姜启源其他规划例子实用教案

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1、证券名证券名称称 证券种证券种类类 信用等信用等级级 到期年到期年限限/年年 到期税到期税前收益前收益/% A市政市政 294.3B代办代办机构机构 2155.4C政府政府 145.0D政府政府 134.4E市政市政 524.5第1页/共31页第一页，共32页。试问：若该经理有1000万元资金，应如何投资？如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：（1）设投资证券A，B，C，D，E的金额分别为X1

2、,X2,X3,X4,X5（百万元），按照规定、限制(xinzh)和1000万元资金约束，其中B、C、D类证券到期税前收益要折半，第2页/共31页第二页，共32页。得线性规划模型 目标函数(hnsh)为税前收益最大Max=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x59X 1 15X 2 14X 3 3X 4 2X 55 4X 1 10X 2 X 3 2X 4 3X 5 0X 1+X 2+X 3+X 4+X 5 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 0即 ， ， ， ，以上的平均信用等级和平均到期年限(ninxin)(ninxin)均是采用加权平均法 进行计算的

3、。 xfxf. X 234 4X 1+ X 2+ X 3+ X 4+ X 5 10stXX2 1 2 234 5 51.4 6X 1 6 2 4 3 4 4 36 5 0X 1+ X 2+ X 3+ X 4+ X 5XXXXXXXXX即 第3页/共31页第三页，共32页。答案为证券A A，C C，E E分别投资(tu z)2.182(tu z)2.182百万元，7.3647.364百万元，0.4540.454百万元，最大税后收益为0.2980.298百万元。 . . . .2）由于0.298 百万元除以10等于0.0298，大于借款利率2.75%，所以可借款100万元进行追加(zhuji)投资

4、，其模型修改为： = 0.043X 1 0.027 2 0.025 3 0.022 4 0.045 5 0.0275. X 234 4X 1+X 2+X 3+X 4+X 5 112 1 2 234 5 5 1.4 6X 1 6 2 4 3 4 4 36 5 0X 1+X 2+X 3+X 4+X 59X 1 15X 2 14X 3 3X 4 2X 5 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5M axXXXXstXXXXXXXXXXX即 5 4X 1 10X 2 X 3 2X 4 3X 5 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 0即 ， ， ， ，第4页/共31页第四页，共32页。答案(d n

5、)为A，C，E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.5百万元，最大税后收益为0.3007百万元。. . . .3）如果具有灵敏度分析理论知识，可以采用灵敏度分析法加以处理(chl)。但现在在LINGO软件的帮助下，我们可以直接用修改模型的手段加以解答。情形一、修改后的模型为 = 0.045X 1 0.027 2 0.025 3 0.022 4 0.045 5. X 234 4X 1+X 2+X 3+X 4+X 5 102 1 2 234 5 5 1.4 6X 1 6 2 4 3 4 4 36 5 0X 1+X 2+X 3+X 4+X 59X 1 15X 2 14X 3 3X 4 2X 5

6、 5 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5M axXXXXstXXXXXXXXXXX即 4X 1 10X 2 X 3 2X 4 3X 5 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 0即 ， ， ， ，第5页/共31页第五页，共32页。答案：投资策略不变。即证券(zhngqun)A，C，E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.3027百万元。情形二、修改后的模型为. . . . = 0.043X 1 0.027 2 0.024 3 0.022 4 0.045 5. X 234 4X 1+X 2+X 3+X 4+X 5 102 1 2 234 5 5

7、1.4 6X 1 6 2 4 3 4 4 36 5 0X 1+X 2+X 3+X 4+X 59X 1 15X 2 14X 3 3X 4 2X 5 5 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5M axXXXXstXXXXXXXXXXX即 4X 1 10X 2 X 3 2X 4 3X 5 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 0即 ， ， ， ，答案：投资策略要改变(gibin)(gibin)。即证券A A，D D，E E分别投资3.363.36百万元，6.486.48百万元，0.160.16百万元，最大税后收益为0.294240.29424百万元。 .第6页/共31页第六页，共32页。例二、

8、一家出版社准备在某市建立两个图书销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图纸上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使面对的大学生数量最大？建立该问题的整数线性规划(xin xn u hu)模型。第7页/共31页第七页，共32页。1 2 3 5 7 4 6 解：将大学生数量为3434，2929，4242，2121，5656，1818，7171的区分别标号为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7区，划出区与区之间的如下(rxi)(rxi)相邻关系图： 用0-1变量 表示(biosh)（ ）区的大学

9、生由一个销售代理点供应图书（ 且 相邻），否则 ，建立该问题的整数线性规划模型为 目标函数为人数最多1ijxji,0ijxji ji,Max 63x12+76X13+71X23+50X24+85X25+63X34+77X45+39X46+92X47+74X56+89X67第8页/共31页第八页，共32页。答案(d n)：用LINGDO求解得到：最优解为X25=X47=1（其他为0），最优值为177人。St： X12+X13+X23+X24+X25+X34+X45+X46 +X47+X56+X672 (最多2个销售(xioshu)代理点) X12+X13 1 (与1区相连最多1个点)X12+X2

10、3+X24+X25 1 (与2区相连最多1个点) X13+X23+X34 1 (与3区相连最多1个点) X24+X34+X45+X46+X47 1(与4区相连) X25+X45+X56 1 (与5区相连最多1个点) X46+X56+X671 (与6区相连最多1个点) X47+X67 1 (与7区相连最多1个点) Xij=0或1第9页/共31页第九页，共32页。例三、某储蓄所每天营业时间为上午9 9：0000到下午5 5：0000，根据经验(jngyn)(jngyn)，每天不同时间段所需的服务员数量如下： 时间时间段段910 1011 1112 1213 1314 14151516 1617 服

11、务服务员数员数量量 43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务。全时服务人员每天报酬(bo chou)100(bo chou)100元，从上午9 9：0000到下午5 5：0000工作，但中午1212：0000到下午2:002:00之间必须安排一小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3 3名的半时服务人员，每个半时服务人员必须连续工作4 4小时，报酬(bo chou)40(bo chou)40元。问该储 第10页/共31页第十页，共32页。蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？该储蓄所如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可减少多少费用？解：

12、设储蓄所每天雇佣的全时服务员以12:0013:00为午餐时间的有x1名，以13:0014:00为午餐时间的有名(yu mng)x2名；半时服务员中从9:00，10:00，11:00，12:00，13:00开始工作的分别为 名。列出线性规划模型 目标函数为费用最少1x2x54321,yyyyy12123451001004040404040Minyyyyyxx121. . 4910styxx（ 点）1212113yyxx（10点）1212342 1yyyxx11（点）13122413x6 yyyyx点（ 有12人吃饭）第11页/共31页第十一页，共32页。123214514x 5yyyyyx（点

13、有人吃饭，但有13人离开）123452 1y65yyyxx点，有（14人离开）13245 16y8yyxx（1 ，有5点人离开）4125 817yyxx点（，有16人离开）12345 3yyyyy1212345 ,0y y y y yx x 且为整数答案(d n)(d n)：最优解 ，最小费用为820820元。 12123452,5,0,0,1,1,1xxyyyyy变形(bin xng)一、不能雇佣半时服务员最优解为 ，最小费用为1100元，即每天至少(zhsho)增加1100-820=280元。12 5,6xx第12页/共31页第十二页，共32页。变形二、雇佣半时服务员的数量没有限制最优解为

14、 ， 最小费用为560元，即每天可以(ky)减少820-560=260元。 1210,0,6,xxy, 02y, 03y40y 85y例五、一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计(gj)(gj)，下一年的需求是：春季60006000人天，夏季75007500人天，秋季55005500人天，冬季90009000人天。公司新招聘的保姆必须经过5 5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）6565天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800800元。春季开始时公司拥有120120名保姆，在每个季度结束后，将有1515的保姆自动离职。第13页/共31页第十三页，

15、共32页。（1 1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？（2 2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。解：1 1）设四个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为 人，4 4个季度开始时保姆总数量分别为 人。以本年度付出的总报酬(bo chou)(bo chou)最少（即4 4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为总人数最少 约束条件如下4321,xxxx4321,ssss1234 sMinsss111. . 65()+(65-5)x6000stsx（春天(chntin)(chntin)，因

16、为新保姆只有6060天的工作时间） 以下类似有 22265(s -x )+60 x7500（夏天(xitin)）第14页/共31页第十四页，共32页。 33365(s -x )+60 x5500 44465(s -x )+60 x900011 120sx（冬天(dngtin)）（秋天(qitin)） （春天开始时拥有120名熟练保姆+春天新招聘的保姆应该等于供应(gngyng)春天市场的保姆数） 212 0.85ssx （夏天开始时拥有春天结束时留下的保姆数0.85S1+夏天新招聘的保姆应该等于供应夏天市场的保姆数） 类似有如下约束323 0.85ssx434 0.85ssx（秋天）（冬天）1

17、2341234 ,0 x x x x s s s s答案：变量是否取整数，结果会有较大的不同，因为在0.15的自动离职下，要保证s2，s3，s4为整数，将会大大增加招聘的人数。 第15页/共31页第十五页，共32页。2) 2) 设四个季度开始(kish)(kish)时公司新招聘的保姆数量分别为 人，四个季度结束时解雇的保姆数量分别 为人，4 4个季度开始(kish)(kish)时保姆总数量分别为 人。则模型为总人数最少 4321,xxxx4321,yyyy4321,ssss1234 sMinsss春夏秋冬约束条件如下(rxi)111. . 65()+(65-5)x6000stsx22265(s

18、 -x )+60 x750033365(s -x )+60 x550044465(s -x )+60 x900011 120sx1212 0.85sysx （夏天开始(kish)时拥有春天结束时留下的保姆数0.85S1+夏天新招聘的保姆春天结束时解聘的保姆数应该等于供应夏天市场的保姆数） 类似有2323 0.85sysx3434 0.85sysx第16页/共31页第十六页，共32页。六：在甲乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4 4个月，由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的乙方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4 4个月的供给分别需要 2 2次、3 3次、3 3次、4 4次

19、飞行，每次飞行编队由5050架飞机组成（每架飞机需要3 3名飞行员），可以运送1010万吨物资，每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，在执行完任务后的返回途中有20%20%的飞机会被乙方击落，相应的飞行员也因此(ync)(ync)牺牲或失踪。在第一个月开始的时候，甲方拥有110110架飞机和330330名熟练的飞行员，在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。1)1)每名熟练飞行员作为教练每月指导2020名飞行员（包括他自己在内），每名飞行员第17页/共31页第

20、十七页，共32页。在完成一个(y )月的飞行任务后必须有一个(y )月的带薪假期，假期结束后才能在投入飞行。已知各项费用如下，请你为甲方安排一个(y )飞行计划。 第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 新飞机价格 200 195 190 185 闲置的熟练(shlin)的飞行员报酬 7 6.9 6.8 6.7教练和新飞行员报酬（含培训费）10 9.9 9.8 9.7 执行任务的熟练(shlin)飞行员报酬 9.0. 8 9. 9.8 9.7 休假的熟练(shlin)的飞行员报酬 5 .0 4.9 4.8 4.7第18页/共31页第十八页，共32页。2)如果每名熟练飞行员可以作为(zuwi)教

21、练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练，模型和结果有哪些改变？解：1)设每月购买新飞机x1，x2，x3，x4架，每月闲置飞机y1，y2，y3，y4架，每月熟练飞行员任教练的人数z1，z2，z3，z4人，每月新招聘飞行员人数w1，w2，w3，w4人，每月闲置熟练飞行员人数s1，s2，s3，s4人，每月休假的熟练飞行员人数t1，t2，t3，t4人。第一个月 第二个月 第三个月 第四个月购新飞机(fij) X1 X2 X3 X4购机费用(fi yong) 200X1 195X2 190X3 185X4 闲置飞机数 Y1 Y2 Y3 Y4教练 Z1 Z2 Z3 Z4新飞行员 W1 W

22、2 W3 W4第19页/共31页第十九页，共32页。以上(yshng)两者费用 10(z1+w1) 9.9(z2+w2) 9.8(z3+w3) 9.7(z4+w4) 执行任务(rn wu)(rn wu)飞行员数与费用依次为300300（9 9）， 450 450（8.98.9）， 450 450（9.89.8）， 600 600（9.79.7） 闲置(xinzh)(xinzh)熟练飞行员数与费用 依次为S1S1（7 7） ， S2 S2（6.96.9） ， S3 S3（6.86.8） ， S4 S4（6.76.7） 休假熟练飞行员数与费用依次为 t1（5） ， t2（4.9） ， t3（4.8

23、）， t4（4.7） 建立目标函数如下：Min=200 x1+195x2+190 x3+185x4+10（z1+w1） +9.9（z2+w2）+9.8（z3+w3）+9.7（z4+w4） +7s1+6.9s2+6.8s3+6.7s4； （由于执行任务的飞行员是定数，其费用是确定的，可以不列入目标函数里；同理，休假熟练飞行员数1,2,3,4月为t1=0，t2=30080%=240，t3=45080%=360，t4=45080%=360，其费用也是确定的，不列入目标函数里；因为列在里面也不会影响最优方案）第20页/共31页第二十页，共32页。飞机数目限制：第一月 110=100+y1 110=10

24、0+y1； 第二月 150+y2=80+x1+y1 150+y2=80+x1+y1 （第二月的可用飞机数为第一月执行任务(rn wu)(rn wu)后返回的飞机数8080，加上第一月闲置的飞机数y1y1，再加上第一月新购飞机数x1x1，应该等于第二月执行任务(rn wu)(rn wu)的飞机数150150，加上第二月闲置的飞机数y2y2）；第三月 150+y3=120+x2+y2 150+y3=120+x2+y2 ； 第四月 200+y4=120+x3+y3 200+y4=120+x3+y3 ；飞行员数目限制： 第一月 330=300+s1+z1 330=300+s1+z1 （一月执行任务(r

25、n wu)(rn wu)的飞行员数300300人，加上闲置熟练飞行员数s1s1，再加上担任教练的熟练飞行员数z1z1），第21页/共31页第二十一页，共32页。第三(d sn)(d sn)月 s2+z2+w2+240=450+s3+z3 s2+z2+w2+240=450+s3+z3 ；第四月 s3+z3+w3+360=600+s4+z4 s3+z3+w3+360=600+s4+z4 ；教练(jiolin)(jiolin)与新飞行员比例限制：19z1=w1 19z2=w2 19z3=w3 19z4=w4 19z1=w1 19z2=w2 19z3=w3 19z4=w4 以上变量均为非负整数第二月

26、s1+z1+w1=450+s2+z2 s1+z1+w1=450+s2+z2 （二月可用飞行员数为上月闲置熟练飞行员数s1s1，加上上月担任教练的熟练飞行员数z1z1，再加上上月新飞行员数w1w1，应该等于执行任务的飞行员数450450人，加上闲置熟练飞行员数s2s2，再加上担任教练的熟练飞行员数z2z2，其中一月份执行任务后返回的240240名飞行员在休假，在三月份才可以进入可飞行状态(zhungti)(zhungti)）；类似有第22页/共31页第二十二页，共32页。水库(shuk)A发 电站A水库(shuk)B发 电站B四、某电力公司经营两座发电站，发电站分别(fnbi)(fnbi)位于两

27、个水库上，位置如下图所示。 已知发电站A A可以将水库A A的一万立方米的水转换为400400千度电能，发电站B B只能将水库B B的一万立方米的水转换为200200千度电能. .发电站A A、B B每个月的最大发电能力分别是6000060000千度，3500035000千度。每个月最多有5000050000千度电能够以200200元/ / 千度的价格售出，多余的电能只能够以140140元/ / 千度的价格售出。水库A A，B B的其他有关数据如下（单位：万立方米）水源B水源A第23页/共31页第二十三页，共32页。 水库A水库B水库最大蓄水量20001500水源流入水量本月20040下月13

28、015水库最小蓄水量1200800水库目前蓄水量1900850请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划(jhu)(jhu)。（千度的非国际单位制单位，1 1千度10001000千瓦时）解：令a1a1，a2a2表示A A水库(shuk)(shuk)在本月，下月A A电站的发电水量；b1b1，b2b2表示B B水库(shuk)(shuk)在本月，下月B B电站的发电水量；c1c1，c2c2表示A A水库(shuk)(shuk)在本月，下月直接放走的水量；第24页/共31页第二十四页，共32页。d1d1，d2d2表示B B水库在本月，下月直接放走的水量；e1e1，e2e2表示A A水库在本月末，

29、下月末的库存(kcn)(kcn)水量；f1f1，f2f2表示B B水库在本月末，下月末的库存(kcn)(kcn)水量；x1x1，x2x2表示本月，下月以高价销售的电量；y1y1，y2y2表示本月，下月以低价销售的电量；列出线性规划模型 目标函数为销售收入最大 1212max200()140()xxyy约束条件为 本月发电量等于本月销售(xioshu)电量 1111400200abxy下月发电量等于下月销售(xioshu)(xioshu)电量 2222400200abxyA A水库本月守恒 A A水库下月守恒 1111900200ace2221130acee第25页/共31页第二十五页，共32页

30、。B B水库本月(bn yu)(bn yu)守恒 B B水库(shuk)(shuk)下月守恒 1111185040bdfac22212215bdffac发电能力限制(xinzh) (xinzh) 124006000040060000aa122003500020035000bb水库蓄水量限制 121200200012002000ee1280015008001500ff高售价电量限制 125000050000 xx答案：X1=50000 ，X2=50000， Y1=45000， Y2=45000，A1=150， B1=175 ，A2=150， B2=175，C1=0， E1=1950 ， C2=6

31、45， E2=1285 ，D1=0， F1=865， D2=0， F2=1500 最大销售收入为73.26 10第26页/共31页第二十六页，共32页。七：某公司将4 4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A A、B B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A A、B B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3 3，1 1，2 2，1 1（），进货价格分别为6 6，1616，1010，1515（千元 / / 吨）。产品A A、B B的含硫量分别不能超过2.52.5，1.51.5（），售价分别为9

32、9，1515（千元 / / 吨）。根据(gnj)(gnj)市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为5050吨；产品A A、B B的市场需求量分别为100100吨、200200吨。问应如何安排生产？第27页/共31页第二十七页，共32页。解：设A A中拥有(yngyu)(yngyu)混合液x1x1吨，丙原料x2x2吨；B B中拥有(yngyu)(yngyu)混合液y1y1吨，丙原料y2y2吨；又设甲、乙、丁混合液中含量百分比未s1s1，s2s2，s3s3；显然有s1+s2+s3=1s1+s2+s3=1。则A A的销售收入为9 9（x1+x2x1+x2），B B的销售收入为15

33、15（y1+y2y1+y2），A A中含有原料甲、乙、丁、丙的量为x1s1x1s1，x1s2x1s2，x1s3x1s3，x2x2；含硫量为0.03x1s1+0.01x1s2+0.01x1s3+0.02x20.03x1s1+0.01x1s2+0.01x1s3+0.02x2；B B中含有原料甲、乙、丁、丙的量为y1s1y1s1，y1s2y1s2，y1s3y1s3，y2y2；含硫量为0.03y1s1+0.01y1s2+0.01y1s3+0.02y20.03y1s1+0.01y1s2+0.01y1s3+0.02y2；第28页/共31页第二十八页，共32页。甲原料成本为6（x1s1+y1s1）；乙原料成

34、本为16（x1s2+y1s2）；丁原料成本为15（x1s3+y1s3）；丙原料成本为10（x2+y2）；A 产 品 ( c h n p n ) 含 硫 量 百 分 比 限 制（0.03x1s1+0.01x1s2+0.01x1s3+0.02x2）（x1+x2）2.5%；B 产 品 ( c h n p n ) 含 硫 量 百 分 比 限 制（0.03y1s1+0.01y1s2+0.01y1s3+0.02y2）（y1+y2）1.5%；市场需求限制 x1+x2=100 ； y1+y2=200 ；丁原料限制 x1s3+y1s350 ；以及 s1+s2+s3=1 ；第29页/共31页第二十九页，共32页。

35、目标(mbio)(mbio)函数为Max=9Max=9（x1+x2x1+x2）+15+15（y1+y2y1+y2） 6 6（x1s1+y1s1x1s1+y1s1）1616（x1s2+y1s2x1s2+y1s2） 15 15（x1s3+y1s3x1s3+y1s3）1010（x2+y2x2+y2）。答案(d n)(d n)：MAX=350, X2=100, Y1=100,MAX=350, X2=100, Y1=100, Y2=100, S2=0.50, S3=0.50 Y2=100, S2=0.50, S3=0.50第30页/共31页第三十页，共32页。谢谢您的观看(gunkn)！第31页/共31页第三十一页，共32页。NoImage内容(nirng)总结证券名称。例五、一家保姆服务公司(n s)专门向顾主提供保姆服务。保姆从该公司(n s)而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。（1）如果公司(n s)不允许解雇保姆，请你为公司(n s)制定下一年的招聘计划。（2）如果公司(n s)在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司(n s)制定下一年的招聘计划。解：设A中拥有混合液x1吨，丙原料x2吨。B中拥有混合液y1吨，丙原料y2吨。谢谢您的观看第三十二页，共32页。