2022年陕西省高考数学总复习：立体几何（附答案解析）

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1、2022年陕西省高考数学总复习：立体几何1 .如图，在四棱锥S-A8CO中，底面A8CO是菱形，G是线段A8上一点(不含A,B),在平面SGD内过点G作GP平面SBC交SO于点尸.(I)写出作GP的步骤(不要求证明)；(H)若N84D=泉AB=SA=SB=SD=2,尸是S3的中点，求三棱锥S-PBC的体积.2 .如图，在四棱锥S-A8CO中，底面ABC。为矩形，SAO为等腰直角三角形，SA=SO=2y2,AB=2,F是BC的中点，二面角S-AO-B的大小等于120.(1)在AC上是否存在点E,使得平面SEFL平面ABC。，若存在，求出点E的位置;若不存在，请说明理由；(2)求宜线SA与平面SB

2、C所成角的正弦值.3 .如图，三棱锥E-BCD中，XECD为正三角形，平面EC)_L平面BCD,BC=DC=BD=2,M,N分别是线段ED和80的中点.(I)求点C到平面8DE的距离；(II)求直线硒与平面MCB所成角的正弦值.4 .如图，在三棱柱ABC-。中，平面44CCi_L平面ABC,ABC和44C都是正三角形，。是AB的中点(1)求证：BC1平面4OC；(2)求宜线A8与平面。CCi所成角的正切值.5 .如图，在等腰直角三角形ADP中，已知4=今AD=3,B,C分别是AP,OP上的点,E是CO的中点，HBC/AD.现将PBC沿8c折起，使得点P在平面4BCD上的射影为点A.(1)若8,

3、C分别是AP、的中点，求证：平面布C_L平面尸CD(2)请判断是否存在一种折法，使得直线？8与平面ABCO所成角的余弦值是直线尸8与平面布E所成角的正弦值的?倍？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由.6 .在直三棱柱ABC-AiBiCi中，NB4c=90,AC=AB=AAi=2,设点M,N,P分别是AB,BC,BiCi的中点.(I)证明：A4平面PMN；(H)若Q为A4上的动点，试判断三棱锥P-QMN的体积是否为定值？并说明理由.7 .在多面体A8CGA181中，四边形A88M1为菱形，BC/BC,BC=bC,AiCi=AiA,ABLBiC,ZBBA=60Q,平面4BB1A1_L平面AB

4、C.(1)在棱AB上是否存在点O,使得A8J_平面81OC?若存在，请给予证明：若不存在,请说明理由.(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.8 .在四棱锥q_48(7中，侧面41O_L底面A8CO,PA=AD=DC=6,AC=6魂,A8=3,CD平面般B,/必。=60.(I)求证：平面PCDJ_平面PBC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.9 .如图，已知四棱锥S-A8CZ）的底面是边长为2的正方形，且平面SAO_L平面48CD,M,N分别为棱4。，8C的中点，SA=SD,SALSD,P,。为侧棱SD上的三等分点（点P靠近点S）.（1）求证：PN平面MQC；（2）求多面体MPQCN的体积.

5、10 .如图，四边形AM8C中，ABC是等腰直角三角形，ACBC,M4C是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将MAC向上折叠到4c的位置，使点。在平面A8C内的射影在AB上，再将4c向下折叠到E4C的位置，使平面E4cL平面ABC,形成几何体DABCE.(1)点F在BC上，若。F平面AC,求点F的位置;(2)求宜线A8与平面E8C所成角的余弦值.11 .如图，宜三棱柱8CF-AHE中，。为E4的中点，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.(I)求证：AFVBH-,(II)求平面AOC与平面A8C所成角的余弦值.12 .在如图所示的几何体中，四边形48。是菱形，ZBAD=120,AEnA

6、BCD,AE/CF.(1)求证：OF平面ABE；(2)若AO=AE=2C尸=2,求该几何体的表面积.13 .如图，在四棱锥P-ABCD中，B4Q是等边三角形，平面平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AD=2BC=4,NBAD=60.(1)若E为以的中点，求证：3E平面PCD；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.14 .已知在平行四边形ABCZ)中，AD=2,AB=y3,NAOC=，如图，DE/CF,且CEo=3,CF=4,/DCF/且平面48C_L平面SEE(I)求证：4c，平面CDEF：(II)求二面角。-4E-C的余弦值.15 .如图，已知四棱锥P-A8CD中，AD/B

7、C,AB=CD,A=28C=2PC=2,PD=瓜ZADC=60.(1)求证：BPLCD-,(2)若BP=夜，求直线PC与平面布。所成角的正弦值.16 .如图，在四棱锥P-ABCD中，B4D是等边三角形，平面用DL平面A8CD,底面ABCQ是直角梯形，AD/BC,已知AD=28C=4,N3A)=60.(I)若E为必的中点，求证：5E平面PCD；(II)求四极锥P-ABC。的体积.17 .如图，在直三棱柱ABC-AiBiCj中，AB=BC=A4i,AB1BC,。为AB的中点，E为BC上一点，满足CE=2EB.(1)求证：4c平面81DE；(2)求二面角8i-AiC-Ci的余弦值.18 .已知在平行

8、四边形ABCZ)中，AD=2,AB=y3,NAOC=，如图，DE/CF,且CEo=3,CF=4,/DCF/且平面48C_L平面SEE(I)求证：4c，平面CDEF：(H)求四棱锥F-ABCD的体积.19 .如图所示，在四棱锥E-ABCO中，四边形ABC。是宜角梯形，A8=AE=BC=%Z)=1,BC/AD,AE_L平面ABC。，NBAD=90,N为OE的中点.(1)求证：NC平面EAB；(2)求二面角A-CN-。的余弦值.20 .如图，在多面体A8CDEF中，四边形ABCZX四边形ACFE均为菱形，ZBAD=ZEAC=120.(1)求证：平面BDF_L平面ACFE；(2)若BE=DE,求二面角

9、C-8F-E的余弦值.21 .如图所示，在三棱锥48co中，ABBC=BD=2,AD=2NCBA=NCBO=*点E,F分别为40,80的中点.(1)求证：平面ACC平面BCE；(II)求四面体CCE尸的体积.C22.如图，在棱长为3的正方体中，过顶点。作平面a交441于E点，交3B1于尸点，使得4E=1,BF=.(I)求证：AC平面a；(II)求点。到平面a的距离.23.已知ABC,AB=BC,NC84=60,沿着边CB把力BC进行翻折，使平面A8C与回答下列问题.平面DBC垂直，QBC可由ABC翻折得至!J.(1)直线4C与平面A8O所成角的余弦值；(II)二面角A-BD-C的余弦值.24.

10、如图，四棱锥P-A8CD,底面四边形ABC。为梯形，且满足40=1,AB=CD=3,BC=4且AD/BC,PDJ_底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.(1)求/与平面PDC所成的角；(II)已知FD=1,求平面以B与平面PDC所成的锐二面角的余弦值.25 .如图，在三棱台ABC-ABC中，已知平面A8BA_L平面ABC,ACBC,ZCBA=四边形ABBA是等腰梯形，AB=2AB=2BB,E,尸分别为A8,A6c的中点.(1)求证：EFAC；(2)求直线E尸与平面ACCA所成角的正弦值.26 .如图，ABC为正三角形，半圆。以线段BC为直径，力是座上的动点(不包括点8,C),平面A

11、BCL平面BCD.(1)是否存在点。，使得BZXLAC?若存在，求出点。的位置；若不存在，请说明理由.(2)若NC8=30,求二面角。-A-C的余弦值.27 .如图，ZVIBC是正三角形，D,E,尸分别是线段AB,BC,AC的中点，现将A。尸和CEF分别沿着。尺EF折起，使得4,C两点在P点重合，得到四棱锥P-BEFD(1)证明：平面尸平面BEFC；(2)设正三角形A8c的边长为4,求三棱锥产-P8E的体积.28 .如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CD为正方形，必。为等边三角形，平面以。_L平面PCD.(1)证明：直线CDJ_平面PAD-.(II)若A8=2,。为线段PB的中点，求三棱锥

12、。-PCO的体积.29 .如图，在四棱锥P-ABC。中，AD/BC,ADA.AB,并且8c=2A=2AB=2,PM=点在平面ABCD内的投影恰为的中点M.(I)证明：BP_L平面PCD；(ID求点4到平面PC。的距离.30 .如图，在四棱锥P-ABC。中，已知必_L平面A8CD,且四边形A8CO为直角梯形，ZABC=ZBAD=AD=2,A8=BC=1.(O当四棱锥P-ABCD的体积为1时，求异面直线AC与尸。所成角的大小；(2)求证：C,平面PAC.31 .如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD=2,AD=2/C3A=NC8O=%,点E,F分别为AD,8。的中点.(I)求证：EF平面

13、ABC；(in求平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值.32 .如图，在四棱锥P-ABC。中，AD/BC,ADAB,并且8c=2AO=2AB,点P在平面ABCD内的投影恰为80的中点(1)证明：CO_L平面PBD；(II)若PM=A。，求直线勿与C所成角的余弦值.33 .如图，在三棱锥尸-A8c中，底面A8C,ZXABC是边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为4(1)求三棱锥P-ABC的体积V；(2)若。为PB的中点，求异面直线网与CD所成角的大小.34 .如图1,在三棱柱ABC-4B1C1中，已知48_LAC,AB=AC=i,AAi=2,且A4i_L平面ABC,过Ai,C,B三点作

14、平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.（1）求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥8-ACCiAi的体积和表面积.35 .如图，在矩形中，将ACZ)沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AELBE.(1)求证：平面ABE_L平面ABC；3V7(2)若8c=3,三棱锥B-AEC的体积为求点E到平面ABC的距离.36 .如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ABC是正三角形，点。在棱5囱上，且BB=3B1D,点E为81C的中点.(1)证明：平面AQE_L平面BCCiBi；(2)若881=3迎，AB=2,求点C到平面AQE的距离.37 .如

15、图所示，在直三棱柱ABC-4BC1中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90,CA=CB=CCi=2.点、D,Ci分别是棱AC,A1C1的中点.(1)求证：D,B,B,D四点共面；(2)求直线BC1与平面DBBiDi所成角的大小.38 .如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,AB/CD,CD=2AB=4,AD=遥,SCO是等腰直角三角形，SCSD,SA=3.(I)证明：平面SC1_平面ABC。；(II)若平面SAD与平面SCB的交线为I,求二面角C-1-D的余弦值.39 .如图，在矩形ABC。中，将ACO沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AE1BE.(I)求证：平面A8E

16、_L平面ABC；(2)若EB=小,三棱锥AEC的体积为呼，求二面角E-AC-8的余弦值.40 .如图，在三棱柱A8C-4BC1中，P,Q分别是A4i,CB上一点，且AP=2B4i,CQ=2QB.(1)证明：A。平面CP8i；(2)若三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，且AAi=3,BC=BA=V15,AC=2百，求点B到平面CPBi的距离.41 .如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD是正方形，AB=2,PD_L平面A8CD,PB与底面A5CD所成的角为45,过AO的平面分别与PB,PC交于点F.()求证：EFVDC-,2/2IPEI（11）若二面角P-AD-E所成角的余弦值为三求两的值

17、.42 .在四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，四边形A8CZ）是平行四边形，AA=AC-1,ZABC30,8c=2,平面ABBiAiJ_平面ABCD,M,N分别为AiC,A8的中点.（I）求证：MN平面AiBCi；（II）若cosNACB=?，求二面角C-MN-。的余弦值.43 .如图所示，三棱柱ABC-481。中，平面ACGAiJ_平面ABC,AAilAC,A4i=A5=8c=2,D,Qi分别为AC,AiCi的中点，且NBAC=3(T.(I)求证：DDilBC；(II)求二面角B-DAi-Ci的余弦值.尸分别是PA,44 .如图，四棱锥P-A8CO的底面为正方形，尸C=/M=卓PD的中点.

18、(I)证明：E尸，平面PC；(II)求二面角A-CE-尸的余弦值.45 .如图，在四棱锥尸-A8CD中，等边三角形阴。所在平面与梯形ABCD所在平面垂直,且CD/AB,AD=BD=2,DC=VL点G为丛PAD的重心，AC与8。交于点M.(D求证：GM平面PCD；(2)求点C到平面P5D的距离.46 .如图，直三棱柱AiBiCi-ABC中，AB=AC=,BAC=4A=4,点攸为线段AiA的中点.（1）求直三棱柱AiBiCi-ABC的体积；（2）求异面直线8M与所成的角的大小.（结果用反三角表示）47 .如图，已知直角梯形A8CD,BC/AD,BC=CD=2,AD=4,ZBCD=90,点E为AD的

19、中点，现将三角形ABE沿8E折叠，得到四棱锥H-BCZJE,其中NAD=12t),点M为4D的中点.(1)求证：48平面EMC；(2)若点N为8C的中点，求四面体4MNB的体积.48 .如图，在三棱锥P-ABC中，ABC为正三角形，点分别为AC,总的中点，其中PAPB4-/2,PCAC4.(1)证明：平面8DE_L平面ABC；V6(2)若点F是线段AC上异于点D的一点，直线4E与平面3EF所成角的正弦值为二,4求空的值.49.如图，在四棱锥P-48CQ中，四边形A8C是梯形，AB/CD,ABLBC,且=BC=CD=1,AB=2,PC=V3.(1)证明：BD_L平面雨；(2)求直线AD与平面P8

20、C所成角的正弦值.50.在四棱锥P-ABC。中，PA=PC=2,底面A8CD是菱形，AB=2y3,ZABC=60.(I)求证：AC_LPB；(II)求四棱锥P-ABCD的体积.2022年陕西省高考数学总复习：立体几何参考答案与试题解析1 .如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABCQ是菱形，G是线段AB上一点(不含A,B),在平面SGD内过点G作GP平面SBC交SD于点P.(I)写出作GP的步骤(不要求证明)；(II)若ZBAD=J,AB=SA=SSSD=2,P是SC的中点，求三棱锥S-PBC的体积.【解答】解：(I)第一步：在平面A8CC内过点G作68。交。于点H；第二步：在平面SCO内过点作

21、HPSC交SO于P；第三步：连接GP,G尸即为所求.(II)尸是SD的中点，HP/SC,.H是CC的中点，而G，BC,则G是AB的中点，:.S4GBe=BC-GBsin=-,连接AC,GO交于0,连SO,设S在底面ABC。上的射影为M,，：SA=SB=SD,：.MA=MB=MD,即M为ABC的外心，与O重合，由已知可求得。=竽，又SO=2,，S0=竽，._1cCC_戊.VS-GBC3JU3,.GP平面SBC,S-PBC=Vp-SBC=Vg-sBC=Vs-GBC=g.2 .如图，在四棱锥S-ABCC中，底面A8CO为矩形，SAO为等腰直角三角形，SA=SD=22,AB=2,尸是8c的中点，二面角

22、S-AO-B的大小等于120.(1)在AO上是否存在点E,使得平面SEF1.平面ABCD,若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；(2)求直线S4与平面SBC所成角的正弦值.【解答】解：(1)在线段AO上存在点E满足题意，且E为AO的中点.如图，连接EF,SE,SF,四边形A8CD是矩形，A8_LA,又E、F分别是40、BC的中点，J.EF/AB,AD1.EF,SAO为等腰直角三角形，SA=SD,E为AO的中点，：.SEAD,：SEHEF=E,SE、EFu平面SEF,.,.AO_L平面SEF,平面A8CO,平面SE/U平面A8CC,故AD上存在中点E,使得平面SEF_L平面ABCD.(2

23、)由(1)知，SEAD,EFAD,二/SEP为二面角S-AO-8的平面角，即NSEF=120.以E为原点，EA,E尸所在的直线分别为x、y轴，作Ezl.平面A8C3,建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰RtZ&4O中，SA=SD=2V2,：.AD=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-V3),SC=(-2,3,-V3),设平面SBC的法向量为7=(x,y,z),则行=,即2x+3y-8j=0,In.5C=0l-2x+3y-V3z=0令y=l,则x=0,z=V3,：,n=(0,1.V3),设

24、直线SA与平面SBC所成角为0,TTn.f-SAn1-342则sme=|cos|=|1=|-=1=%，|S*|n|V4+1+3X24V2故直线S4与平面SBC所成角的正弦值为一.43.如图，三棱锥E-8CO中，为正三角形，平面ECC_L平面BCD,BC=DC=BD=2,M,N分别是线段EO和8。的中点.(I)求点C到平面的距离；(II)求直线EN与平面MCB所成角的正弦值.D【解答】解：（I）.,平面EC）_L平面BCD,且EC。为正三角形，8=2,.点E到平面BCD的距离为北，.BC=OC=孝8力=2,BCD是等腰直角三角形,：.Sbcd=BC-DC=2.在8OE中，BE=BD=2V2,DE

25、=2,SBDE=:X2Xy/7=y/7.设C到平面BCE的距离为d,Ve-BCD=VcBDExV3x2=ixdxy/7,解得d=3畀故点C到平面BDE的距离为与”.(II)以C为原点，CD、CB所在的直线分别为x、y轴，作Cz_L平面BCD,建立如图所示的空间直角坐标系，3aL则B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,),E(1,0,V3),N(1,221,0),TLT3V3T：.EN=(0,1,-V3),CM=(-,0,),CB=(0,2,0),22设平面M3C的法向量为(x,y,z),则打小=,即+%=0,嫌.CB=0(2y=0令x=l,则y=0,z=-V3,：.

26、n=(1,0,-V3),设直线EN与平面MBC所成角为6,T-ENn33则sin0=|cos|=|1=W?=去|EN|-|n|zxz%3故直线EN与平面MBC所成角的正弦值为一.44.如图，在三棱柱ABC-481cl中，平面4ACCiJ_平面ABC,ZA8C和4AC都是正三角形，。是48的中点(1)求证：BG平面A1DC；(2)求直线AB与平面OCC1所成角的正切值.【解答】(1)证明：连接4C1,交4C于E,连接。.四边形4ACC1是平行四边形，是ACi的中点，力是A8的中点，：.DE/BC,平面AiOC,8clet平面4OC,平面4CC.（2）解：取AC的中点O,连接40,BO,ABC和A

27、1AC都是正三角形，AAi01AC,BOLAC,1,平面44CCi_L平面ABC,平面AiACCm平面ABC=AC,.4。，平面ABC,：.AiOBO,以O为原点，OB、OC、OAi所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AC=2,则A（0,-1,0）,B（V3,0,0）,C（0,1,0）,D（,一0）,Ci（0,222,V3）,TL一V33T店5L：.AB=（V3,1,0）,CD=（一,一之0）,DC,=（笄，再），22122设平面DCC的法向量为=(x, y,z),则旧 = ,即(ri DCr = 0孚 x |y = 0-x + |y + V3z = 0令x=3,则y=V

28、5,z=-1,.*.n=(3,V3,t-3设直线A8与平面DCC所成的角为。，则sin。=|cosVAB,n|=|r1=|.|=|/4B|-|n|2XV9+3+12/3宿/.tan0=2V5,故宜线AB与平面DCC所成角的正切值为2V15.如图，在等腰直角三角形A。尸中，已知A=f,AO=3,B,C分别是AP,加上的点,E是CC的中点，且BCAO.现将P8C沿BC折起，使得点P在平面A8CC上的射影为点A.P(1)若B,C分别是AP、OP的中点，求证：平面R1CJ_平面PCD.(2)请判断是否存在一-种折法，使得直线PB与平面ABCQ所成角的余弦值是直线尸8与平面以E所成角的正弦值的等倍？若存

29、在，求出A8的长；若不存在，请说明理由.【解答】(1)证明：点P在平面4BCD上的射影为点A,.,.办_1_平面A8CD,：COu平面ABC。，J.PA1.CD,.等腰RtZ4OP,且C为。P的中点，J.ACLCD,：PAACA,PA.ACu平面附C,.,.CDl平面PAC,又COu平面PCD,二平面以C_L平面PCD.D(2)解：.以1.平面ABCD,.NA8尸为直线尸B与平面A8C。所成的角，设其大小为a,则cosa=嚣过点8作交AE于点M,连接尸M,1出J_平面ABC。，.PA1BM,又AEAB4=A,AE,胡u平面如,平面PAE,.NBPM为直线PB与平面以E所成的角，设其大小为0,则

30、sinp=曾，.直线尸8与平面ABC。所成角的余弦值是直线PB与平面用E所成角的正弦值的?倍,.cosa=-1sinp.SPAB=,设48=r(0ftt；.OC1=0B1+8出+41G=0Bx+2OA+2OC=(0,0,5/3)+2(-1,0,0)+2(0,1,0)=(-2,2,V3),：.C(-2,2,V3),AC=(1,1.0),ACX=(-1,2,6)，设平面AC。的法向量薪=(x,y,z),则色g=x+y=0，取尸1,得蔡=(1,7,(m-ACr=x+2y+V3z=0平面ABC的一个法向量1=(0,0,1),设二面角Ci-AC-B的平面角为sin0=.二面角Ci-AC-B的正弦值为8.

31、在四棱锥P-ABCC中，侧面用C_L底面ABC。，PA=AD=DC=6,AC=60,AB=3,C平面办B,ZB4D=60.(I)求证：平面PCO_L平面PBC：(II)求二面角P-BC-D的余弦值.【解答】解：(I)证明：AD=DC=6,AC=6V2,：.AD2+DC2=AC2,.AD1DC,一侧面以。，底面ABCD,侧面以OC底面ABCD=AD,.CQJ平面布。，PAD,：.CDPD,取PC和。C的中点分别为M和N,连接MN,BM,则MN尸。，：.CDLMN,CO平面附B,CO平面A8C),平面出8c平面ABC)=A8,：.CD/AB,：48=NO=3,.四边形A8N。为平行四边形，：.BN

32、/AD,J.CDLBN, :BNCMN=N,平面8MM,/BMu平面BMN,：.CDIBM, .,CO_L平面PAD,且加u平面PAD,：.ABPA,即方8为宜角三角形，PB=V62+32=3而，：PB=BC,且M是PC的中点，：.PCBM, :penCD=C,BM_L平面PCD,平面PBC,，平面PCC平面PBC.(H)在方。中，：PA=AD=6,ZRAD=60,.必为等边三角形，PD=6,取40的中点O,连接PO,：.POLAD,且PO=V62-32=373,平面以)_L平面ABCD,平面外力fl平面ABCD=AD,；.PO_L平面ABCD,过点P作PHLBC,交BC于点H,连接OH,则/

33、P。即为三面角尸-8C-。的平面角，：PD=CD=6,CDLPD,.PDC为等腰直角三角形，PC=VCD2+PD2=V62+62=65/2,由(I)知PB=BC=3V,M为PC的中点，：.BMLPC,在RtABMC中，BM=y/BC2-MC2=J(3/5)2-(3/2)2=3百，11在APBC中，S&pbc=PC=PH-BC,解得PH=%普，/nunpo3&/IO则smNP=而=通=丁,-5-心尸”0中，NPHO为锐角,：.cosZPHO=,4二面角P-BC-D的余弦值为之.49.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面SAEJ_平面ABCD,M,N分别为棱A。，BC的中点

34、，SA=SD,SA1SD,P,。为侧棱SC上的三等分点(点尸靠近点S).(1)求证：PN平面MQC；(2)求多面体MPQCN的体积.S【解答】证明：(1)如图，连接ND交CM于点R,连接QR,在正方形ABCC中，VM,N分别为AO,8c的中点，四边形MNCD为矩形,得R为NQ的中点，又Q为PD的中点，：.PNQR,；.PN平面MQC；解：(2)连接SM,为4。的中点，SA=SD,SALSD,且SM=%D=1,又平面SAO_L平面ABCD,平面SAOA平面ABCC=AO,二5_1平面48。.121122:Vp_MNCSamncxgSM=3X2XX2X3X1=：9-,平面S4O_L平面ABC。，平

35、面SAOA平面43CO=AO,CD_LAD,CZ)J_平面SAO.又在RtZSMD中，SD=V2SM=V2,SP=PQ=QD,*S&PQM=3S&SMD1111111Vc-pqm=SapqmxCD=wx2asmdxCD=wXwX)xlxlx2=q.211:,多面体MPQCN的体积V=VP,MNC+V.pqm=5+/=右s10 .如图，四边形MA8C中，48C是等腰直角三角形，ACBC,MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将M4C向上折叠到D4C的位置，使点。在平面ABC内的射影在AB上，再将MAC向下折叠到以：的位置，使平面EACL平面ABC,形成几何体DABCE.(1)点尸在8c上，若

36、。F平面EAC,求点F的位置；(2)求直线AB与平面EBC所成角的余弦值.【解答】解：(1)点尸为BC的中点,理由如下：设点。在平面A8C内的射影为O,连接。，OC,：AD=CD,：.OA=OC,.在RtZABC中，。为AB的中点,取AC的中点H,连接”，由题意知又平面E4CL平面ABC,平面EACD平面ABCAC,.E/71,平面4BC,由题意知。O_L平面ABC,ADO/EH,；.OO平面EAC,取BC的中点F,连接OF,则。尸AC,又OFC平面EAC,ACu平面EAC,.OF平面EAC,DOnOFO,二平面。OF平面EAC,。fu平面DOF,：.DF/平面EAC.(2)连接O4，由(1)

37、可知。凡OH,OO两两垂宜,以O为坐标原点，OF,OH,OO所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,i则8(1,-1,0),A(-1,1,0),E(0,1,-V3),C(1,1,0),：.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),BE=(-1,2,-y/3),设平面EBC的法向量蔡=(a,b,c),BE - n = -a + 2b - V3c = 0,取。=百，则=(V3, 0, - 1),设直线与平面EBC所成的角为则 sin0=一 2gX2 一彳直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cos0=J1-咯2=孚11 .如图，直三棱柱BC尸-AHE中，。为EH的中点，AB=BF

38、,BF1.CF,AB=BF=CF=2.(I)求证：AF1.BH；(11)求平面4OC与平面A8C所成角的余弦值.【解答】解：(I)证明：由三棱柱BCF-4/E是直三棱柱，得CFLEF,：BFLCF,BFCEF=F,CF1_平面ABFE,：CF/HE,平面48/E,：.HEAF,AB=BF,ABLBF,，平行四边形ABFE是正方形，：.AFLBE,又HECBE=E,HEB,HEB,：.AFLBH.(11)以E为坐标原点，EA,EF,EH为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,在RtADWC中，VD为EH的中点，11：.DE=EH=CF=1,则A(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(

39、2,2,0),：.AC=(-2,2,0),y1D=(-2,0,1),AB=(0,2,0),设平面48c的法向量m=(x,y,z),贝朽小-2x+2y=0,取x=,得心(b0),(m-AB=2y=0设平面AOC的法向量n=(mb,c),则,AC=-2a+2匕+2c=0,取c-2,得；=(k.L2),-AD=-2a+c=0./、m-n343.cos=-7=7=-5-mn/2x/62由图知平面AOC和平面ABC所成角为钝角，二平面AOC与平面ABC所成角的余弦值为-孚.X12 .在如图所示的几何体中，四边形ABCC是菱形，ZBAD=120,AEJ_平面ABCD,AE/CF.(1)求证：。尸平面ABE

40、；(2)若AO=AE=2CF=2,求该几何体的表面积.【解答】解：(1)证明：因为AEC尸，C7V平面A8E,所以CF平面ABE,因为四边形ABC。是菱形，所以CD/AB,由于COC平面ABE,所以CO平面4BE,又CFCCD=C,所以平面CCF平面ABE,又u平面CDF,所以OF平面ABE.(2)由AEC凡知A,C,F,E四点共面，2X1 -21 -2连接4C,于是该几何体是由两个相同的四棱锥8-ACFE,O-ACFE构成的，x2x1=1,在BEF中，EF=V5,BE=2y/2,BF=V5,Sabef=1x2/2xV3=V6,所以该几何体的表面积为2X(Sabe+Smbc+Sbcf+Sbef

41、)=6+2遍+2遍.13 .如图，在四棱锥P-ABCD中，以。是等边三角形，平面以。_1_平面ABCD,底面第67页共115页48CQ是直角梯形，NDHBC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60.(I)若E为以的中点，求证：8E平面PCD；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.A1【解答】解：(I)证明：如图，取P)的中点F,连接尸，CF,则EF/AD,且EF=*4),1由条件可知，BC/AD,且=J.EF/BC,EF=BC,二四边形BCEF为平行四边形，：.BE/CF,又BEC平面尸CO,CFcPCD,二8；平面PCD；(II)如图，取AO的中点O,连接OB,OP,则OB=OP=2V3,由条

42、件可得OA,OB,OP三条直线两两垂直，故以点O为坐标原点，分别以OA,OB,。尸所在的直线为x轴，),轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(0,2V3,0),P(0,0,2V3),C(-2,2a/3,0),D(-2,0,0),：.PC=(-2,2V3,-2V3),BC=(-2,0,0),CD=(0,S0),设平面P8C的一个法向量为/=(a,b,c),则弓,=2a+2gb2V5c=0,则17nBe=-2a=0可取m=(0,1,1),同理可得平面PC。的一个法向量为=(一百，0,1),r-设二面角B - PC-D的大小为0,tm-n1V2心=丽=京=不14.已知在平行四边形ABC。中，AD=2,A

43、B=V3,NADC=Z如图，DE/CF,且。Eo=3,CF=4,ZDCF=J,且平面A8CC平面CQEF.(1)求证：AC_L平面CDEF；(II)求二面角D-AE-C的余弦值.【解答】解：(I)证明：在平行四边形A8CO中，CD=AB=遮，AD=2,AADC=O由余弦定理可得4c2=4+C2-2AD*CD*cosZADC=4+3-2x2x代x竽=1,：.AC1+CD2=AD2,:.AC-LCD,又；平面ABC)_L平面CDEF,平面48coe平面CDEF=CD,ACu平面48CC,；.AC_L平面CDEF；(II)如图以点C为坐标原点，CD,CF,CA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直

44、角坐标系，则点C(0,0,0),4(0,0,1),D(V3,0,0),E(V3,3,0),设平面AOE的一个法向量为局=(a,b,c),DE=(0,3,0),DA=(-V3,0,1),则%a+c=(T则可取其=(1，。，3, 0),设平面4CE的一个法向量为彳=(x,y,z),AC=(0,0,-1),CE=(V3,则I3b =。贝何取=(b-设平面AOE与平面ACE所成的二面角为。，则cosO =mn=2x2 =TA V3.二面角O-AE-C的余弦值为彳.15.如图，已知四棱锥尸-A8CD 中，AD/BC, AB=CD, AD=2BC=2PC=2,PD= V3,NAOC=60 .(1)求证：B

45、P LCD；(2)若BP=&,求直线尸C与平面必力所成角的正弦值.【解答】(1)证明：取BP的中点E,连接CE、DE、BD,: BC=PC, ：.CEA.BP,：AD=2BC=2, NAOC=60 , /. CD= 1, BD= y/3,又尸。=遮，：.DEBP,VCnD=E, CE、OEu平面 CZ)E,平面 COE,BP LCD.(2)解：过C作于凡连接PF,JAD/BC,：.CFLBC,：BP=V2,BC=PC=1,.,.BC2+PC2=BP2,即BCLPC,XCFQPC=C,CF、PCu平面PCF,平面PCF,AOu平面网O,平面以O_L平面PC凡过点C作CGLPF于点G,平面限OC平

46、面PCF=PF,；.CGJ_平面心。,二NCPF即为直线PC与平面PAD所成的角,在RtZXCD尸中，ZCDF=60,CD=,:.CF=*DF=在RtZPOF中，PD=V3,DF=1,：.PF=,在PCF中，由余弦定理知，cosZCPF=Pc2+P，-Cf2 _ 1+?一弓2PCPF2、1呼=而/on：.snZCPF=V1-cos2Z.CPF=詈故直线PC与平面9所成的角的正弦值为季16 .如图，在四棱锥P-ABCD中，XPAD是等边三角形，平面布。，平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知4O=2BC=4,ZBAD=6QQ.(I)若E为限的中点，求证：8E平面尸CD；(II)求

47、四棱锥P-ABCD的体枳.【解答】证明：(I)如图，取PO的中点F,连接EF,CF,则E尸A。，且EQ%。，由已知可得3c4。，且BC=%。，；.EFBC且EF=BC,得四边形8CE尸为平行四边形，则BECF,又BEC平面尸C),CFu平面PCD,平面PCD；解：(1)如图，取4。的中点0,连接PO,OB,OC,.平面以O_L平面A8CC,物。是等边三角形，POJ_平面4BCO,得尸0=2百，OB=2V3,又底面4BCD是直角梯形，AD/BC,AD=2BC=4,:.S梯形abcd=2X(2+4)x2百=66，:V四棱脚-ABCD=弟梯形abcdxP。=gx6bX2/3=12.17 .如图，在直

48、三棱柱ABC-481cl中，AB=BC=AAi,ABBC,。为4B的中点，E为8c上一点，满足CE=2EB.(1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角B-AC-C的余弦值.【解答】解：(1)连接A1B交劭。于点凡连接EF,：AB/AB,.,.AiFBisABFD,又。为AB的中点，.B产BD141尸2,:CE=2EB,.BFBE赤一瓦：.AC/EF,：4。平面加。,EFu平面B1OE,；.AiC平面BDE；(2)由题可知，BA,BC,两两互相垂宜，以8为坐标原点，BA,BC,881所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间宜角坐标系，设A8=BC=A4i=L则4(1,0,1),C(0,1

49、,0),Ci(0,1,1),B(0,0,1),8送1=(1,0,0),8传=(0,1,一1),CiC=(0,0,-1),64=(1,-1,0),T-设平面BAC的一个法向量为=(x,y,z),则:8d1-x-0,则可取盛=、n.BC=y-z=0(0,1,1),设平面ACC的一个法向量为蔡=(q,b,c),则17Gf-c-0,则可取薪=Gn-C1A1=ab=0(L1,0),./-、mn1.cos=_=亍由图易知二面角Bi-AiC-Ci为锐二面角，二面角B-AC-Ci的余弦值为|.18 .已知在平行四边形ABC。中，AD=2,AB=V3,ZADC=如图，DE/CF,且OEo=3,CF=4,ADCF

50、=且平面48C_L平面CQEF.(I)求证：ACL平面CDEF；(11)求四棱锥F-ABCD的体积.【解答】解：(I)证明：由题知在ACQ中，CD=罔,AD=2,ADC=O则由余弦定理得-2ADCD-cosZADC=22+(V3)2一2x2xgx=1,贝Ijac2+cd2=ad2.J.ACLCD,.又.平面A8COJ_平面CDEF,平面ABC。平面CDEF=CD,ACu平面ABC。，.,.ACffiCDEF-,(II)由于平面ABC平面CDEF,又WCF=当且CFu平面CDE/，平面ABCCC平面CDEF=CD,：.CFABCD,:S平行四边形abcd=CDAC=6x=V3,二四棱锥F-ABC

51、D的体积为V=三S平行网边形abcd-CF=|xV3x4=.19 .如图所示，在四棱锥E-ABCO中，四边形A8CO是直角梯形，AB=AE=8C=%O=1,BC/AD,AEmABCD,NBAD=90,N为OE的中点.(1)求证：NC平面EAB；(2)求二面角A-CN-D的余弦值.BC【解答】解：(1)证明：取AE中点凡连接ABF,易知又BC曷皿故BC=NF,：.四边形BCNF为平行四边形，J.NC/BF,又；NCC平面ABE,BFu平面ABE,；.NC平面EAB；(2)以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(1,1,0

52、),D(0,2,0),E(0,0,1),N(0,11,一)，2：.AC=(1,1,0),AN=(0,1,力CD=(-1,1,0),ND=(0,1,一办设平面ACN的法向量为蔡=(x,y,2),则：-+：一，则可取/=(_11,Im-AN=y+=0-2),设平面CND的法向量为1=(a, b, c),则n,CD=-a+h=0口r加-/、-ti，则可取ri=(LL2),n-ND=b2c=0.-t、mn-1+142.cos=_-=-7=尸=二k，|m|n|V6xV639易知二面角A-CN-D为钝角，故二面角A-CN-D的余弦值为一早X20.如图，在多面体48cL中，四边形ABC。、四边形ACFE均为

53、菱形，BAD=ZEAC=120.(1)求证：平面BDF1.平面ACFE；(2)若BE=DE,求二面角C-BF-E的余弦值.BC【解答】解：(1)证明：T&ACQBD=O,连接尸O,AF,.四边形A8C3为菱形，为AC的中点，,四边形ACE尸为菱形且NE4C=120,.ACF为等边三角形，：.FOAC,.四边形A8CD为菱形，：.ACBD,：FOHBD=O,尸Ou平面8。尸，BOu平面8。尸，AC_L平面BDF,又ACu平面ACFE,平面4CFE_L平面BDF-,(2)如图，连接OE,:BE=DE,：.OE1BD,XBD1AC,ACu平面ACFE,OEu平面AC尸E,OEQACO,.8_L平面A

54、CFE,又8u平面ABCO,平面ABCC_L平面ACFE,由(1)知，OFYAC,故。尸1.平面ABC。，：.0B,OC,OF两两互相垂直，以点O为坐标原点，OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设OF=百，则8(b，0,0),C(0,1,0),E(0,-2,V3),F(0,0,6)，TTEF - m = 2y = 0t t J,可取m=BF m = 3x + V3z = 0：.EF=(0,2,0),BF=(-V3,0,遮)，BC=(-V3,1,0),设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),则(1,0,1),设平面BCF的法向量为=(a,b,c),贝lj吧,可取蔡=(1,、BF-n=-y/3a+y/3c=0遍，1)，2 _ yio 42XyTSTjtm-nco