数学分析习作-数列极限及函数极限的异同

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1、-*大学数学分析习作课1读书报告题 目： 数列极限与函数极限的异同定义，存在条件，性质，运算四方面的比照学 院：物理科学技术学院专 业：数理根底科学、*：任课教师：时 间：2009-12-26摘 要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的根底和基石；极限在数学中处于根底的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和根底；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限

2、可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一 数列极限与函数极限的定义1、 数列与函数：a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：，. 通常记作，也可将其看作定义在自然数集N上的函数=， 故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对*个围*的每一个实数，可以按照确定的规律，得到唯一一个实数和这个对应，我们就称是上的函数，它在的数值称为函数值是，记为，即。 称是自变量，是因变量，又称是函数的定义域，当遍取的所有实数时，在的作用下有意义，并且相应的函数值的全体所组成的围叫作函数的值域，要注意的是：值域不一定就是Y，它当

3、然不会比大，但它可能比小。2、 一数列极限的定义：对数列，假设存在常数，对，有，则称数列收敛且收敛于，并称数列的极限为，记为=A.例1.试用定义验证：.证明：分析过程，欲使只需即可，故.例2.试用定义验证：证明：分析过程.欲使，只需注意。故，对于比较复杂的表达式，一般地，我们通过运算,适当放大，将变形简化到，既使得对于由不等式能比较容易求得，又使得当时，恒成立不等式，从而有。以下各例的解法中都贯穿这一思路。例3.试用定义验证：证明：分析过程. 故，.例4.试用定义验证：.证明：分析过程.欲使，注意到，利用不等式得，只需.故 ：.例5试用定义验证：.证明:分析过程.仿照上例的证法，记，有，只需.

4、故，：.例6.关于数列，证明：假设对于*个常数以及，：，则有. 证明：由可知，N,:,于是由题设可得，:.例7.设，.证明：. 证明:显然，注意到.于是由例6即得所证。二函数极限的定义：定义1设，假设存在，：，则称当趋于时的极限为，记为或.类似的，设，假设存在，,:,则称当趋于-时的极限为，记为或.定义2.设，假设存在，,则称当趋于时的极限为，记为或.下面讨论当趋于*一实数时函数的变化情况函数在点处的左极限，右极限也可分别记作，左极限，右极限统称为单侧极限. 假设在的*去心邻域中有定义，则由定义可知：存在和均存在且相等.注 需要特别指出的是，由于在一元函数微积分中我们研究的函数的定义域一般为区

5、间或假设干个区间的并集，因此在以后的有关函数极限的论证中，我们将就记作，对的左去心邻域右去心邻域也作类似的简化处理.几何意义 设，在平面上任意画一条以为中心线，宽为的横带，则必存在一条以为中心线，宽为的竖带，使得竖带的函数图像除点外全部位于所给定的横带.例1 试用定义验证以下函数极限：(1); (2) . 证明 1因为，所以2当时，.因为，所以不妨设，由此推得，此时，于是.例2 说明以下函数在点处不存在极限：12：3.证明：1因为，所以在处不存在极限.但是有.注意，.2与1同理可得在处不存在极限.注意，本例中的函数与上例中的函数区别仅在点处是否有定义，但由极限定义可知，这并不影响我们对函数在处

6、的极限存在性的讨论.3因为，所以在处不存在广义极限.二数列极限和函数极限的存在性条件:(一) 数列极限的存在性条件：定理：单调有界数列收敛定理单调增减，上下有界的数列必为收敛数列;单调增减，上下无界数列必为正负无穷大量.证明：(i) 设为单调数列，为数列中一切项所组成的数集，当然，且数列上有无界，即数集上有无界.记，则.注：为简化语言，习惯上我们将所述的就记作.假设上有界，则，于是(即)：，注意到递增，故，此即说明收敛且收敛于.假设上无界，则，于是N，即：,仍由递增知，,即证得为正无穷大量.(ii) 设为单调减数列.注意到，此时为单调增数列，则由i知，于是有 =-.而下有无界，即，由此即得所证

7、. 注：由上述证明可知：假设数列单调增，则；假设数列单调减，则.由此可得如下结论： 单调增减数列收敛的充要条件是数列上下有界 单调增减数列假设发散，则必为正负无穷大量例1 设，证明：.证明：令，则，于是可知，当充分大后，单调减且有下界0，从而收敛.记，则.注：利用此例可知，由此证得.例2 设重根号，求.解：由的表达式可知有递推式N.利用数学归纳法易知，.于是，此即说明单调增且有上界，从而收敛.记，则,解此方程得舍，即.例3 设，N，证明：为收敛数列.证法1 利用平均不等式，有i =ii于是单调增且有上界，从而为收敛数列.证法2 令，利用平均不等式，有 于是单调见减且有下界，从而收敛.注意到，由

8、此即知收敛且与收敛于同一极限. 由本例，我们得到了微积分中一个重要极限，且记此极限为，即是自然对数的底.同时，此例中的两种证法可知，.例4.设，证明：为收敛数列.证明 由式，：.于是，即单调减且有下界，从而为收敛数列二函数极限存在性条件归并定理定理1 ，假设，则.定理中的可以是实数，也可以是.以下只对加以证明其余情形略证明：必要性.由的定义，.任取数列满足，由数列极限定义可知，对上述，N,注意到,即有,此即说明. 充分性.用反证法.假设不是在点处的极限，则取一列，则 即，由此取得的自变量数列满足，但却不是相应的函数值数列的极限，由此得到矛盾.例 说明函数在点处不存在单侧极限.证明： 取，则，显

9、然，而不存在极限，从而函数在处不存在右极限. 假设考察，则同理可说明在处不存在左极限.定理2.设在的*一去心邻域中有定义，则在点处存在极限的充要条件是.证明： 必要性.设，则由定义， 充分性略三 收敛数列和函数极限的性质一收敛数列的性质1唯一性定理1. 假设数列收敛，则其极限唯一.证法一： 用反证法：假设，且，取，则由定义，.于是，：，由此得到矛盾证法二： 记，则由定义，；.于是，：.由于是确定的常数，因此由的任意性即知.2有界性定理2 假设数列收敛，则有界.证明： 设，取，则由定义知，：.令，则：. 由上述证明可知：数列的有界性与所谓的“往后有界性即数列自*项后有界等价.3保号性定理3 假设

10、则事实上，我们可以得出结论：证明： ，取，则由定义知，：.4不等式性定理4 设，假设，则证明： 取，由定义可知，.于是，：.推论：设，假设，则. 但请注意，假设将条件改为“，其结论仍为“.请考察数列，.假设，且，则对于与之间的大小关系无任何结论可得.5夹逼性定理5 设有数列，假设， 且，则收敛，且证明： 由极限定义，;.于是，.二函数极限的性质1.唯一性定理1 假设函数在点处的广义极限存在则必唯一证明： 设且.先取满足：，则由定理可知：且，再由数列广义极限的唯一性即知.2局部有限性定理2 假设函数在点处极限存在，则存在的*一去心邻域使得在该邻域有界.证明： 设，则由定义，对于，.3局部保号性定

11、理3假设，则.事实上，有更强的结论：，.证明： 用反证法.如假设不然，则，注意到由此得到的数列满足：，由归并定理及数列极限的不等式性推得，上式与假设矛盾4不等式性定理4 假设则.证明： 用反证法。如假设不然，则，注意到由此得到的数列满足：，由归并定理及数列极限的不等式性推得，上式与题设矛盾.5夹逼性定理5 ，且则在点处的广义极限存在且为证明： 在中任取数列满足:,则，由归并定理的必要性得 最后，由满足条件的数列取法的任意性，由归并定理的充分性即知函数在处广义极限存在且为.四 数列极限与函数极限的运算一数列极限的运算定理1 有关无穷小量的运算性质（1） 有限个无穷小量之和仍为无穷小量.（2） 无

12、穷小量与有界量之积为无穷小量. 证明: (1)设为个无穷小量，由于，由于，由定义有因此，.此即说明为无穷小量 (2)设为无穷小量，为有界数列，则由定义有；因此，对上述的与，当时有.此即说明为无穷小量.定理2 数列收敛的充要条件是，存在常数及无穷小量，使得.收敛数列的运算定理3 设，为两个收敛数列，则它们的和差数列，积数列以及当且时的商数列均收敛，此外还成立如下等式：；.，特别地，对于.定理4 与无穷大量与关的假设干性质1假设为无穷大量，为有界数列，则为无穷大量；假设为正负无穷大量，为上下有界数列，则为正负无穷大量；特别地，假设，同为正负无穷大量，则为正负无穷大量；2假设为无穷大量，满足：，则为

13、无穷大量. 特别地，为正负无穷大量的充要条件是为负正无穷大量.3假设，则为无穷大小量的充要条件是为无穷小大量； 特别地，假设，则为正负无穷大量的充要条件是为无穷小量.可利用如下结论求数列极限：例1123=例2 求以下极限1；解：因为=，且易知=0，所以原式=02=13=+=二函数极限的运算以下只就函数在处的极限加以表达，其余情形不再一一说明.1四则运算定理1 设在点处均存在极限，则：1=；2，特别地，对于3当时.2复合运算定理2 设，且则，.证明： 在中任取数列满足：，记相应的，则由题设，对在处的极限运用归并定理的必要性，有.再对在处的极限运用归并定理的必要性，并由复合函数的定义，即有=.最后，由满足条件的数列取法的任意性，运用归并定理的充分性即知复合函数在处的广义极限存在且为.注：特别注意条件试举例说明，假设无此条件，则定理的结论不一定成立.例 试证：.证明：首先证明.注意到为单调函数，因此其在处的单侧广义极限必存在，现分别取，则所得的函数分别严格递减，严格递增趋于0，且有，于是由归并定理知，从而有.对于一般情形，利用上述结果，结合函数的极限运算法则，有.参考文献?大学数学数学分析上?，交通大学数学系数学分析课程组编.：高等教育，2007.5. z