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1、北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测文科数学（解析版）第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，设集合 ，则（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意知，因此，故选D.考点：集合的基本运算2.在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加后所得数据，则、两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差3.已知是虚数单位，若，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由可得，因此的共轭复数为，
2、故选A.考点：1.复数的除法；2.共轭复数4.设是直线，、是两个不同的平面，则（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则5.函数的最大值与最小值之差为（ ） A. B. C. D.6.“”是“函数在区间内单调递增”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当时，此时函数在区间内单调递增，当时，令，解得或，7.已知双曲线的离心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D.8.已知，且.现给出如下结论：；.其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D.【答案】C【
3、解析】试题分析：，结合导数可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此函数第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知变量、满足条件，则的最大值是_.【答案】.【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，设，联立，解得，即点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.考点：线性规划10.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 .11.曲线在点处的切线方程为 .12.在数列中，则 .【答案】.【解析】试题分析：由于，因此，上述四个等式累加得，因此.考点：累加法
4、求数列通项13.已知平面向量，若， 则_.【答案】.【解析】试题分析：由题意可得，.考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模14.定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数_.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）在中，内角、的对边分别为、，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.16.（本题满分14分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，.（1）证明:：；（2）证明：；（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.【答案】（1）详见解析；（2
5、）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）先证明，从而得到；（2）取的中点，连接、，证明平面，利用直线与平面垂直的性质得到；（3）作，垂足为，连结，结合（2）中的结论证明平面，再求出的面积，最后利用分割法得到三棱锥的体积来进行计算.试题解析：（1）因为是等边三角形，所以，可得；（2）如图，取中点，连结、，则，所以平面，所以；（3）作，垂足为，连结，因为，所以，由已知，平面平面，故，因为，所以、都是等腰直角三角形.由已知，得，的面积，因为平面，所以三棱锥的体积.考点：1.全等三角形；2.直线与平面垂直的判定；3.分割法求锥体体积17.（本题满分13分）一汽车厂生产、三类轿车，每类轿车均有舒适型
6、和标准型两种型号,某月的产量如下表（单位：辆）轿车轿车轿车舒适型标准型按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆.（1）求的值； （2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本.将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取辆，经检测它们的得分如下：、 、.把这辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率.（2）设所抽样本中有辆舒适型轿车，因为用分层抽样，所以，解得，即抽取了辆舒适型轿车，辆标准型轿车，分别记作、，则从中任取辆的所有基本事件为、，共个，其中至少有辆舒适型轿
7、车的基本事件有个基本事件：、，所以从中任取辆，至少有辆舒适型轿车的概率为；18.（本题满分14分）设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意、，有，求的取值范围.，在区间是单调递增的，在区间内存在唯一的零点；（2）当时， 对任意、都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：19.（本题满分14分）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，点、分别在椭圆和上，求直线的方程.试题解析：（1）由已知可设椭圆的方程为，其离心率为，故，解得，因此椭圆的方程为；20.（本题满分13分）对于项数为的有穷数列数集，记，即为、中的最大值，并称数列是的控制数列.如、 、的控制数列是、.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为、，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，、）.求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据新数列的定义写出符合条件的数列；（2）根据数列的定义得到，再结合得到，将两个等式作差得，结合证明.
北京市东城区2014年高三下学期3月教学质量检测（文科数学）（解析版）
