实现结构影响运算误差实用教案

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1、本章(bn zhn)作业练习 P146: 1 2 3 4 5(d) 6(d)(e)(f) 8 第1页/共67页第一页，共67页。第五章 时域离散系统的基本(jbn)网络结构与状态变量分析法 第2页/共67页第二页，共67页。5.1 引言(ynyn) 数字滤波器的系统(xtng)函数：常系数(xsh)线性差分方程:时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述0101( )()()( )( )( )1MNiiiiMiiiNiiiy nb x nia y nibzY zH zX za z第3页/共67页第三页，共67页。系统(xtng)实现 系统通过对输入序列x(n）进行一定的

2、运算(yn sun)操作，而得到输出序列.由差分方程只需三种运算(yn sun)： 加法、单位延迟、乘常数。因此实现的方法有两种：（1）利用通用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。第4页/共67页第四页，共67页。由系统函数(hnsh)等价的形式有多种1122113111( )10.80.151.52.5( )10.310.511( )10.310.5H zzzHzzzHzzz 同一系统函数实现时对应(duyng)多种实现结构，实现结构影响运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。网络实现结构实际表示的是一种运

3、算。第5页/共67页第五页，共67页。5.2 用信号流图表示(biosh)网络结构 由差分方程可知数字信号处理(xn ho ch l)中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算用流图表示如下图所示：z1x(n)x(n 1)x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n)x2(n)x(n)x(n 1)z1x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n)x2(n)方框图信号流图第6页/共67页第六页，共67页。例：二阶数字(shz)系统120( )(1)(2)( )y na y na y nb x n方框图结构(jigu)流图结构(jigu)第7页/共67页第七页，共67页。 几个

4、基本概念： a）输入节点或源节点， 所处的节点； b）输出节点或阱节点， 所处的节点； c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输 出的节点；将值分配到每一支路; d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以 上输入的节点。 *支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何(rnh)一节点值等于所有输入支路的信号之和。 )(nx)(ny第8页/共67页第八页，共67页。信号流图的描述术语(shy)即运算规则 节点( ji din) 源节点(ji din)支路 阱节点 网络节点分支节点 输入支路 和节点-相加器节点的值=所有输入支路的值之和 输出支路支路的值=支路起点处的节点值 传输系数第9页/共67

5、页第九页，共67页。1例如(lr)，和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：7)(nx)2()1(21nyanya0b2)(ny3541Z1Z)1( ny)2( ny1a2a)2(2nya)()2() 1()(021nxbnyanyany67a1y(n-1)y(n)第10页/共67页第十页，共67页。122221221211202( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx nanany nbnbnbn第11页/共67页第十一页，共67页。基本(jbn)信号流图(Primitive Signal Flow Graghs) 不同的信号流图代表不同的运算方

6、法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为(chn wi)基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1 (2) 流图环路中必须存在延时支路 (3) 节点和支路的数目是有限的。 第12页/共67页第十二页，共67页。例5.2.1求图5.2.2(a)信号流图决定 的系统(xtng)函数H(z)。11212221221211202( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )W zW z zW zW z zW zX zaW za W

7、zY zbW zbW zbW z解 将5.2.1式进行(jnxng)z变换，得到 120121212( )( )( )1Y zbb zb zH zX za za z联立求解(qi ji)得到复杂结构可用梅森公式直接写出（见附录A）第13页/共67页第十三页，共67页。网络结构分两类 一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR(Finite Impulse Response)网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR(Infinite Impulse Response)网络。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分(ch fn)方程用下式描述：0( )()Mi

8、iy nb x ni,0( )0,nbnMh n其单位(dnwi)脉冲响应h(n)是有限长的第14页/共67页第十四页，共67页。 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路(hun l)。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。第15页/共67页第十五页，共67页。IIR系统的特点 1、单位冲激响应h（n）是无限长的。 2、系统函数H（z）在有限Z平面（ ） 上有极点存在。 3、结构(jigu)上是递归型

9、的，即存在着输出到输入的反馈。 Z0本网络结构有三种(sn zhn)，即直接型、级联型和并联型5.3 无限(wxin)长脉冲响应基本网络结构第16页/共67页第十六页，共67页。1、直接型 （1）系统(xtng)函数011201( )( )( )11( )( )1MkiiNkiiMkiNkiiib zY zH zX za zb zHz Hza z （2）差分(ch fn)方程（N阶） 01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni第17页/共67页第十七页，共67页。(3)(3)结构流图设M=N=2M=N=2按差分(ch fn)(ch fn)方程可以写出。b0b1b2z1z1z1

10、z1a1a2x(n)x(n 1)x(n 2)y(n)y(n 1)y(n 2)x(n)y(n)b0b1b2z1z1z1z1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z1z1（ a ）（ b ）（ c ）第18页/共67页第十八页，共67页。 按写出一般情况下，由差分(ch fn)方程可以写出) 1( nx)(nxz1z1z1)2( nx) 1( Mnx)(Mnxb0b1b2bM 1bMa1a2aN 1aN)(ny) 1( ny) 1( Nny)(Nny)2( nyz1z1z1第19页/共67页第十九页，共67页。)(nxz1a1a2aN 1z1a

11、Nz1z1z1b0b1b2bM 1bM)(nyz1z1b0b1b2bM 1bM)(ny)(nxaN 1aNz1a1a2z1z1第20页/共67页第二十页，共67页。(4)特点(tdin) 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:)(0knxbNkk第二个网络(wnglu)实现极点，即实现y(n)加权延时:Nkkknya1)(可见(kjin)，第二网络是输出延时，即反馈网络。 *共需（M+N）个存储延时单元。第21页/共67页第二十一页，共67页。 例5.3.1 IIR数字滤波器的系统(xtng)函数H(z)为12312384112( )5311448zzzH zzzz画出该滤波器的直接型结

12、构(jigu)。 解 由H(z)写出差分方程如下：531( )(1)(2)(3)8 ( )4 (1)44811 (2)2 (3)y ny ny ny nx nx nx nx n第22页/共67页第二十二页，共67页。图5.3.2 例5.3.1图x(n)y(n)z1z1z1 4811 2454381第23页/共67页第二十三页，共67页。2、级联型先将系统函数按零、极点进行(jnxng)因式分解1111(1)( )(1)MrrNrrC zH zAd z120121212( )1jjjjjjzzHza za z式中A是常数，Cr和dr，分别表示零点和极点。由于多项式的系数是实数， Cr和dr是实数

13、或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成(xngchng)个二阶多项式并构成二阶网络Hj(z)，Hj(z)如下式：第24页/共67页第二十四页，共67页。 式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。于是H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下(rxi)式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) 式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。 第25页/共67页第二十五页，共67页。 (a)直接(zhji)型一阶网络结构；(b)直接(zhji)型二阶网络结构 第26页/共6

14、7页第二十六页，共67页。当（M=N=2）时22111122111111)(zzzzAzHAB11 21 11 21 1Z1Z)(nx)(ny第27页/共67页第二十七页，共67页。当（M=N=4）时2221122221122211112211111111)(ZZZZZZZZAZH当（M=N=6）时22311322311322211222211222111122111111.11.11)(ZZZZZZZZZZZZAZH第28页/共67页第二十八页，共67页。特点：NoImage12,jj仅影响第j对零点，同样1 ,2jj 仅影响第j对极点，便于调节滤波器的频率特性。所用的存储器的个数最少。A1

15、1 21 1Z1Z1Z1Z1112 22 122213 23 13 23 nx)(ny21Z-1Z-11Z第29页/共67页第二十九页，共67页。 例5.3.2 设系统(xtng)函数H(z)如下式： 12312384112( )1 1.250.750.125zzzH zzzz试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子(fnz)分母进行因式分解，得到 112112(20.379)(41.245.264)( )(10.25)(10.5)zzzH zzzz为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个(y )一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个(y )二阶网络。第30页/共67页第三

16、十页，共67页。112112(20.379)(41.245.264)( )(10.25)(10.5)zzzH zzzz第31页/共67页第三十一页，共67页。级联型结构(jigu)的特点 级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。 调整分子多项式的三个系数可以改变一对零点的位置，调整分母多项式的两个可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，调整方便是优点。 级联结构中后面的网络输出(shch)不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。第32页/共67页第三十二页，共67页。 式中，Hi(z)通常为一阶网络(wnglu)和二阶网络(wnglu

17、)，网络(wnglu)系统均为实数。二阶网络(wnglu)的系统函数一般为1011212( )1iiiiizH za za z 式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。其输出(shch)Y(z)表示为 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)如果(rgu)将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，可得到IIR并联型结构。12( )( )( )( )kH zH zHzHz3.并联型第33页/共67页第三十三页，共67页。并联(bnglin)型的特点u在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定u 一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共扼极点，因此调

18、整极点位置方便，但调整零点u 位置不如级联型方便。u各个基本网络是并联的，产生的运算(yn sun)误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算(yn sun)误差最小。u由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算(yn sun)，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算(yn sun)速度最高。第34页/共67页第三十四页，共67页。 例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。 解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式(fnsh)形式：111281620( )1610.510.5zH zzzz 将每一部分用直接型结构实现，其并联(bnglin)型网络结

19、构如图所示。 第35页/共67页第三十五页，共67页。 图5.3.5 例5.3.3图 x(n)y(n)z1z11680.520160.520z1第36页/共67页第三十六页，共67页。小结(xioji)直接型优点：直接型结构简单直观，用的延迟器最少(为N和M中较大者的个数)。 缺点： 1.系数对滤波器件能的控制关系不直接，因此调整不方便o 2.具体实现滤波器时，系数的量化误差将使滤波器的频响产生很大的改变，甚至影响到系统的稳定性； 直接型结构一般(ybn)用以实现低阶系统。对高阶系统，级联和并联结构更具优越性。第37页/共67页第三十七页，共67页。 特点； 1.级联结构便于准确地实现系统(x

20、tng)的零、极点，也便于进行滤波器性能的调整。从总体看，容易控制零点而难于调整极点： 2.级联结构的零极点配对方式和基本节级联次序具有很大的灵活性，但由于有限字长的影响，对于不问的排列，运算误差各不相同。 3.每个基本节都有相同的结构，硬件实现时可以用一个二阶节进行时分复用，故只需很少的序储单元和运算部件。第38页/共67页第三十八页，共67页。 运算速度快各基本节的误差互不影响，总误差低于级联型结构的总LX蟹 从整体卜看，并联结构容易调整极点( jdin)位置，不容易直接控制零点：第39页/共67页第三十九页，共67页。10( )()()NMkkkky na y nkb x nk01( )

21、( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z10( )( )NnnH zh n z10( )( ) ()Nmy nh m x nm5.45.4有限有限(yuxin)(yuxin)长脉冲响应（长脉冲响应（FIRFIR）基本网）基本网络结构络结构FIRFIR系统(xtng)(xtng)的描述第40页/共67页第四十页，共67页。Z=0处为（N-1）阶极点(jdin)，FIRFIR系统的特点(tdin)(tdin)：1 1、h h（n n）在有限个n n值处不为零。2 2、H H（z z）在0z处收敛(shulin)，极点全部在Z=0处。z，有（N-1）阶零点。3、FIR网络结构为非

22、递归结构，即没有反馈支路，没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为第41页/共67页第四十一页，共67页。1、直接(zhji)型（卷积型、横截型）10)()()(Nmmnxmhny它就是(jish)线性移不变系统的卷积和公式1Z1Z1Zh(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)(nx)(ny第42页/共67页第四十二页，共67页。2、级联型/211201201( )( )()NNnkkknkH zh n zzz 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子

23、构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现）20k第43页/共67页第四十三页，共67页。级联型的特点(tdin) 系数比直接型多，所需的乘法(chngf)运算多每个基本节控制一对(y du)零点，便于控制滤波器的传输零点第44页/共67页第四十四页，共67页。 例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下(rxi)式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 第45页/共67页第四十五页，共67页。 解 将H(z)进行( jnxng)因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结

24、构和级联型结构如图5.4.2所示。 图5.4.2 例5.4.1图z1z1z1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z1z1z10.9622.81.5( a )( b )第46页/共67页第四十六页，共67页。3. 频率采样(ci yn)结构 回忆在第三章的频域抽样定理，频率域等间隔( jin g)采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)克由其频域采样值H(k)内插恢复。满足下面关系式： 1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz101( )( )NckkHz

25、HzN参见(cnjin)3.3.4式第47页/共67页第四十七页，共67页。 频域采样的内插恢复公式提供了一种称为频率采样的FIR网络(wnglu)结构。 问题：IIR滤波网络(wnglu)，为什么不采用频率采样结构。1011( )( )( )( )1( )( )1NckkNckkNH zHzHzNHzzH kHzWz 第48页/共67页第四十八页，共67页。2jkNkze0,1,.,1kN( )1NcHzz 子系统： 是N节延时单元(dnyun)的梳状滤波器在单位圆上有N个等间隔(jin g)角度的零点：第49页/共67页第四十九页，共67页。2jkkNkNzWe单位圆上有一个极点：2kN与

26、第k个零点相抵消，使该频率 处的频率响应等于H(k)1( )( )1kkNH kHzWz谐振器IIR子系统：单位圆上不能有极点(jdin)，而且FIR系统除零点之外没有极点(jdin)！每个一阶网络在单位园上有一个极点，这些极点正好(zhngho)被梳状滤波器的零点抵消。第50页/共67页第五十页，共67页。图5.4.3 FIR滤波器频率采样(ci yn)结构 x(n)y(n)z1z1 z NH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz1N1第51页/共67页第五十一页，共67页。频率抽样(chu yn)型结构的优缺点 (1)在频率采样点，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶

27、网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便(fngbin)。 (2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。 第52页/共67页第五十二页，共67页。频率采样结构亦有两个缺点： (1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证(bozhng)的。当系数量化时，极点移动，因此，系统稳定裕度为零，实际上是不能用的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下

28、修正。 第53页/共67页第五十三页，共67页。 修正频率(pnl)抽样结构1101( )( )(1)1NNNrkkNH kH zr zNrWz2jkNkzre极点： 0,1,.,1kN11rr且将零极点移至半径为r的圆上：解决(jiju)稳定性的方法第54页/共67页第五十四页，共67页。为使系数为实数(shsh)，将共轭根合并()*()N kkkNNWWW由对称性：*( )()( )NNH kHNkRk又h(n)为实数，则第55页/共67页第五十五页，共67页。1()1( )()( )11kkN kNNH kH NkHzrWzrWz*1*1( )( )11()kkNNH kHkrWzr W

29、z101122212 cos()kkzzrkr zN11,2,.,21,2,.,12NkNNkN为奇数为偶数02Re( )kH k其中：12 Re( )kkNrH k W 将第k个和第(N-k)个谐振器合并成一个(y )实系数的二阶网络：解决系数为复数(fsh)的方法第56页/共67页第五十六页，共67页。 当N为偶数时，还有一对(y du)实数根01(0)( )1HHzrz/21(/2)( )1NH NHzrzzr k=0, N / 2处：11201111221()1(0)2( )(1)21112cos()NNNkkkNHHaa zH zr zNrzrzk zr zN第57页/共67页第五十

30、七页，共67页。 N为奇数(j sh)时只有(zhyu)一个实数根在 k = 0处：z = r1(1)/201112211(0)( )(1)211 2cos()NNNkkkHaa zH zr zNrzk zr zN第58页/共67页第五十八页，共67页。频率(pnl)采样结构的优缺点 一般来说，频率采样结构比较复杂，所需的存储器及乘法器也比较多，但频率采样结构也有其优点： 1.如果(rgu)多数采样值H(k)为零(例如窄带低通或带通滤波滤波器的情况)。则对应的二阶节可省去，使结构大为简化 2.在信号频谱分析中，有一种方法是用一组窄带滤波器同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时这些并列的滤波器

31、用频率采样结构 3.频率采样结构的每个部分都具有很高的规范性，二阶节很多时，设计也并不复杂。第59页/共67页第五十九页，共67页。如果， 的长为N1 ，h（n）的长为N2。将 补L-N1个零值点，h（n）补L-N2零值点，只要(zhyo)L N1+ N2-1,就有 由卷积定理得Y（k）=X（k）H（k）所以有)(nx)(nx12( )( )( )( )( )02y nx nh nx nh nnNN4、快速(kui s)卷积结构第60页/共67页第六十页，共67页。这样，就可以(ky)得到FIRDF的快速卷积结构这里的DFT和IDFT均可以(ky)利用FFT算法。h(n)L点DFTL点DFTX

32、(k)H(k)Y(k)L点IDFT)(nx)()()(nhnxny第61页/共67页第六十一页，共67页。5、线性相位(xingwi)FIR滤波器的结构01nNFIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，且满足(mnz)：( )(1)h nh Nn 偶对称：( )(1)h nh Nn 或奇对称：即对称中心在 (N-1) / 2处则这种FIR滤波器具有严格(yng)线性相位。第62页/共67页第六十二页，共67页。N为奇数(j sh)时10( )( )NnnH zh n z11112210121( )( )2NNNnnNnnNh n zhzh n z1112(1)201( )2NNnNnnNh nz

33、zhz 1nNm 令第63页/共67页第六十三页，共67页。h(n)偶对称(duchn)，取“+”102Nhh(n)奇对称，取“ ”，且第64页/共67页第六十四页，共67页。N为偶数(u sh)时10( )( )NnnH zh n z11202( )( )NNnnNnnh n zh n z12(1)0( )NnNnnh nzz 第65页/共67页第六十五页，共67页。 数字滤波器可以用差分方程、单位抽样响应及系统函数等表示。对于研究系统的实现方法，即它的运算结构来说，用信号流图表示最为直接。 同一种数字滤波器可以用多种不同结构的网络实现。在不考虑量化影响时，这些不同的结构是等效的；但在考虑量化影响时，采用何种网络结构将会影响系统的精度、误差(wch)、稳定性、经济性以及运算速度等重要性能。第66页/共67页第六十六页，共67页。感谢您的观看(gunkn)。第67页/共67页第六十七页，共67页。