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1、 第2讲数形结合思想1数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(2
2、)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式(5)构建立体几何模型研究代
3、数问题(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题(7)构建方程模型，求根的个数(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.热点一利用数形结合思想讨论方程的根例1(20x
4、x山东改编)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案(，1)解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个
5、数设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为_答案3解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函数f(x)与yx的图象，如图，由图知交点个数有3个热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_(2)若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_答案(1)(1,0)(0,1)(2)解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知xf(x)0，所以m1，故m的取值范围是m1.(2)令y1，y2k(x
6、2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)的解集为a，b且ba2.结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)又因为点(2，)在直线上，所以k.热点三利用数形结合思想解最值问题例3(1)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_(2)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是_答案(1)2(2)2,16解析(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPACPAACPA越来越大，从而S四边形PACB
7、也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC3，从而PA2.所以(S四边形PACB)min 2PAAC2.(2)画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，最大值为QA216.d2()2()22.取值范围是2,16思维升华(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就
8、要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解(1)(20xx重庆改编)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则PQ的最小值为_(2)若实数x、y满足则的最小值是_答案(1)4(2)2解析(1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，1)，圆的半径长为2，PQ的最小值为圆心到直线x3的距离减去圆的半径长，所以PQmin3(3)24.(2)可行域如图所示又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由图知，过点A的直线OA的斜率最小联立得A(1,2)，所以kOA2.所以的最小值为2.1在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等
9、都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的2有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的3利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象4数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1(20xx重庆改编)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为_答案54解析设P(x,0)，设C1(
10、2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，那么PC1PC2PC1PC2C1C25.而PMPNPC1PC2454.2(20xx江西改编)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_答案解析AOB90，点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为OD.又OD，圆C的最小半径为，圆C面积的最小值为()2.3(20xx课标全国改编)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_答案
11、2,0解析函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f(x)|ax显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在x0，且x1+x2=a32，x1x2=a1，联立可得0a0，且x3x4=a32，x3x4=a1，联立可得a9，综上知，0a9.押题精练1方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_答案2解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点2不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_答案(，14，)
12、解析f(x)|x3|x1|画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.3经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.答案1,10，)解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为0，)4(20xx山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则OM的最小值是_答案解析由题意知原点O到直线x
13、y20的距离为OM的最小值所以OM的最小值为.5(20xx江西)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为_答案解析SAOBOAOBsinAOBsinAOB.当AOB时，SAOB面积最大此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.6设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在x1处的切线互相平行(1)求b的值；(2)若函数F(x)且方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围解函数g(x)bx2ln x的定义域为(0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)
14、2bxg(1)2b1，依题意得2b10，所以b.(2)x(0,1)时，g(x)x0，即g(x)在(1，)上单调递增，所以当x1时，g(x)取得极小值g(1)；当a0时，方程F(x)a2不可能有四个解；当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(1,0)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递增，x(1,0)时，f(x)0，即f(x)在(1,0)上单调递减，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F(x)a2有四个解，则a22a，所以，实数a的取值范围是.
高考数学 理科二轮复习【专题9】数形结合思想含答案
