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1、 高三数学跨越一本线问题三 含参数的常用逻辑用语问题通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义,弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题,以飨读者一、与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理【例1】【20xx湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合,集合.已知命题,命题,且命题是命
2、题的必要不充分条件,求实数的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用是的必要不充分条件 解题【解析】由已知得,. 是的必要不充分条件,.则有.,故的取值范围为.【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验【小试牛刀】设:；:若是的必要而不充分条件,求实数的取值范围【答案】【解析】由得, , 故 由 若是的必要而不充分条件,的必要而不充分条件,即,故所求的取值范围是二、与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”
3、与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围【例2】【20xx宁夏育才中学月考】已知命题函数在区间上单调递增；命题函数的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“”为真命题,“”也为真命题,求实数的取值范围.【分析】先确定真值相同再根据,同真时或同假确定实数的取值范围.【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的
4、真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围【小试牛刀】已知命题方程表示圆；命题双曲线的离心率,若命题“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围【答案】【解析】若命题为真命题 ,则,即整理得,解得若命题为真命题,则,解得 因为命题为假命题,为真命题,所以中一真一假,若真假,则 ; 若假真,则,所以实数的取值范围为 三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的【例3】若命题“使得”为假命题,则实数的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）【分
5、析】命题“使得”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解【解析】由命题“使得”为假命题,则命题“使得”为真命题所以故选（C）【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理【小试牛刀】【20xx山东潍坊高三上学期期中联考】已知,设,成立；,成立,如果“”为真,“”为假,求的取值范围. 【答案】或【解析】若为真：对,恒成立,设,配方得,在上的最小值为,解得,为真时：；若为真：,成立,成立.设,易知在上是增函数,的最大值为,为真时,”为真,“”为假,与一真一假,当真假时,当假真时,综上所述,的取值范围是或.四、与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“”表示对于任意一
6、个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围【例3】已知命题：“”,命题：“”若命题“且”是真命题,则实数的取值范围为（ ）A或 B或C D【分析】若命题“且”是真命题,则命题都是真命题,首先将命题对应的参数范围求出来,求交集即可【点评】命题是恒成立问题,命题是有解问题【小试牛刀】已知恒成立,方程表示焦点在轴上的椭圆,若命题“且”为假,求实数的取值范围【答案】【解析】由题意：若为真,则有对恒成立取“” 若为真,则有,即或,由且为假,则、中至少一个为假若、均为真,则,且为假,实数的取值范围是 【迁移运用】
7、1【20xx四川双流中学高三模拟】已知命题：存在使得,若是真命题,则实数的取值范围为（ ）A BC D【答案】D【解析】若存在,使得,则,若为真命题,则为假命题,实数的取值范围为.故本题正确答案为D2【20xx河南南阳一中高三上学期月考】已知“”是“”的充分不必要条件,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】解不等式可得或,因为“”是“”的充分不必要条件,所以“”是“或”的真子集,所以,故选A.3【重庆市一中高三上学期期中】若“,使得成立”是假命题,则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A4函数在上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ） A B C D【答案】D【解析】函数
8、在上是单调递减函数则；选项A是充要条件；选项B、C是充分不必要条件；故选D5命题“对任意实数,关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A B C D【答案】 【解析】即由“对任意实数,关于的不等式恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数,关于的不等式恒成立”因为,所以,恒成立,即, 因此；反之亦然故选6已知,则下列结论中错误的是（ ）A BC D【答案】C7.【20xx广东郴州高三第二次教学质量监测】若命题“”是假命题,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】“”是假命题等价于,即,解之得,即实数的取值范围是.8已知关于的不等式的解集为,集合若“”是“”的充分不必要条件,则
9、实数的取值范围是_【答案】2,0【解析】由“”是“”的充分不必要条件,可知AB,因此a2且a22解得a2,09已知命题,若命题是真命题,则实数的取值范围是 【答案】【解析】若命题是假命题,即对于,当时,显然成立,当时,则,综上10由命题“xR,x22xm0”是假命题,求得实数m的取值范围是（a,）,则实数a 【答案】1【解析】由题意得命题“x R,x22xm0”是真命题,所以44m1,故实数m的取值范围是（1,）,从而实数a的值为111【20xx学年江苏省涟水中学高三12月月考数学试卷】已知命题：“”为真命题,则实数的取值范围是 【答案】a4【解析】当时,有解,使得,设,则解得x=0,2,当单
10、调递减,当单调递赠,所以的最小值为,所以a412【江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷】若不等式成立的一个充分非必要条件是,则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为不等式的成立的充分非必要条件是,所以,当即时,不等式的解集为, 由得：,解之得：,当即时,不等式解集为；当即时,不等式解集为由得：,此时无解,所以的取值范围为13设命题：实数满足,其中；命题：实数满足（1）若,且为真,求实数的取值范围；（2）若是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围【答案】（1） （2） 14.已知命题:在上定义运算：不等式对任意实数恒成立；命题：若不等式对任意的恒成立若为假命题,为真命题,求实数的取值范
11、围【答案】【解析】由题意知, 若命题为真,对任意实数恒成立, 当即时,恒成立,； 当时, 综合得, 若命题为真,则有对任意的恒成立 , 即对任意的恒成立,令,只需, ,当且仅当即时取“=”, 为假命题,为真命题,中必有一个真命题,一个假命题,（1）若为真为假,则, （2）若为假为真,则, 综上：15设命题:实数满足,其中,命题:实数满足（1）若且为真,求实数的取值范围;（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围【答案】（1） （2） 【解析】（1）当时, 又为真,所以真且真,由,得所以实数的取值范围为 （2） 因为是的充分不必要条件,所以是的充分不必要条件, 又,所以,解得所以实数的取值范围
12、为 16.【20xx湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】设实数满足：（）, 实数满足：,若,且为真,求实数的取值范围；是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】（）；（）是的充分不必要条件,记,则是的真子集 或 得,即的取值范围为 17. 【20xx河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】设命题实数满足,；命题实数满足.（）若,为真命题,求的取值范围；（）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.18已知命题p：“方程有解”,q：“上恒成立”,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数的取值范围【答案】【解析】令 ,pq一真一假, 或 得： 19命题实数满足（其中）,命题实数满足（1）若,且为真,
13、求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】由：（其中）,解得, 记 由,得,即 ,记 （1）若,且为真,则,又为真,则,所以,因此实数的取值范围是 （2）是的充分不必要条件,是的必要不充分条件,即,则只需 ,解得,故实数a的取值范围是20【山东潍坊市高三上学期期中联考】已知,设,成立；,成立,如果“”为真,“”为假,求的取值范围. 【解析】若为真：对,恒成立,设,配方得,在上的最小值为,解得,为真时：；若为真：,成立,成立.设,易知在上是增函数,的最大值为,为真时,”为真,“”为假,与一真一假,当真假时,当假真时,综上所述,的取值范围是或.21【山东潍坊市高三上学期期中联考】已知,设,成立；,成立,如果“”为真,“”为假,求的取值范围. 【解析】若为真：对,恒成立,设,配方得,在上的最小值为,解得,为真时：；若为真：,成立,成立.设,易知在上是增函数,的最大值为,为真时,”为真,“”为假,与一真一假,当真假时,当假真时,综上所述,的取值范围是或.
【跨越一本线】高三数学 问题：1.3含参数的常用逻辑用语问题含答案
