D15极限运算法则07188实用教案

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1、说明: 无限(wxin)个无穷小之和不一定是无穷小 !例如(lr)，( P56 , 题 4 (2) )解答(jid)见课件第二节 例5机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 第1页/共23页第一页，共24页。定理定理2 . 有界函数有界函数(hnsh)与无穷小的乘与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论 1 . 常数(chngsh)与无穷小的乘积是无穷小 .推论(tuln) 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共23页第二页，共24页。oyx例例

2、1. 求求解: 利用定理(dngl) 2 可知说明(shumng) : y = 0 是的渐近线 .机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共23页第三页，共24页。二、二、 极限的四则运算极限的四则运算(s z yn sun)法则法则则有证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有(其中(qzhng)为无穷小) 于是(ysh)由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共23页第四页，共24页。推论推论(tuln): 若若且则( P45 定理(dngl) 5 )利用保号性定理(d

3、ngl)证明 .说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共23页第五页，共24页。定理定理(dngl) 4 . 若若则有提示: 利用(lyng)极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明(shumng): 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )例2. 设 n 次多项式试证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共23页第六页，共24页。为无穷小(详见详见P44)定理定理(dngl) 5 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有证

4、: 因,)(lim,)(limBxgAxf有其中(qzhng)设无穷小有界因此(ync)由极限与无穷小关系定理 , 得为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共23页第七页，共24页。定理定理(dngl)6 . 若若则有提示: 因为数列(shli)是一种特殊的函数 ,故此(gc)定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共23页第八页，共24页。 x = 3 时分(shfn)母为 0 !例例3. 设有分式设有分式(fnsh)函数函数其中(qzhng)都是多项式 ,试证: 证: 说明: 若不能直接用商的运算法则 .例4. 若机动

5、目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共23页第九页，共24页。例例5 . 求求解: x = 1 时分母(fnm) = 0 , 分子0 ,但因机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第10页/共23页第十页，共24页。例例6 . 求求解: 时,分子(fnz)分子(fnz)分母同除以则分母(fnm)“ 抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共23页第十一页，共24页。一般一般(ybn)有如有如下结果：下结果：为非负常数(chngsh) )( 如P47 例5 )( 如P47 例6 )( 如P47 例7 )机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第12页/共23页第十二页

6、，共24页。三、三、 复合函数复合函数(hnsh)的极的极限运算法则限运算法则定理(dngl)7. 设且 x 满足(mnz)时,又则有证: Aufau)(lim当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共23页第十三页，共24页。定理(dngl)7. 设且 x 满足(mnz)时,又则有 说明(shumng): 若定理中则类似可得 )(lim0 xfxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共23页第十四页，共24页。例例7. 求求解: 令已知( 见 P46 例3 ) 原式 =( 见 P33 例5 )机动 目录 上页 下页 返回(fnh

7、u) 结束 第15页/共23页第十五页，共24页。例例8 . 求求解: 方法(fngf) 1则令 原式方法(fngf) 22机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第16页/共23页第十六页，共24页。内容内容(nirng)小结小结1. 极限(jxin)运算法则(1) 无穷小运算(yn sun)法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页

8、 下页 返回 结束 第17页/共23页第十七页，共24页。思考思考(sko)及练习及练习1.是否(sh fu)存在 ? 为什么 ?答: 不存在(cnzi) .否则由利用极限四则运算法则可知存在 ,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共23页第十八页，共24页。3. 求求解法(ji f) 1 原式 =解法(ji f) 2 令21则原式 =机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共23页第十九页，共24页。4. 试确定试确定(qudng)常数常数 a 使使解 :令则故机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 因此(ync)第20页/共

9、23页第二十页，共24页。作业作业(zuy)P48 1 （5），（），（7），（），（9），（），（12），（），（14） 2 （1），（），（3） 3 （1） 4第六节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第21页/共23页第二十一页，共24页。备用备用(biyng)题题 设设解:利用(lyng)前一极限式可令再利用(lyng)后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的欣赏(xnshng)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。由定理 1 可知。说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .。说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘(xin chn)的情形 .。推论 2 .。例2. 设 n 次多项式。且 B0 , 则有。由极限与无穷小关系定理 , 得。提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,。( 如P47 例7 )。定理7. 设。说明: 若定理中。例8 . 求。 原式。( 分母不为 0 )。型 , 约去公因子第二十四页，共24页。