全国通用届高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第练解三角形练

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1、第22练解三角形明考情高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置.知考向1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2).(1)求cos A的值；(2)

2、求sin(2BA)的值.解(1)由asin A4bsin B及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos A.(2)由(1)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A为钝角，所以cos B.于是sin 2B2sin Bcos B，cos 2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A.2.如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解(1)由已知得PBC60，PBA30.在PBA中，由余弦定理，得PA232cos 30，P

3、A.(2)设PBA，由已知得PBsin ，在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin ，故tan ，即tanPBA.3.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.(1)求角A的大小；(2)若，a，求b的值.解(1)由题意，可得3，即1，整理得b2c2a2bc，由余弦定理知，cos A，因为0A，所以A.(2)根据正弦定理，得cos A，解得tan B，所以sin B.由正弦定理得，b2.4.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值.解(1)bsin Aacos B，由正弦

4、定理得sin Bsin Asin Acos B.在ABC中，sin A0，即得tan B.B(0，)，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2.考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求

5、角C的大小；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.因为0C，所以cos C，所以C.(2)由已知，absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225，可得ab5.所以ABC的周长为5.6.在ABC中，已知C，向量m(sin A，1)，n(1，cos B)，且mn.(1)求A的大小；(2)若点D在边BC上，且3，AD，求ABC的面积.解(1)由题意知mnsi

6、n Acos B0，又C，ABC，所以sin Acos0.所以sin Acos Asin A0，即sin0.又0A，所以A，所以A0，即A.(2)设|x，由3，得|3x，由(1)知，AC，所以|3x，B.在ABD中，由余弦定理，得()2(3x)2x223xxcos ，解得x1，所以ABBC3，所以SABCBABCsin B33sin .7.(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B的值；(2)若ac6，ABC面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B).上式两边平方，整理得17

7、cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.8.(2017延边州一模)已知函数f(x)sin2xsin2，函数f(x)的图象关于直线x对称.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，f，求ABC面积的最大值.解(1)f(x)cos 2xcoscos 2xcos 2xsin 2xsin.令2xk，解得x，kZ.f(x)

8、的对称轴为x，kZ.令，解得，kZ.1，当k1时，f(x)sin.f(x)的最小正周期T.(2)fsin，sin.A.由余弦定理得，cos A，b2c2bc12bc，bc1.SABCbcsin Abc，ABC面积的最大值是.考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a5，c6，sin B.(1

9、)求b和sin A的值；(2)求sin的值.解(1)在ABC中，因为ab，所以由sin B，得cos B.由已知及余弦定理，得b2a2c22accos B13，所以b.由正弦定理，得sin A.所以b的值为，sin A的值为.(2)由(1)及ac，得cos A，所以sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A.所以sinsin 2Acoscos 2Asin.10.ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1.(1)求角A的大小；(2)若ABC为锐角三角形，求函数y2sin2B2sin Bcos C的取值范围.解(1)因为1，所以由正弦定理，得1.因为ABC，所以sin

10、(AB)sin C，所以，因为sin C0，sin B0，所以cos A，故A.(2)因为ABC，A，所以BC.所以y2sin2B2sin Bcos C1cos 2B2sin Bcos1cos 2Bsin Bcos Bsin2B1cos 2Bsin 2Bcos 2Bsin 2Bcos 2Bsin.又ABC为锐角三角形，所以B2B，所以ysin.故函数y2sin2B2sin Bcos C的取值范围是.11.(2017咸阳二模)设函数f(x)sin xcos xsin2(xR)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，c2，求ABC面积的最

11、大值.解(1)函数f(x)sin xcos xsin2(xR).化简可得f(x)sin 2xsin 2x.令2k2x2k(kZ)，则kxk(kZ)，即f(x)的递增区间为(kZ).令2k2x2k(kZ)，则kxk(kZ)，即f(x)的递减区间为(kZ).(2)由f0，得sin C，又因为ABC是锐角三角形，所以C.由余弦定理得c2a2b22abcos C，将c2，C代入得4a2b2ab，由基本不等式得a2b24ab2ab，即ab4(2)，所以SABCabsin C4(2)2，即ABC面积的最大值为2.12.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m(2ac，cos C)，n(b，c

12、os B)，mn.(1)求角B的大小；(2)若b1，当ABC的面积取得最大值时，求ABC内切圆的半径.解(1)由已知可得(2ac)cos Bbcos C，结合正弦定理可得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，即2sin Acos Bsin(BC)，又sin Asin(BC)0，所以cos B，所以B.(2)由(1)得B，又b1，在ABC中，b2a2c22accos B，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，当且仅当ac1时取等号.从而SABCacsin Bac，当且仅当ac1时，SABC取得最大值.设ABC内切圆的半径

13、为r，由SABC(abc)r，得r.例(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(ab，sin Asin C)，向量n(c，sin Asin B)，且mn.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD，求a2c的最大值及此时ABC的面积.审题路线图规范解答评分标准解(1)因为mn，所以(ab)(sin Asin B)c(sin Asin C)0，1分由正弦定理，可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac. 3分由余弦定理可知，cos B.因为B(0，)，所以B.5分(2)设BAD，则在BAD中，由B可知，.由正弦定理及AD，有2，所以BD2sin ，AB2

14、sincos sin ，所以a2BD4sin ，cABcos sin ，8分从而a2c2cos 6sin 4sin.由可知，所以当，即当时，a2c取得最大值4.11分此时a2，c，所以SABCacsin B.12分构建答题模板第一步找条件：分析寻找三角形中的边角关系.第二步巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.第三步得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.第四步再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值.(1)证明由题意知

15、，2.化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C，从而sin Asin B2sin C，由正弦定理得ab2c.(2)解由(1)知c，所以cos C，当且仅当ab时，等号成立，故cos C的最小值为.2.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，向量m(2sin A，)，n，且mn.(1)求A的大小；(2)如果a2，求ABC面积的最大值.解(1)由mn，可得2sin Acos 2A0，即2sin Acos Acos 2A0，所以sin 2Acos 2A，即

16、tan 2A.因为A为锐角，故02A180，所以2A120，A60.(2)如果a2，在ABC中，由余弦定理a2b2c22bccos A，可得4b2c2bc2bcbcbc，即bc4，所以Sbcsin A4，故ABC面积的最大值为.3.在海岸A处，发现北偏东45方向距A为1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：2.449)解设缉私船追上走私船所需时间为t小时，如图所示，则CD10t海里，BD10t海里.在

17、ABC中，因为AB(1)海里，AC2海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC(海里).根据正弦定理，可得sinABC.所以ABC45，易知CB方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD中，根据正弦定理，可得sinBCD，所以BCD30，BDC30，所以DBBC海里.则有10t，t0.245(小时)14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017济南一模)已知f(x)2sin xcos xcos(2x).(1)求f(x)的单调增区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)1，c，ab2，求ABC的面积.

18、解(1)f(x)2sin xcos xcos(2x).化简可得f(x)sin2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调增区间为，kZ.(2)由(1)可知，f(x)2sin.f(C)1，即2sin1，0C，可得2C，C.由ab2，可得a2b2122ab.c，根据余弦定理cos C，可得，解得ab3.故ABC的面积Sabsin C3.5.已知向量a，b(cos x，1).(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sin B，求f(x)4cos的取值范围.解(1)因为ab，所以cos xsin x0，所以tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)bsin .由正弦定理，得sin A，所以A或A，因为ba，所以A，f(x)4cossin.因为x，所以2x，所以1f(x)4cos.所以所求取值范围是.13