231函数的单调性

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1、1. 观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？2. 针对函数针对函数y=x2在在0，+ ）上图像，任取自）上图像，任取自 变量变量的两个值，比较其对应函数值的大小的两个值，比较其对应函数值的大小.3. 总结归纳出函数图象中自变量总结归纳出函数图象中自变量x和和 y值之间的变化值之间的变化规律规律.一般地，设函数的定一般地，设函数的定义域为义域为 I: 如果对于属于定如果对于属于定义域为义域为 I内某个区间上内某个区间上的任意两个自变量的的任意两个自变量的值值x1、x2 ,当当x1x2时时,都都有有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在这个区间上

2、是增在这个区间上是增函数函数.1x2x)(xfy )(1xf)(2xfxyo 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I： 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I I内某个区间上的任意两内某个区间上的任意两个自变量的值个自变量的值 ， 。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数。)(xf1x2x21xx )()(21xfxf )(xf一般地，设函数的定一般地，设函数的定义域为义域为 I: 如果对于属于定如果对于属于定义域为义域为 I内某个区间内某个区间上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值x1、x2 ,当当x1f(x2),那么那么

3、就说就说f(x)在这个区间上在这个区间上是减函数是减函数.1x2x)(1xf)(2xfxyo 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I： 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I I内某个区间上的任意两内某个区间上的任意两个自变量的值个自变量的值 ， 。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数。)(xf1x2x21xx )()(21xfxf )(xf)(xfy 如果函数如果函数 在某个区间上是增在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，)(xfy

4、)(xfy 这一区间叫做这一区间叫做 的单调区间。的单调区间。)(xfy 1.函数的单调性也叫函函数的单调性也叫函数的增减性数的增减性2. .函数的单调性是对某个区间而言函数的单调性是对某个区间而言 的的, ,它是一个局部概念它是一个局部概念. .注：注：例例1 下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间-5,5上的函上的函数数 的图象的图象,根据图象说出根据图象说出的单调区间的单调区间,以及在每一区间上以及在每一区间上,是增函数还是减函数是增函数还是减函数.)(xfy )(xfy )(xfy )(xfy -2 212345-23-3-4-5-1-112xyO-2 212345-23-3-4-5-1

5、-112xy)(xfy 在区间在区间-5,-2), 1,3)上是减函数上是减函数在区间在区间-2,1), 3,5)上是增函数上是增函数.解解:函数函数 的单调区间有的单调区间有-5,-2), -2,1), 1,3), 3,5,)(xfy O12-2-1-11xyo如图如图,已知已知 的图象的图象(包括端点包括端点),根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及以及在每一区间上在每一区间上,函数是增函数还是减函数是增函数还是减函数函数.)(xfy )(xfy 如图如图,已知已知 的图象的图象(包括端点包括端点),根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及以及在每一区

6、间上在每一区间上,函数是增函数还是减函数是增函数还是减函数函数.)(xfy -11xyo 2 2 )(xfy 练习练习:给出下列函数的图象给出下列函数的图象,指出函数的单调区间指出函数的单调区间,并指明其单调性并指明其单调性. 图（图（1） 图（图（2） 例例2 2 证明函数证明函数 在在R R上是上是增函数增函数. .23)( xxf任意取值任意取值作差变形作差变形判断符号判断符号得出结论得出结论判定函数在某个区间上的单调性的判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤方法步骤:1.1.设设 给定的区间给定的区间, ,且且 ; ; 2.2.计算计算 至最简至最简 ; ;3.3.判断上述差的符号判断

7、上述差的符号 ; ;4.4.下结论下结论( (若差若差0,0,0,则为减函数则为减函数).). 21,xx21xx )()(21xfxf 例例2 2 判断函数判断函数 在在R R上是上是增函数还是减函数增函数还是减函数. .23)( xxf 证明函数证明函数 在在R上是上是减函数减函数.12)( xxf例例3 证明函数证明函数 在在(0,+)上上是减函数是减函数.xxf1)( 证明证明：设设 是（是（0 0，+）上的任意两个）上的任意两个 实数，且实数，且 ，则，则 21,xx21xx 2112212111)()(xxxxxxxfxf 由由 ，得，得), 0(,22 xx021 xx又由又由

8、， 得得21xx 012 xx于是于是 ，即，即0)()(21 xfxf)()(21xfxf 所以，所以， 在（在（0 0，+)+)上是减函数上是减函数. .xxf1)( 例例3 证明函数证明函数 在在(-,0)上上是减函数是减函数.xxf1)( 证明证明：设设 是（是（0 0，+）上的任意两个）上的任意两个 实数，且实数，且 ，则，则 21,xx21xx 2112212111)()(xxxxxxxfxf 由由 ，得，得), 0(,22 xx021 xx又由又由 ， 得得21xx 012 xx于是于是 ，即，即0)()(21 xfxf)()(21xfxf 所以，所以， 在（在（0 0，+)+)

9、上是减函数上是减函数. .xxf1)( 例例3 证明函数证明函数 在在(-,0)上上是减函数是减函数.xxf1)( 2112212111)()(xxxxxxxfxf 由由 ，得，得)0 ,(,22 xx021 xx又由又由 ， 得得21xx 012 xx于是于是 ，即，即0)()(21 xfxf)()(21xfxf 所以，所以， 在在 上是减函数上是减函数. .xxf1)( 证明证明：设设 是是 上的任意两个上的任意两个 实数，且实数，且 ，则，则 21,xx21xx （- - ，0 0）（- - ，0 0 ） 1.判断函数判断函数 在在(0, +)上上 是增函数还是减函数是增函数还是减函数?

10、1)(2 xxf结合图象说出函数结合图象说出函数 的的单调区间单调区间, ,以及在各个区间上是以及在各个区间上是增函数增函数还是还是减函数减函数; ;你能给出相应你能给出相应的证明吗的证明吗? ?) 0()(2 acbxaxxf 1、函数单调性是对定义域的某个区间而言、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质化的性质. 2、判断函数单调性的方法：、判断函数单调性的方法： （1）利用图象：）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的上升的，减函数图象是下降的. （2）利用定义：）利用定义： 用定义证明函数单调性的一般步骤：用定义证明函数单调性的一般步骤： 任意取值任意取值作差变形作差变形判断符号判断符号 得出结论得出结论.课堂小结，知识再现课堂小结，知识再现