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1、Review极限与连续判断函数在一点没有极限的方法极限与累次极限连续函数在有界闭集上的性质连续与分别连续2. 多元函数的偏导数1.偏导数000000 ( ,)(,Def)( ,).fx yPxyyyfx yxx设在的某个邻域中有定义,固定,将看作 的一元函数,并在求导数,即00000(,)(,)lim.xfxx yfxyx 0( ,)fx yPx若这个导数存在,则称之为在关于 的偏导数,00000(,)(,)xyPfxyffxxx记作,或,或,00(,)xfxy或等.00(,)yfxy同样可以定义.Remark: 偏导数的几何意义.00(,)Remark:() , ),xyf x yf x y
2、xy视为变量,则得到偏导函数和.Remark: 1)对某个变量求偏导数时,视其余变量为常数,按一元函数求导法则和公式去求.2)1求分段函数的偏导函数时,用定义求分界点处的偏导数,用 )中方法求其它点处的偏导数.一般地,分段函数的偏导函数仍为分段函数.22222221() sin0( , )00 xyxyxyf x yxy设例.222201sin0(0,0)lim0.xxxxxyfx解时,：( , ).xfx y求221 ( , )2()sinxfx yxyxy2222222 ()1cos.x xyxyxy220,xy 时(1,2) ( , )arctan,.1.xyff x yxyx求例 设2
3、2( , )11()111f x yxyy xyxxyxyxy解:21 (1).x(1,2)11,2,.2fxyx令得到2( , ) (1)arctan,(1,0).yxyf x yx exfx求例.2( ,0),(1,0)2.xf xxf 所解法以一: 解法二:22 ( , )2arctan(1)1yxyyxfx yxexxyx22(1)2arctan.yyyxxexxy(1,0)2.xf 所以 ,Remark: 求具体点处的偏导数时 第一种方法较好.Remark: 多元函数偏导数存在与连续性互不蕴含.21,0( , )( ,0)(0, )0,0 (0,0)(0,0)0(0,0)xyyxxf
4、 x yf xfyfff例 设,则其它情形,但 在:不连续.22( , )(0,0),(0,0)xyf x yxyff在原点连续,但例:都不存在.200( ,0)(0,0)limlimxxf xfxxx事实上,与200(0, )(0,0)limlimyyyfyfyy都不存在.22 ( , ),2 , ( ,)1,( , ).:zzf x yxy f x xf x yy求例22 ,zyyyxx将由两边对看成常数解,积分:得2( , )2zf x yxy dy( ). g x其中为待定函数2( ,)1,f x x由有4 ( )1 2g xx 224 ( , )12f x yx yyx 22( ),
5、x yyg x2.高阶偏导数 ( , ),( , ),xyfx yfx yx y 视为的二元函数,考虑它们的虑它们的偏导数,即高阶偏导数.例如,2222 , xxyyffffffxxxyyy, fxfy分别为 关于 的二阶偏导数关于 的二阶偏导数. 而22 ,xyyxffffffx yxyy xyx ,fx y为 关于的二阶混合偏导数.21()(),.zzf xyyf xyxx y .求例 ()()(): zfxyf xyyfxyy解2zzx yxy ()()().yfxyfxyyfxy22222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxyxy例.,(0,0)(0,0).xyyxff求和442222222224,0( , )()0,0 xyx yyxyf x yxyxxy解：0(0, )(0,0)(0,0)limxxyxxfyffy0lim1.xyy 44222222 2224,0,( , )()0,0,xyx yxxyf x yxyyxy0( ,0)(0,0)(0,0)limyyxyxfxffx0lim1.xxx Remark: 多元函数的混合偏导数一般情况下与 求导顺序有关.000000,(,), Thm. (,)(,).xyyxxyyxffxyfxyfxy若同时在连续 则 P63 No. 2, 3(4)(6)(7), 4(1)(5) )(6作业:
22多元函数的偏导数275901508
