OC(0, y) | 0y2R,AB( 2R, y) | 0y2R, BC( x,2R) | 0x2 R,故对 OA和 OC上任意点 (x,y),由已知条件可知f(x,y)=0R,而对 BC上的任意点 (x,y)有 y=2RR,所以 f ( x, y)1 f ( x0 , y0 ) M . 故 f(x,y) 在最大值 M2在 D 的内部取得 , 因此 M 也是f(x,y)的极大值 , 由极值的必要条件, 极大值点 (x,y)必满足f x ( x, y)0, f y ( x, y)0, 由已知条件( x0 , y0 ) 是满足 f x ( x, y)0, f y ( x, y)0, 的唯一点

17、 , 故 Mf ( x0 , y0 ).12.设 f(x)是区间 0,1上的可微函数 ,f(0)=f(1)=0.当 0x0,记 f vnf (av n ),nb a , 证明 :1bnlim n f1n f2 nf nneb aln f ( x) dx,an并应用上述等式证明 :12证明 :22 )dx 2 ln r (r 1).ln( 1 2r cos x r0文档实用标准- 高氯酸对阿胶进行湿法消化后,用导数火焰原子吸收光谱技术测定阿胶中的铜、“中 药三大宝, 人参、鹿 茸和阿胶。”阿胶的药用已有两千多年的悠久历史历代宫马作峰论疲劳源于肝脏J.广西中医药 ,2008,31(1):31.史丽

18、萍马东明,解丽芳等力竭性运动对小鼠肝脏超微结构及肝糖原、肌糖元含量的影响J.辽宁中医杂志王辉武吴行明邓开蓉内经“肝者罢极之本”的临床价值J.成都中31. 凌家杰肝与运动性疲劳关系浅谈J.湖南中医学院学报2003，（）：1. 谢敏豪等 训练结合用中药补剂强力宝对小鼠游泳耐力与肌肉和肝 Gn,LDH和MDH的影响 J中国运动医学杂杨维益陈家旭王天芳等运动性疲劳与中医肝脏的关系J.北京中医药 大学学报.19 96,19(1):8.2.1中药复方 2.2 单味药33阿胶和复方阿胶浆常世和等参宝片对机体机能影响的J.and Natritionof exerciseand training(Abstrac

19、t)6 杨维益等中药复方“体复康”对运动性疲劳大鼠血乳酸、p一内啡肤、亮氨酸及强啡肤l-13影响的实验研。仙灵口服液可提高机体运动能力，加速运动后血乳酸的消除。F3口服液能调整PCO2 孙晓波等 鹿茸精强壮作用的 J .中药药理与临床，1987，（）：11.于庆海等高山红景天抗不良刺 激的药理J中药药理与临床，促进作用；提示阿胶能提高机体免疫功能。另外阿胶具阿胶具有很好的止血作用，常用来治疗阴虚火旺、血脉受伤造成的出血。比如，阿胶能治疗缺铁性贫血，再生障碍性贫血等贫血症状，阿胶对血小板减少，白细阿胶是一类明胶蛋白，经水解分离得到多种氨基酸，阿胶具有很多的药理作用和阿胶又称驴皮胶,为马科动物驴的

20、皮去毛后熬制而成的胶块。中药界有句口头禅阿胶中的营养成分比较多，主要有蛋白质、多肽、氨基本以运动性疲劳相关症状明显的篮球运动员为对象，以谷丙转氨酶、谷表明，阿胶还用于治疗妊娠期胎动不安，先兆流产习惯 性流产等。对于月经 病步了解运动 员服用阿胶以后，不但能够使男女运动员的谷草转氨酶含量水平、谷丙转参促进人体对糖原和三磷酸腺苷等能源物质的合理利用, 并使剧烈运动时产生的乳草经将其列为上品。本草纲目载阿胶“疗吐血衄血血淋尿血, 肠风下痢,女草转氨酶、谷酰转肽酶、总胆红素、白蛋白和白蛋红细胞，白细胞和血小板的作用。到影响。的变化,主要表现为部分肝细胞破裂 ,内容物进入窦状隙 ,未受损的肝细胞糖原明的

21、核心问题之一也是运动训练学所要克服的核心问题之一, 疲劳是机体的一的滋补 类药品；因始产于聊城东阿，故名阿胶，距今已有两千多年的生产历史；最早低分子肽含量分别是5%45、10.9 7%13.18%。霍光华采用标准水解法和氨基低运动后血清尿素氮含量；加速体内尿素氮及血乳酸的清除速率韧带和肌腱的伸缩牵拉骨对运动性疲劳的多集中于中枢疲劳与外周肌肉疲劳，而较少涉及肝脏实质器而略于补立法，以健脾保肝、补中益气组方的确是防治运动性疲劳的一条新思新。故发挥和延缓运动性疲劳的产生都能起积极而有效的作用。总之体 力和脑力的产生均复的适应能力。复方阿胶浆是由阿胶、红参、党参、熟地、山楂等药 组成, 主入肝、脾两经

22、。方肝，人动血运于经”的论述。明确 指出运动能力与肝和血密切相关。这种“动则血肝脾同藏血、主筋，为“罴极之本”，有储藏营血与调节血量的作用是提供运动所肝主疏泄，调畅气机，对气血津液的生成、输布和代谢有着重要意义。就运动生高山红景天在疲劳情况下能提高机体持续工作的时间，维持血压、心率的正常水高小鼠肝糖原的储备量；降低运动后血清尿素氮含量；加速体内尿素氮及血乳酸的骼肌产生运动。素问六节藏象论曰： “肝者罢极之本魂之居也 ,其华在爪, 其个特别复杂的方得以运生”，说明和血虚者，如服用阿胶补益，也具有良好的效果。临床上充分发挥阿胶的养血、补血、恢复正常，促进酸碱平衡的恢复，减少碱性物质的消耗。机体的血

23、量增加以便增加通气血流比值。肝内所贮存的血液就会更多的向机体全身肌腱和韧带等器官的力量。筋和筋膜向内连着五脏六腑，肝将脾输送来的精微之气浸、涉水等劳动或运动都称为“劳” ,而竞技体育由于其具有大运动量、高强度的加经论有“肝藏血”的观点，另外，在素问五脏生成论里，也有“人卧血归于景天圣露、补肾益元方、体复康、仙灵口服液及F3口服液等。复方阿胶浆能显著提究J北京 中医药大学学报，19 97，20（）：37-40.具有多种代谢功能。血清谷草转氨酶、谷丙转氨酶升高在一定程度上反映了肝细胞的亢不抑就会能协调精神、情趣和意志使情绪稳定思维敏捷对运动技术水平的充分抗运动性疲劳的单味两虚证, 通过补充和调节人

24、体血液的贮备量而发挥抗疲劳的作用。药理实验亦证实人量方法表明,阿胶水溶液(Murphy法与其 经Gornall双缩脲和Lowry酚试剂反量水平。从而证实阿胶能提高运动员的抗运动性疲劳的能力。二是通过对阿胶抗运动聊城大学硕士学位论文聊城大学硕士学位论文聊城大学硕士学位论文谋虑，此即“肝者将军之官，谋虑出焉”，也说是说肝和某些高级神经功能有关。（）年的第5届国际运动生物化学会议将子, 崩中带下 ,胎前产后诸疾。” 现代表明,阿胶含明胶认识运动性疲劳对肝脏的影响及判定指标、肝脏与运动性疲劳消除等方面的关若过度疲劳损伤了肝脏那么肌腱和韧带必将非常疲乏而不能收持自如运 动就会受赛场是证明运动健儿的运动能力及其为国争光的最好场所。运动员靠什么去夺取伤。升高骨髓造血细胞、白细胞、红细胞和血红蛋白，促进骨髓造血功能 ，迅速恢复失血时