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1、高中数学竞赛专题讲座之七排列组合 二项式定理和概率一、排列组合二项式定理1(2005年浙江)设，求的值为（ ）A B C D【解】令 得 ；（1）令 得 ；（2）令 得 ；（3） （2）（3）得 ，故 ，再由（1）得 。 选 【 C 】2（2004 全国）设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有 （ ）A45个B81个C165个D216个解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即 （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，. （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只
2、有2个不同数码. 设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设ab，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。综上，。1,3,53（2005四川）设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为A8B10C12D14解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为时，有3个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，
3、故选C。4（2005四川）设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表。若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（ ）A144B192C216D576解：对于的一个排列，可以9个映射满足，而共有个排列，所以满足条件的数表共有张，故选C。5(2005江西)连结正五边形的对角线交另一个正五边形，两次连结正五边形的对角线，又交出一个正五边形（如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形的个数为 （ ）A50 B75 C85 D100解：对于其中任一点P，以P为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为P则., 由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形
4、恰有一个“顶”。据对称性可知.因此等腰三角形共有个.6(2005全国)将关于的多项式表为关于的多项式其中则.解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有7如果自然数的各位数字之和等于7，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则5200.解：方程的非负整数解的个数为.而使的整数解个数为.现取，可知，位“吉祥数”的个数为2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，且对于四位“吉祥数”，其个数为满足的非负整数解个数，即个.2005是第1+7+28+28+165个“吉祥数”，即从而又而从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，610
5、00,60100,60010,60001,52000.第325个“吉祥数”是52000，即8（2004四川）某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 4168 个.1,3,5二、概率部分1（2006吉林预赛）在6个产品中有4个正品，2个次品，现每次取出1个作检查（检查完后不再放回），直到两个次品都找到为止，则经过4次检查恰好将2个次品全部都找到的概率是（D）A1/15B2/15 C1/5 D4/152（2006年南昌市）甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每
6、局比赛,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为_.3（2006年浙江省预赛）在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 .解： 三个数成递增等差数列，设为 ，按题意必须满足 。 对于给定的d，a可以取1，2，2006-2d。 故三数成递增等差数列的个数为 三数成递增等差数列的概率为.4（2006吉林预赛）骰子是一个质量均匀的正方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点。现在桌面上有3只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作，直到桌子上没有骰子：将桌上的骰子全部掷出，然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数多于三次的概率。.（169/512）5（200
7、4湖南）如果一元二次方程中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= （ ）ABCD 6(2005江西)从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为，则n=_.7 (2005江西)有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为_个.8将编号为1,2，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是
8、相同的放法）解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种. 5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则 上式取等号当且仅当，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此.10分由上知，当每个弧段上的球号确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1,2，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件
9、总数是种，故所求概率20分8（2004全国）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 （）因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关.5分 （）设事件为“第n关过关失败”，则对立事件为“第n关过关成
10、功”.第n关游戏中，基本事件总数为个.第1关：事件所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为：.第2关：事件所含基本事件数为方程当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和. 即有（个）.过此关的概率为：. .10分第3关：事件所含基本事件为方程当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有（个）.过此关的概率为：.15分故连过前三关的概率为：. .20分（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）10（2006年浙江省预赛）六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问1）共有多少种不同的骰子；2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V。在所有的骰子中，求V的最大值和最小值。解：1）设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共64种。所以不同的骰子共有种. （5分）2） 由16的六个数字所能产生的变差共有15个，其总和为1（12）（123）（1234）（123+4+5）=35 （10分）与之相比，每个骰子的全变差中，所缺的是三个相对面上数字之间的变差，记其总和为v，则vmax（6+5+4） (1+2+3) 9 ， vmin 1+1+1 3 （15分）因此 Vmax35vmin32 Vmin35vmax26. （20分）6
高中数学竞赛专题讲座之七：排列、组合、二项式定理和概率
