最新高中数学一轮复习最拿分考点系列：考点1 等差与等比数列 Word版含解析

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1、 专题1 等差与等比数列考点了解A掌握B灵活运用C等差（等比）数列的概念B等差（等比）数列的通项公式与前n项和公式C等差（等比）数列作为一种特殊的数列，高考考点为等差数列的概念，等差数列的通项公式与前n项和公式，等差数列与一次函数、二次函数的关系。高考中选填题以考查等差（等比）数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，为中低档题。解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列、也常与不等式结合综合考查。复习中注意对等差（等比）数列的定义与性质的理解，函数与方程的思想、分类与转化的思想、运算能力等的训练和培养。复习教学中提出以下建议；教学中应注意“四化”，知识理

2、解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯通；让学生做，触类旁通；让学生考，无师自通。通过研究近4年全国高考试卷，不难发现全国卷对数列递推关系的考查弱化,重点是等差和等比数列的基本运算。而题目设置上如果没有解答题，会有两个选填题；如果有解答题，为一个大题，不出现选填题。一般所占分值为1012分。选填题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题，一般有24个步骤；若数列综合题则为较靠后的填空题，属于

3、典型的中档题。解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列为主。也有可能与不等式、数学归纳法等结合综合考查，整个数列的考查主要是以中低档题为主，考查常见的基本量计算，常见的通项公式求法和常规的数列求和方法，注重通性通法的考查。数列在高考中占据重要的地位，通过分析近几年的高考情况，考查特点如下表：考什么怎么考题型与难度1.数列的通项公式考查等差、等比数列的基本量的求解；考查an与Sn的关系，递推关系等题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题2.等差(比)数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基本量的求解题型：三种题型均可出现难度：基础题3.等差(比)数列的判定与证明

4、主要考查等差、等比数列的定义证明题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题4.等差(比)数列的性质主要考查等差、等比数列的性质题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题5.数列的前n项和考查等差、等比数列前n项和公式；考查用裂项相消法、错位相减法、分解组合法求和.题型：三种题型均可出现，更多为解答题难度：中档题6.数列的综合应用考查数列与函数的综合；考查数列与不等式的综合.题型：解答题难度：中档题 20xx-全国高考数列试题分布表年份题型考查角度分值难度卷选择题第4题等差数列求公差5容易选择题第12题等比数列求和及应用5中等卷选择题第3题等比数列与数学文化5容易填空题第15题等差数列与裂项求和5

5、中等卷选择题第3题等差与等比数列求和5容易填空题第14题等比数列求特定项5中等卷选择题第3题等差数列的基本性质、前n项和公式和通项公式5容易解答题第17题等比数列的通项公式及其性质12中等卷解答题第17题等差数列，取整函数与数列求和12中等卷选择题第12题数列新定义5中等解答题第18题等比数列的证明，求通项公式12中等卷填空题第17题通项公式、裂项相消求和12中等卷选择题第4题等比数列基本量计算(或下标间隔相等性质)5较难填空题第16题数列通项公式(与关系),通项与前项和,等差数列5较难卷填空题第5题等比数列性质5容易解答题第17题等差数列、递推关系、数列求和12中等卷解答题第17题等比数列定

6、义及通项,分式型不等式放缩,等比数列求和(放缩方法多样)12中等等差数列和等比数列等差数列等比数列定义通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法： 为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,) 为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数, ) 为等差数列；(1)定义法(2)中项公式法： () 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)为等比数列(4) 为等差数列(总有意义)为等比数列性质(1)若，且，则(2) (3) ，仍成等差数列(1)若，且，则(2) (3)等比数列依次每项和()，即 ，仍成等比数列前n项和时，；当时，或.典例【20xx课标1文17】记Sn为等比数列的前n项和，

7、已知S2=2，S3=-6（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【答案】（1）；（2），证明见解析（2）由（1）可得由于，故，成等差数列【精准解读】等差、等比数列作为两个特殊的数列，熟悉定义，掌握基本量法是解决等差、等比数列问题的通法。但在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法本题既考查了学生基本运算能力，也反映了基本的推理能力。1.【20xx课标3理9】等差数列的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A B C3 D8【答案】A【精准解读】 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及

8、五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.2.【20xx课标3理14】设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则a4 = _.【答案】【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由 可得： ，代入可得，由等比数列的通项公式可得： .【精准解读】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，

9、在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.3.【20xx课标II文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若 ，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（）；（）当时，.当时，.【解析】分析：（1）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求和.【精准解读】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差

10、、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用。【实战演练】（共100分）一、选择题（共6题，每题5分）1.【20xx课标1理4】记为等差数列的前项和若，则的公差为A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】解法一：设公差为，联立解得，故选C.解法二：因为，即，则，即，解得，故选C.2.【20xx课标II理3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C

11、5盏 D9盏【答案】B3.【20xx河南洛阳高三联考】在等比数列中， ， 是方程的根，则的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】由， 是方程的根，可得： ，显然两根同为负值，可知各项均为负值； .故选：B4【20xx甘肃兰州一中模拟】在等比数列中，若， ，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】=+在等比数列中， 原式=）=-故选D5.【20xx高考福建理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D 6. 【20xx河北邢台高三联考】设为正项数列的前项和， ， ，

12、记则（ ）A. 10 B. 11 C. 20 D. 21【答案】C【解析】 是首项为2，公比为3的等比数列，则当时， ，则： ，据此可得： .本题选择C.二、填空题（共4题，每题5分）7.【20xx天津滨海新区八校联考】 在等比数列中， ， ， 成等差数列，则_ 【答案】【解析】由题意得 8.【20xx河北武邑中学调研】已知数列为正项等差数列，其前9项和，则的最小值为_【答案】9【解析】数列为正项等差数列，即，9.【20xx课标II理15】等差数列的前项和为，则 。【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有： ，解得 ，数列的前n项和,裂项有：，据此： 。10.【20xx西安市西北工

13、业大学附中模拟】已知数列满足，若表示不超过的最大整数，则_.【答案】1据此有：很明显： ，则1.三、解答题（共5题，每题10分）11.【20xx高考新课标1文数】已知是公差为3的等差数列,数列满足,.（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.【答案】（I）（II）【解析】分析：（I）由已知条件求出首项为2,根据公差为3,即可确定等差数列的通项公式；（II）先判断 是等比数列,再求出通项公式,最后,再利用等比数列求和公式求的前n项和.解析：（I）由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.（II）由（I）和 ,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前 项和为,则12.【

14、20xx湖南益阳高三调研】已知数列的首项，前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（2），所以，13. 【20xx广州模拟】记为差数列的前n项和，已知， .(1)求的通项公式；(2)令， ，若对一切成立，求实数的最大值.【答案】（1） （2）2【解析】 (1)等差数列中， ， .，解得. ， . (2) ， ， 随着增大而增大， 是递增数列， ， ， 实数的最大值为2.14.【20xx山东理19】已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P

15、2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）（II）过向轴作垂线，垂足分别为,由(I)得记梯形的面积为.由题意,所以+=+ 又+ -得= 所以15【20xx江西师大附中模拟】设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）设数列的前项和为，求证： 为定值； （3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在（2）因为，所以，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，从而， ，所以.（3）假设中存在第项成等差数列，则，即.因为，且，所以.因为，所以，故矛盾，所以数列中不存在三项成等差数列._